06 softmax回归
- softmax运算
- 损失函数
- 对数似然
- Fashion-MNIST数据集
- 读取数据集
- 读取小批量
- 整合所有组件
- softmax回归的从零开始实现
- 初始化模型参数
- 定义softmax操作
- 定义模型
- 定义损失函数
- 分类精度
- 训练
- 预测
- softmax回归的简洁实现
softmax运算
softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持可导的性质。
为了完成这一目标，首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的概率值总和为1，再让每个求幂后的结果除以它们的总和。
y ^ = s o f t m a x ( o ) 其中 y ^ j = exp ( o j ) ∑ k exp ( o k ) \hat{\mathbf{y}} = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})\quad \text{其中}\quad \hat{y}_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)} y^=softmax(o)其中y^j=∑kexp(ok)exp(oj)
这里，对于所有的
j
j
j总有
0
≤
y
^
j
≤
1
0 \leq \hat{y}_j \leq 1
0≤y^j≤1。
因此，
y
^
\hat{\mathbf{y}}
y^可以视为一个正确的概率分布。
softmax运算不会改变未规范化的预测
o
\mathbf{o}
o之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。
因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。
argmax j y ^ j = argmax j o j . \operatorname*{argmax}_j \hat y_j = \operatorname*{argmax}_j o_j. jargmaxy^j=jargmaxoj.
尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。
因此，softmax回归是一个线性模型（linear model）。
损失函数
使用最大似然估计来度量预测的效果。
对数似然
softmax函数给出了一个向量
y
^
\hat{\mathbf{y}}
y^，
我们可以将其视为“对给定任意输入
x
\mathbf{x}
x的每个类的条件概率”。
例如，
y
^
1
\hat{y}_1
y^1=
P
(
y
=
猫
∣
x
)
P(y=\text{猫} \mid \mathbf{x})
P(y=猫∣x)。
假设整个数据集
{
X
,
Y
}
\{\mathbf{X}, \mathbf{Y}\}
{X,Y}具有
n
n
n个样本，
其中索引
i
i
i的样本由特征向量
x
(
i
)
\mathbf{x}^{(i)}
x(i)和独热标签向量
y
(
i
)
\mathbf{y}^{(i)}
y(i)组成。
我们可以将估计值与实际值进行比较：
P ( Y ∣ X ) = ∏ i = 1 n P ( y ( i ) ∣ x ( i ) ) . P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) = \prod_{i=1}^n P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)}). P(Y∣X)=i=1∏nP(y(i)∣x(i)).
根据最大似然估计，我们最大化 P ( Y ∣ X ) P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) P(Y∣X)，相当于最小化负对数似然：
− log P ( Y ∣ X ) = ∑ i = 1 n − log P ( y ( i ) ∣ x ( i ) ) = ∑ i = 1 n l ( y ( i ) , y ^ ( i ) ) , -\log P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n -\log P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)}) = \sum_{i=1}^n l(\mathbf{y}^{(i)}, \hat{\mathbf{y}}^{(i)}), −logP(Y∣X)=i=1∑n−logP(y(i)∣x(i))=i=1∑nl(y(i),y^(i)),
其中，对于任何标签 y \mathbf{y} y和模型预测 y ^ \hat{\mathbf{y}} y^，损失函数为：
l ( y , y ^ ) = − ∑ j = 1 q y j log y ^ j . l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) = - \sum_{j=1}^q y_j \log \hat{y}_j. l(y,y^)=−j=1∑qyjlogy^j.
通常称为交叉熵损失（cross-entropy loss）。
Fashion-MNIST数据集
%matplotlib inline
import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
from d2l import torch as d2l
d2l.use_svg_display()
读取数据集
可以通过框架中的内置函数将数据集下载并读取到内存中
# 通过ToTensor实例将图像数据从PIL类型变换成32位浮点数格式，
# 并除以255使得所有像素的数值均在0～1之间
trans = transforms.ToTensor()
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
root="../data", train=True, transform=trans, download=True)
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
root="../data", train=False, transform=trans, download=True)
Fashion-MNIST由10个类别的图像组成，
每个类别由训练数据集（train dataset）中的6000张图像
和测试数据集（test dataset）中的1000张图像组成。
因此，训练集和测试集分别包含60000和10000张图像。
测试数据集不会用于训练，只用于评估模型性能。
len(mnist_train), len(mnist_test)
(60000, 10000)
每个输入图像的高度和宽度均为28像素。
数据集由灰度图像组成，其通道数为1。
为了简洁起见，本书将高度
h
h
h像素、宽度
w
w
w像素图像的形状记为
h
×
w
h \times w
h×w或（
h
h
h,
w
w
w）。
mnist_train[0][0].shape
torch.Size([1, 28, 28])
数据集中包含10个类别，以下函数用于在数字标签索引及其文本名称之间进行转换。
def get_fashion_mnist_labels(labels): #@save
"""返回Fashion-MNIST数据集的文本标签"""
text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat',
'sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']
return [text_labels[int(i)] for i in labels]
创建一个函数来可视化这些样本。
def show_images(imgs, num_rows, num_cols, titles=None, scale=1.5): #@save
"""绘制图像列表"""
figsize = (num_cols * scale, num_rows * scale)
_, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)
axes = axes.flatten()
for i, (ax, img) in enumerate(zip(axes, imgs)):
if torch.is_tensor(img):
# 图片张量
ax.imshow(img.numpy())
else:
# PIL图片
ax.imshow(img)
ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)
ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)
if titles:
ax.set_title(titles[i])
return axes
以下是训练数据集中前几个样本的图像及其相应的标签。
X, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=18)))
show_images(X.reshape(18, 28, 28), 2, 9, titles=get_fashion_mnist_labels(y));
读取小批量
在每次迭代中，数据加载器每次都会读取一小批量数据，大小为batch_size。
通过内置数据迭代器，我们可以随机打乱所有样本，从而无偏见地读取小批量。
batch_size = 256
def get_dataloader_workers(): #@save
"""使用4个进程来读取数据"""
return 4
train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle = True,
num_workers = get_dataloader_workers())
查看读取训练数据所需时间
timer = d2l.Timer()
for X, y in train_iter:
continue
f'{timer.stop():.2f} sec'
'7.79 sec'
整合所有组件
定义load_data_fashion_mnist函数，用于获取和读取Fashion-MNIST数据集。
函数返回训练集和验证集的数据迭代器。此外，函数还接受一个可选参数resize，用来将图像大小调整为另一种形状。
def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None): #@save
"""下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""
trans = [transforms.ToTensor()]
if resize:
trans.insert(0, transforms.Resize(resize))
trans = transforms.Compose(trans)
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
root="../data", train=True, transform=trans, download=True)
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
root="../data", train=False, transform=trans, download=True)
return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
num_workers=get_dataloader_workers()),
data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,
num_workers=get_dataloader_workers()))
通过指定resize参数来测试load_data_fashion_mnist函数的图像大小调整功能。
train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(32, resize=64)
for X, y in train_iter:
print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)
break
torch.Size([32, 1, 64, 64]) torch.float32 torch.Size([32]) torch.int64
softmax回归的从零开始实现
使用Fashion-MNIST数据集，并设置数据迭代器的批量大小为256。
import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
初始化模型参数
在softmax回归中，输出与类别一样多（因为数据集有10个类别，所以网络输出维度为10）。原始数据集中的每个样本都是28×28的图像，因此，权重将构成一个784×10的矩阵，偏置将构成一个1×10的行向量。
与线性回归一样，使用正态分布初始化权重w，偏置初始化为0。
num_inputs = 784
num_outputs = 10
W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)
定义softmax操作
实现softmax由三个步骤组成：
- 对每个项求幂（使用
exp）； - 对每一行求和（小批量中每个样本是一行），得到每个样本的规范化常数；
- 将每一行除以其规范化常数，确保结果的和为1。
在查看代码之前，我们回顾一下这个表达式：
s o f t m a x ( X ) i j = exp ( X i j ) ∑ k exp ( X i k ) . \mathrm{softmax}(\mathbf{X})_{ij} = \frac{\exp(\mathbf{X}_{ij})}{\sum_k \exp(\mathbf{X}_{ik})}. softmax(X)ij=∑kexp(Xik)exp(Xij).
分母或规范化常数，有时也称为配分函数（其对数称为对数-配分函数）。
该名称来自统计物理学中一个模拟粒子群分布的方程。
def softmax(X):
X_exp = torch.exp(X)
partition = X_exp.sum(1, keepdim = True)
return X_exp / partition # 这里应用了广播机制
X = torch.normal(0, 1, (2, 5))
X_prob = softmax(X)
X_prob, X_prob.sum(1)
(tensor([[0.0505, 0.1636, 0.4608, 0.0299, 0.2952],
[0.3310, 0.0665, 0.4357, 0.1207, 0.0461]]),
tensor([1.0000, 1.0000]))
定义模型
定义softmax操作后，可以实现softmax回归模型。
下面的代码定义了输入如何通过网络映射到输出，将数据传递到模型之前，使用reshape函数将每张原始图像展平为向量。
def net(X):
return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)
定义损失函数
实现交叉熵损失函数。
交叉熵采用真实标签的预测概率的负对数似然。这里我们不使用Python的for循环迭代预测，而是通过一个运算符选择所有元素。
下面，我们创建一个数据样本y_hat，其中包含2个样本在3个类别的预测概率，以及它们对应的标签y。有了y，我们知道在一个样本中，第一类是正确的预测；而在第二个样本中，第三类是正确的预测。然后使用y作为y_hat中概率的索引，选择第一个样本中第一个类的概率和第二个样本中第三个类的概率。
y = torch.tensor([0, 2])
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])
y_hat[[0, 1], y]
tensor([0.1000, 0.5000])
def cross_entropy(y_hat, y):
return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])
cross_entropy(y_hat, y)
tensor([2.3026, 0.6931])
分类精度
def accuracy(y_hat, y): #@save
"""计算预测正确的数量"""
if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
y_hat = y_hat.argmax(axis=1)
cmp = y_hat.type(y.dtype) == y
return float(cmp.type(y.dtype).sum())
accuracy(y_hat, y) / len(y)
0.5
对于任意数据迭代器data_iter可访问的数据集，我们可以评估在任意模型net的精度。
def evaluate_accuracy(net, data_iter):
"""计算在指定数据集上模型的精度"""
if isinstance(net, torch.nn.Module):
net.eval() # 将模型设置为评估模式
metric = Accumulator(2) # 正确预测数、预测总数
with torch.no_grad():
for X, y in data_iter:
metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
return metric[0] / metric[1]
这里定义一个实用程序类Accumulator，用于对多个变量进行累加。
在上面的evaluate_accuracy函数中，我们在Accumulator实例中创建了2个变量，分别用于存储正确预测的数量和预测的总数量。
当我们遍历数据集时，两者都将随着时间的推移而累加。
class Accumulator: #@save
"""在n个变量上累加"""
def __init__(self, n):
self.data = [0.0] * n
def add(self, *args):
self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]
def reset(self):
self.data = [0.0] * len(self.data)
def __getitem__(self, idx):
return self.data[idx]
由于我们使用随机权重初始化net模型，因此该模型的精度应接近于随机猜测。
例如在有10个类别情况下的精度为0.1。
evaluate_accuracy(net, test_iter)
0.1555
训练
首先，定义一个函数来训练一个迭代周期。
其中，updater是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数，它可以是d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数。
def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater): #@save
"""训练模型一个迭代周期"""
# 将模型设置为训练模式
if isinstance(net, torch.nn.Module):
net.train()
# 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
metric = Accumulator(3)
for X, y in train_iter:
# 计算梯度并更新参数
y_hat = net(X)
l = loss(y_hat, y)
if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
# 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
updater.zero_grad()
l.mean().backward()
updater.step()
else:
# 使用定制的优化器和损失函数
l.sum().backward()
updater(X.shape[0])
metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
# 返回训练损失和训练精度
return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]
定义一个在动画中绘制数据的实用数据类Animator
class Animator: #@save
"""在动画中绘制数据"""
def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
figsize=(3.5, 2.5)):
# 增量地绘制多条线
if legend is None:
legend = []
d2l.use_svg_display()
self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
if nrows * ncols == 1:
self.axes = [self.axes, ]
# 使用lambda函数捕获参数
self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts
def add(self, x, y):
# 向图表中添加多个数据点
if not hasattr(y, "__len__"):
y = [y]
n = len(y)
if not hasattr(x, "__len__"):
x = [x] * n
if not self.X:
self.X = [[] for _ in range(n)]
if not self.Y:
self.Y = [[] for _ in range(n)]
for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
if a is not None and b is not None:
self.X[i].append(a)
self.Y[i].append(b)
self.axes[0].cla()
for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
self.axes[0].plot(x, y, fmt)
self.config_axes()
display.display(self.fig)
display.clear_output(wait=True)
接下来我们实现一个训练函数，
它会在train_iter访问到的训练数据集上训练一个模型net。
该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。
在每个迭代周期结束时，利用test_iter访问到的测试数据集对模型进行评估。
我们将利用Animator类来可视化训练进度。
def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater): #@save
"""训练模型"""
animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
for epoch in range(num_epochs):
train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)
test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)
animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
train_loss, train_acc = train_metrics
assert train_loss < 0.5, train_loss
assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc
使用小批量随机梯度下降来优化模型的损失函数，设置学习率为0.1。
lr = 0.1
def updater(batch_size):
return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)
训练模型10个迭代周期
迭代周期（num_epochs）和学习率（lr）都是可调节的超参数，通过改变它们的值，可以提高模型的分类精度。
num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)
预测
def predict_ch3(net, test_iter, n=6): #@save
"""预测标签"""
for X, y in test_iter:
break
trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
d2l.show_images(
X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])
predict_ch3(net, test_iter)
softmax回归的简洁实现
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))
def init_weights(m):
if type(m) == nn.Linear:
nn.init.normal_(m.weight, std = 0.01)
net.apply(init_weights);
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)
num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
