【算法基础】筛质数

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问题描述
解决方法
- 朴素筛法
- 线性筛法

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问题描述

给定一个正整数 $n$ ，请你求出 $1 \sim n$ 中质数的个数。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中质数的个数。

数据范围
$1≤n≤10^6$

解决方法

朴素筛法

从前往后遍历，把每个数的倍数都删掉，剩下的数就是质数
证明方法在前面的一个打卡里面写了，复杂度是O(nlogn)
这里优化一下，只需要把所有质数的倍数删掉即可，证明也是在上一篇文章里面讲了
这里是时间复杂度为O(nloglogn)，这里把它叫做埃氏筛法

代码实现：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1000010;
bool st[N];
int cnt, primes[N];

int get_primes(int n){
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(!st[i]){
            primes[cnt++] = i;
            for(int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true;
        }
    }
    return cnt;
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int res = get_primes(n);
    cout << res << endl;

    return 0;
}

线性筛法

思想：把每一个合数用它的某一个质因子筛掉即可
每个合数x一定会被筛掉，而且筛的时候一定用的是最小质因子，
而且每个数只有一个最小质因子，所以每个数只会被筛一次，所以是线性的。

代码实现：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1000010;
bool st[N];
int cnt, primes[N];

int get_primes(int n){
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(!st[i]) primes[cnt++] = i;   //如果是质数，把它放到数表里面去
        //从小到大枚举所有的质数
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j++){
            st[primes[j] * i] = true;       //把primes[j]这个质数的某个倍数筛掉即可（核心思想）
            //这个合数是前面某一个质数的倍数，已经筛掉了
            if(i % primes[j] == 0) break;   //（因为是从小到达枚举的所有的质数，所以第一次出现的primes[j]一定是i的最小质因子）
        }
    }
    return cnt;
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int res = get_primes(n);
    cout << res << endl;

    return 0;
}