当大家面临着复杂的数学建模问题时，你是否曾经感到茫然无措？作为2021年美国大学生数学建模比赛的O奖得主，我为大家提供了一套优秀的解题思路，让你轻松应对各种难题。
让我们来看看数维杯A题！
问题重述
1、俯仰力矩和俯仰角变化：
推导俯仰力矩的表达式。
基于给定参数建立俯仰角变化模型。
计算 5 秒、10 秒和 20 秒时的姿态角。
2、滚转、俯仰和偏航力矩：
建立滚转、俯仰和偏航力矩的表达式。
建立姿态角变化模型。
计算 5 秒、10 秒和 20 秒时的姿态角。
3.机动特性：
设计低速和高速飞行的机动以实现平飞任务。
4、加速机动任务：
设计控制输入以实现前进加速和平飞。
考虑低速和高速飞行特性。
问题 1: 俯仰力矩和俯仰角变化
建模思路：
-
俯仰力矩表达式：
-
俯仰力矩主要受到共轴刚性转子、螺旋桨推进器、水平尾翼的影响。
-
共轴刚性转子产生的气动力矩可以表示为：
M rotor = K rotor ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V tip M_{\text{rotor}} = K_{\text{rotor}} \cdot \rho \cdot A \cdot V_{\text{tip}} Mrotor=Krotor⋅ρ⋅A⋅Vtip -
螺旋桨推进器产生的推力和旋转力矩：
T propeller = C propeller T_{\text{propeller}} = C_{\text{propeller}} Tpropeller=Cpropeller -
水平尾翼产生的气动力矩：
M horizontal tail = C horizontal tail ⋅ q ⋅ S horizontal ⋅ y ˉ horizontal M_{\text{horizontal tail}} = C_{\text{horizontal tail}} \cdot q \cdot S_{\text{horizontal}} \cdot \bar{y}_{\text{horizontal}} Mhorizontal tail=Chorizontal tail⋅q⋅Shorizontal⋅yˉhorizontal
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俯仰角变化模型：
-
利用力矩和力的平衡，可以得到俯仰角变化的微分方程：
I y y ⋅ θ ˙ = M rotor + T propeller + M horizontal tail I_{yy} \cdot \dot{\theta} = M_{\text{rotor}} + T_{\text{propeller}} + M_{\text{horizontal tail}} Iyy⋅θ˙=Mrotor+Tpropeller+Mhorizontal tail -
其中 I y y I_{yy} Iyy 是飞行器绕 y 轴的惯性矩。
-
-
数值求解：
- 使用数值求解器（例如欧拉法）对微分方程进行离散求解，得到不同时刻的俯仰角。
-
初始条件：
- 使用提供的初始条件（flight altitude, flight speed, control inputs）进行模拟。
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
# 定义常数和初始条件
K_rotor = 0.1
rho = 1.225
A = 10.0
V_tip = 5.0
C_propeller = 0.05
C_horizontal_tail = 0.02
q = 100.0
S_horizontal = 8.0
y_horizontal = 2.0
I_yy = 100.0
initial_conditions = [0.0] # 初始俯仰角
# 定义微分方程
def pitch_dynamics(theta, t):
M_rotor = K_rotor * rho * A * V_tip
T_propeller = C_propeller
M_horizontal_tail = C_horizontal_tail * q * S_horizontal * y_horizontal
# 俯仰角变化微分方程
dtheta_dt = (M_rotor + T_propeller + M_horizontal_tail) / I_yy
return dtheta_dt
# 定义时间范围
time_points = np.linspace(0, 20, 1000)
#见完整版代码
问题 2: 滚转、俯仰和偏航力矩
建模思路：
-
滚转力矩表达式：
-
滚转力矩主要由共轴刚性转子和水平尾翼贡献。
-
共轴刚性转子产生的滚转力矩与问题一中的俯仰力矩相似，可以表示为：
M roll = K rotor ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V tip M_{\text{roll}} = K_{\text{rotor}} \cdot \rho \cdot A \cdot V_{\text{tip}} Mroll=Krotor⋅ρ⋅A⋅Vtip -
水平尾翼产生的滚转力矩：
M horizontal tail = C horizontal tail ⋅ p ⋅ S horizontal ⋅ y ˉ horizontal M_{\text{horizontal tail}} = C_{\text{horizontal tail}} \cdot p \cdot S_{\text{horizontal}} \cdot \bar{y}_{\text{horizontal}} Mhorizontal tail=Chorizontal tail⋅p⋅Shorizontal⋅yˉhorizontal- C horizontal tail C_{\text{horizontal tail}} Chorizontal tail 是水平尾翼力矩系数， p p p 是滚转角速度， S horizontal S_{\text{horizontal}} Shorizontal 是水平尾翼面积， y ˉ horizontal \bar{y}_{\text{horizontal}} yˉhorizontal 是水平尾翼相对飞行器中心的距离。
-
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俯仰力矩表达式：
- 俯仰力矩在问题一中已经建模过，主要由共轴刚性转子和水平尾翼贡献。
-
偏航力矩表达式：
-
偏航力矩主要由共轴刚性转子和垂直尾翼贡献。
-
共轴刚性转子产生的偏航力矩与滚转和俯仰情形相似：
M yaw = K rotor ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V tip M_{\text{yaw}} = K_{\text{rotor}} \cdot \rho \cdot A \cdot V_{\text{tip}} Myaw=Krotor⋅ρ⋅A⋅Vtip -
垂直尾翼产生的偏航力矩：
M vertical tail = C vertical tail ⋅ r ⋅ S vertical ⋅ y ˉ vertical M_{\text{vertical tail}} = C_{\text{vertical tail}} \cdot r \cdot S_{\text{vertical}} \cdot \bar{y}_{\text{vertical}} Mvertical tail=Cvertical tail⋅r⋅Svertical⋅yˉvertical- C vertical tail C_{\text{vertical tail}} Cvertical tail 是垂直尾翼力矩系数，(r) 是偏航角速度， S vertical S_{\text{vertical}} Svertical 是垂直尾翼面积， y ˉ vertical \bar{y}_{\text{vertical}} yˉvertical 是垂直尾翼相对飞行器中心的距离。
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-
滚转、俯仰和偏航角变化模型：
-
利用力矩和力的平衡，可以得到滚转、俯仰和偏航角变化的微分方程：
I roll ⋅ p ˙ = M roll + M horizontal tail I_{\text{roll}} \cdot \dot{p} = M_{\text{roll}} + M_{\text{horizontal tail}} Iroll⋅p˙=Mroll+Mhorizontal tailI pitch ⋅ q ˙ = M rotor + T propeller + M horizontal tail I_{\text{pitch}} \cdot \dot{q} = M_{\text{rotor}} + T_{\text{propeller}} + M_{\text{horizontal tail}} Ipitch⋅q˙=Mrotor+Tpropeller+Mhorizontal tail
I yaw ⋅ r ˙ = M yaw + M vertical tail I_{\text{yaw}} \cdot \dot{r} = M_{\text{yaw}} + M_{\text{vertical tail}} Iyaw⋅r˙=Myaw+Mvertical tail
- 其中 I roll I_{\text{roll}} Iroll、 I pitch I_{\text{pitch}} Ipitch 和 I yaw I_{\text{yaw}} Iyaw分别是飞行器绕 x、y 和 z 轴的惯性矩。
-
-
数值求解：
- 使用数值求解器（例如欧拉法）对微分方程进行离散求解，得到不同时刻的滚转、俯仰和偏航角。
-
初始条件：
- 使用提供的初始条件（flight altitude, flight speed, control inputs）进行模拟。
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
# 定义常数和初始条件
K_rotor = 0.1
rho = 1.225
A = 10.0
V_tip = 5.0
C_horizontal_tail = 0.02
p = 0.1
S_horizontal = 8.0
y_horizontal = 2.0
C_vertical_tail = 0.03
r = 0.05
S_vertical = 5.0
y_vertical = 1.5
I_roll = 150.0
I_pitch = 100.0
I_yaw = 80.0
initial_conditions = [0.0, 0.0, 0.0] # 初始滚转、俯仰和偏航角
# 定义微分方程
def dynamics(variables, t):
p, q, r = variables # 滚转、俯仰和偏航角速度
M_roll = K_rotor * rho * A * V_tip + C_horizontal_tail * p * S_horizontal * y_horizontal
M_pitch = K_rotor * rho * A * V_tip + C_horizontal_tail * q * S_horizontal * y_horizontal
M_yaw = K_rotor * rho * A * V_tip + C_vertical_tail * r * S_vertical * y_vertical
# 滚转、俯仰和偏航角速度变化微分方程
dp_dt = M_roll / I_roll
dq_dt = M_pitch / I_pitch
dr_dt = M_yaw / I_yaw
return [dp_dt, dq_dt, dr_dt]
# 定义时间范围
time_points = np.linspace(0, 20, 1000)
问题 3: 低速和高速飞行的机动特性设计
建模思路：
-
低速飞行的机动特性设计：
- 低速飞行时，主要由共轴刚性转子和螺旋桨推进器提供控制。
- 设计共轴刚性转子的位置和螺旋桨推进器的工作能力，使飞行器实现水平飞行（零姿态角）。
-
高速飞行的机动特性设计：
- 高速飞行时，主要通过螺旋桨推进器、升降舵和方向舵实现控制。
- 设计螺旋桨推进器、升降舵和方向舵的控制输入，使飞行器在高速时能够保持水平飞行（零姿态角）。
-
设计方法：
- 使用数值模拟和优化方法，调整共轴刚性转子、螺旋桨推进器、升降舵和方向舵的参数，以满足低速和高速飞行时的控制需求。
- 可以采用基于物理模型的仿真工具，对不同飞行条件下的机动特性进行模拟。
-
优化目标：
- 低速飞行：使共轴刚性转子和螺旋桨推进器的输出满足水平飞行的需求，即姿态角为零。
- 高速飞行：通过调整螺旋桨推进器、升降舵和方向舵的输出，使飞行器在高速时能够保持水平飞行。
-
约束条件：
- 考虑飞行器的物理限制，如最大速度、最大推力、最大姿态角等。
-
数学表达式：
- 基于飞行器的物理模型，建立低速和高速飞行时的动力学方程，并在此基础上进行优化。
-
数值模拟：
- 使用数值模拟工具，对设计的参数进行测试，验证低速和高速飞行时的机动特性。
具体步骤：
-
低速飞行设计：
- 设计共轴刚性转子的位置和螺旋桨推进器的工作能力。
- 利用数值模拟验证在低速条件下，飞行器的机动特性是否满足水平飞行的要求。
-
高速飞行设计：
- 设计螺旋桨推进器、升降舵和方向舵的控制输入。
- 利用数值模拟验证在高速条件下，飞行器的机动特性是否满足水平飞行的要求。
-
参数调整和优化：
- 根据数值模拟的结果，调整和优化飞行器的参数，以达到设计的低速和高速飞行机动特性。
-
验证和测试：
- 对优化后的飞行器进行验证和测试，确保其在实际飞行中能够实现设计的机动特性。
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from scipy.optimize import minimize
# 定义初始条件和参数
initial_conditions_low_speed = [0.0, 0.0, 0.0] # 滚转、俯仰和偏航角
initial_conditions_high_speed = [0.0, 0.0, 0.0] # 滚转、俯仰和偏航角
params_low_speed = [0.1, 1.0, 5.0] # 共轴刚性转子和螺旋桨推进器参数
params_high_speed = [1.0, 2.0, 3.0, 1.0, 2.0, 3.0] # 螺旋桨推进器、升降舵和方向舵参数
# 定义低速飞行动力学方程
def dynamics_low_speed(variables, t, params):
# 省略动力学方程，根据具体问题补充
return [0, 0, 0]
# 定义高速飞行动力学方程
def dynamics_high_speed(variables, t, params):
# 省略动力学方程，根据具体问题补充
return [0, 0, 0]
# 定义目标函数
def objective(params):
# 低速飞行
result_low_speed = odeint(dynamics_low_speed, initial_conditions_low_speed, time_points, args=(params[:3],))
# 高速飞行
result_high_speed = odeint(dynamics_high_speed, initial_conditions_high_speed, time_points, args=(params[3:],))
# 计算目标函数，例如使得姿态角尽量接近零
error_low_speed = np.sum(np.abs(result_low_speed[:, :3]))
error_high_speed = np.sum(np.abs(result_high_speed[:, :3]))
# 返回总体目标函数
return error_low_speed + error_high_speed
# 定义约束条件
def constraint(params):
# 可以根据需要添加约束条件
return [0]
# 定义时间范围
time_points = np.linspace(0, 20, 1000)
# 优化参数
initial_guess = params_low_speed + params_high_speed
result = minimize(objective, initial_guess, constraints={'type': 'eq', 'fun': constraint})
问题四：直升机加速度机动任务
建模思路：
-
飞行动力学建模：
- 基于直升机的飞行动力学，建立飞行器的速度、加速度和力矩之间的关系。
- 考虑在低速和高速飞行模式下，直升机的动力学特性可能不同，因此需要建立不同飞行模式下的动力学模型。
-
控制输入设计：
- 设计控制输入，如螺旋桨推进器、升降舵和方向舵的工作状态，以实现加速度机动任务。
-
目标函数和约束条件：
- 确定加速度机动任务的目标，例如在给定时间内达到目标速度，并制定相应的目标函数。
- 添加物理约束条件，如最大速度、最大推力、最大姿态角等。
-
数学表达式：
- 建立描述直升机加速度机动任务的数学模型，考虑飞行器的动力学方程、控制输入和约束条件。
-
数值模拟和优化：
- 使用数值模拟工具，对设计的参数进行测试，并通过优化算法调整参数以满足加速度机动任务的要求。
具体步骤：
-
低速和高速动力学模型建立：
- 建立低速和高速飞行模式下直升机的飞行动力学模型，包括滚转、俯仰、偏航和加速度的方程。
-
控制输入设计：
- 设计螺旋桨推进器、升降舵和方向舵的控制输入，以实现加速度机动任务。
- 在低速和高速模式下，可能需要不同的控制策略和参数。
-
目标函数和约束条件制定：
- 定义加速度机动任务的目标函数，可能包括最小时间达到目标速度等。
- 添加物理约束条件，如最大速度、最大推力、最大姿态角等。
-
数学模型建立：
- 将飞行动力学模型、控制输入和约束条件整合为数学模型，以描述直升机在加速度机动任务中的行为。
-
数值模拟和优化：
- 使用数值模拟工具，对设计的参数进行测试，并通过优化算法调整参数以满足加速度机动任务的要求。
- 可以采用常见的优化算法，如遗传算法、粒子群优化等。
-
验证和测试：
- 对优化后的直升机进行验证和测试，确保其在实际飞行中能够实现设计的加速度机动任务。
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from scipy.optimize import minimize
# 定义初始条件和参数
initial_conditions = [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0] # 滚转、俯仰、偏航角和速度、加速度
params_low_speed = [0.1, 1.0, 5.0] # 低速模式下的控制输入参数
params_high_speed = [1.0, 2.0, 3.0, 1.0, 2.0, 3.0] # 高速模式下的控制输入参数
# 定义低速和高速飞行动力学方程
def dynamics(variables, t, params):
# 省略动力学方程，根据具体问题补充
return [0, 0, 0, 0, 0, 0]
# 定义目标函数
def objective(params):
# 低速飞行
result_low_speed = odeint(dynamics, initial_conditions, time_points, args=(params[:3],))
# 高速飞行
result_high_speed = odeint(dynamics, initial_conditions, time_points, args=(params[3:],))
# 计算目标函数，例如使得加速度尽量大
error_low_speed = -result_low_speed[-1, 4] # 取负号表示最大化加速度
error_high_speed = -result_high_speed[-1, 4]
# 返回总体目标函数
return error_low_speed + error_high_speed
# 定义约束条件
def constraint(params):
# 可以根据需要添加约束条件
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