【机器学习】036

【机器学习】036_权重衰退

一、范数

· 定义：向量的范数表示一个向量有多大（分量的大小）

L1范数：

· 即向量元素绝对值之和，用符号 ‖ v ‖ 1 表示。

· 公式： $\left \| x \right \|_1 = \sum_{n}^{i=1}|x_i|$

L2范数：

· 即向量的模，向量各元素绝对值的平方之和再开根号，用符号 ‖ v ‖ 2 表示。

· 公式： $\left \| x \right \|_2=\sqrt{\sum_{n}^{i=1}x_i^2}$

Lp范数：

· 即向量范数的一般形式，各元素绝对值的p次幂之和再开p次根号，用符号 ‖ v ‖ p 表示。

· 公式： $\left \| x \right \|_p = (\sqrt[p]{\sum_{n}^{i=1}|x|^p})$

二、权重衰减（L2正则化）

模型（函数）复杂度的度量：

· 一般通过线性函数 $f(x) = w^Tx$ 中的权重向量的某个范数（如 $\left \| w \right \|^2$ ）来度量其复杂度

要想避免模型的过拟合，就要控制模型容量，使模型的权重向量尽可能小

· 通过限制参数值的选择范围来控制模型容量

衰减方法：

借助损失函数，将权重范数作为惩罚项添加到最小化损失中；使得损失函数的作用变为“最小化预测损失和惩罚项之和”。

损失函数公式如下：

$J(w,b)=L(w,b)+\frac{\lambda }{2}\left \| w \right \|^2$

· 其中， $L(w,b)$ 是模型原本的损失函数， $\frac{\lambda }{2}\left \| w \right \|^2$ 是新添加的惩罚项。

· 正则化常数 $\lambda$ 用来描绘这种权衡，其为一个非负超参数。

· $\lambda$ 的值越大，表示对 $w$ 的约束较大；反之 $\lambda$ 的值越小，表示对 $w$ 的约束较小。

※为何选用平方范数而不是标准范数：

· 便于计算。平方范数可以去掉平方根使得导数更容易计算，利于反向传播过程。

· 使用L2范数是因为它会对权重向量的大分量施加巨大的惩罚，使各权重均匀分布。

· L1范数惩罚会导致权重集中在某一小部分特征上，其它权重被清除为0（特征选择）。

使用该损失函数，就可以使梯度下降的优化算法在训练的每一步都衰减权重，避免过拟合发生。

如上图所示，现在模型的损失函数同时受两项影响，一是误差项，二是惩罚项。

现在在等高线图上，梯度下降最终收敛的位置不再是某一个项所造成的最低点，因为在这时，可能误差项达到最小了，但是惩罚项很大，使得惩罚项拉着损失函数再向另一个方向移动。

只有当达到了两个项共同作用下的一个平衡点时，损失函数才具有最小值，这个时候的模型往往复杂度也降低了，虽然有可能造成训练损失增大，但是测试损失会减小。

三、代码实现权重衰减

从零实现代码如下：

import matplotlib
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

# 训练数据集、测试数据集、输入值、训练批次
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
# 初始化w和b的真实值
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
# 拿到训练数据
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

# 初始化模型参数w和b
def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]
# 定义L2范数惩罚项
def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2
# 实现训练代码，读入参数为兰姆达（正则化参数）
def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())
# 使用权重进行训练
train(lambd=3)

简洁实现代码如下：

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

# 训练数据集、测试数据集、输入值、训练批次
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
# 初始化w和b的真实值
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
# 拿到训练数据
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

    train_concise(3)

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