拉普拉斯变换的原理与应用

本文使用visual Studio MFC 平台实现图像增强中的拉普拉斯变换，同时拉普拉斯一般不会单独使用，与其他平滑操作相结合，本文使用了拉普拉斯与直方图均衡化以及与中值滤波相结合，也对三种方式进行了对比

关于基础工程的创建可以参考
01-Visual Studio 使用MFC 单文档工程绘制单一颜色直线和绘制渐变颜色的直线

02-visual Studio MFC 绘制单一颜色三角形、渐变颜色边框三角形、渐变填充三角形、边框渐变的正方形与填充渐变的正方形实例
03-visual Studio MFC 平台实现图像增强中的线性变换（负变换）和非线性变换（对数与幂律）
04-MFC实现图像增强–分段式变换（灰度级切片，对比度拉伸，Bit-plane slicing）
05-visual Studio MFC 平台实现对灰度图添加椒盐噪声，并进行均值滤波与中值滤波

一、 拉普拉斯变换的原理

拉普拉斯变换的原理如下：

拉普拉斯变换是图像处理中一种用于增强图像边缘的技术。它可以通过高通滤波来突出图像中的边缘特征。拉普拉斯变换的离散形式通常通过卷积运算实现。

1. 离散拉普拉斯运算符： 在离散图像中，拉普拉斯运算符可以表示为：

$${\nabla }^{2}f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)$$

其中，$f(x,y)$ 是图像在位置 $(x,y)$处的灰度值。

对于离散图像，拉普拉斯变换可以使用以下的卷积核来实现：

  0  -1   0
 -1   4  -1
  0  -1   0

这个卷积核对图像进行卷积运算，计算每个像素与其周围像素的差异，从而强调了图像中的边缘。在卷积运算中，将卷积核与图像的每个像素进行乘法，然后将结果相加。这个过程在整个图像上进行，产生一个新的图像，其中强调了边缘。
2. 连续拉普拉斯运算符： 在连续图像中，拉普拉斯运算符可以表示为：

$${\nabla }^{2}f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$$

它表示图像中各个点的强度与其周围点的强度之差的二阶导数。

3. 应用： 对图像应用拉普拉斯变换将突出显示图像中的边缘和细节，因为这些区域通常具有灰度变化。拉普拉斯变换后的图像可以通过以下公式得到：

$$\text{LaplacianImage}=\text{OriginalImage}-\text{SmoothedImage}$$

这里，$\text{SmoothedImage}$ 是原始图像经过平滑处理（如高斯模糊）后的图像。
在实际应用中，拉普拉斯变换通常用于边缘检测或图像锐化。然而，由于它对噪声敏感，常常需要与其他技术一起使用，例如高斯滤波，以减小噪声的影响。

在数字图像处理中，通常使用卷积操作来实现拉普拉斯变换。卷积核的选择影响着变换的效果。拉普拉斯变换对于边缘检测和图像增强等任务非常有用。

二、 拉普拉斯实现

2.1单独拉普拉斯实现代码

 // 定义拉普拉斯核
 int laplacianKernel[3][3] = {
  { -1, -1, -1 },
  { -1,  8, -1 },
  { -1, -1, -1 }
 };

 // 应用卷积运算
 for (int y = 1; y < bmpHeight - 1; ++y) {
  for (int x = 1; x < bmpWidth - 1; ++x) {
   int sum = 0;
   for (int i = -1; i <= 1; ++i) {
    for (int j = -1; j <= 1; ++j) {
     sum += laplacianKernel[i + 1][j + 1] * gray_data[(y + i) * bmpWidth + (x + j)];
    }
   }
   laplacian_data[y * bmpWidth + x] = static_cast<unsigned char>(sum);
  }
 }
 CClientDC dc(this);
 CDC* pDC = &dc;
 
 m_pBmp->drawGrayBmp(pDC, laplacian_data, bmpWidth, bmpHeight, offset_left, offset_top +4 * bmpHeight+30);

 // 释放临时数组内存
 delete[] laplacian_data;

单独拉普拉斯实现效果

2.2 拉普拉斯与直方图均衡化相结合实现代码

// 计算直方图
int histogram[256] = { 0 };
for (int i = 0; i < bmpWidth * bmpHeight; ++i) {
 histogram[gray_data[i]]++;
}

// 计算累积分布函数（CDF）
int cdf[256] = { 0 };
cdf[0] = histogram[0];
for (int i = 1; i < 256; ++i) {
 cdf[i] = cdf[i - 1] + histogram[i];
}

// 映射灰度级别到临时变量
unsigned char* temp_data = new unsigned char[bmpWidth * bmpHeight];
int min_cdf = cdf[0];
for (int i = 0; i < bmpWidth * bmpHeight; ++i) {
 temp_data[i] = static_cast<unsigned char>(255 * (cdf[gray_data[i]] - min_cdf) / (bmpWidth * bmpHeight - min_cdf));
}

// 应用拉普拉斯变换
unsigned char* laplacian_data = new unsigned char[bmpWidth * bmpHeight];
int laplacianKernel[3][3] = {
 { -1, -1, -1 },
 { -1,  8, -1 },
 { -1, -1, -1 }
};
for (int y = 1; y < bmpHeight - 1; ++y) {
 for (int x = 1; x < bmpWidth - 1; ++x) {
  int sum = 0;
  for (int i = -1; i <= 1; ++i) {
   for (int j = -1; j <= 1; ++j) {
    sum += laplacianKernel[i + 1][j + 1] * temp_data[(y + i) * bmpWidth + (x + j)];
   }
  }
  laplacian_data[y * bmpWidth + x] = static_cast<unsigned char>(sum);
 }
}

// 绘制均衡化后的图像
//m_pBmp->drawGrayBmp(pDC, temp_data, bmpWidth, bmpHeight, offset_left + 900, offset_top);

// 绘制经拉普拉斯变换后的图像
m_pBmp->drawGrayBmp(pDC, laplacian_data, bmpWidth, bmpHeight, offset_left+bmpWidth, offset_top + 4* bmpHeight + 30);

拉普拉斯与直方图均衡化相结合实现效果

2.3 拉普拉斯与中值滤波相结合实现

// 中值滤波
for (int y = 1; y < bmpHeight - 1; ++y) {
 for (int x = 1; x < bmpWidth - 1; ++x) {
  // 获取3x3邻域内的像素值
  unsigned char neighborhood[9] = {
   gray_data[(y - 1) * bmpWidth + x - 1], gray_data[(y - 1) * bmpWidth + x], gray_data[(y - 1) * bmpWidth + x + 1],
   gray_data[y * bmpWidth + x - 1], gray_data[y * bmpWidth + x], gray_data[y * bmpWidth + x + 1],
   gray_data[(y + 1) * bmpWidth + x - 1], gray_data[(y + 1) * bmpWidth + x], gray_data[(y + 1) * bmpWidth + x + 1]
  };

  // 对邻域内像素值进行排序
  std::sort(neighborhood, neighborhood + 9);

  // 取中值作为当前像素值
  temp_data[y * bmpWidth + x] = neighborhood[4];
 }
}

// 拉普拉斯变换
int laplacianKernel[3][3] = {
 { -1, -1, -1 },
 { -1,  8, -1 },
 { -1, -1, -1 }
};

// 应用卷积运算
for (int y = 1; y < bmpHeight - 1; ++y) {
 for (int x = 1; x < bmpWidth - 1; ++x) {
  int sum = 0;
  for (int i = -1; i <= 1; ++i) {
   for (int j = -1; j <= 1; ++j) {
    sum += laplacianKernel[i + 1][j + 1] * temp_data[(y + i) * bmpWidth + (x + j)];
   }
  }
  median_laplacian_data[y * bmpWidth + x] = static_cast<unsigned char>(sum);
 }
}

CClientDC dc(this);
CDC* pDC = &dc;

// 显示结果
//m_pBmp->drawGrayBmp(pDC, temp_data, bmpWidth, bmpHeight, offset_left, offset_top);
m_pBmp->drawGrayBmp(pDC, median_laplacian_data, bmpWidth, bmpHeight, offset_left + 2*bmpWidth, offset_top + 4 * bmpHeight + 30);

中值滤波与拉普拉斯相结合实现效果

可以观看出在添加一些平滑操作后，与单独进行拉普拉斯变换还是有一些区别的，当然最后实现的效果可以调节拉普拉斯算子进行调节，以达到相应的效果。