大家面临着复杂的数学建模问题时，你是否曾经感到茫然无措？作为2022年美国大学生数学建模比赛的O奖得主，我为大家提供了一套优秀的解题思路，让你轻松应对各种难题。
让我们来看看数维杯D题！
问题一：最佳清洁方法的数学模型（详细公式）
定义变量：
- (n)：清洗次数
- (W)：每次清洗使用的水量
- (D_k)：第 (k) 次清洗后的污垢残留量
- (a_k)：第 (k) 次清洗时的污垢溶解度
目标函数：
Minimize
∑
k
=
1
n
W
\text{Minimize } \quad \sum_{k=1}^{n} W
Minimize k=1∑nW
约束条件：
D
k
=
(
1
−
a
k
)
⋅
D
k
−
1
,
k
=
1
,
2
,
…
,
n
D_k = (1 - a_k) \cdot D_{k-1}, \quad k = 1, 2, \ldots, n
Dk=(1−ak)⋅Dk−1,k=1,2,…,n
D
0
=
初始污垢量
D_0 = \text{初始污垢量}
D0=初始污垢量
a
k
=
0.5
⋅
a
k
−
1
,
k
=
2
,
3
,
…
,
n
a_k = 0.5 \cdot a_{k-1}, \quad k = 2, 3, \ldots, n
ak=0.5⋅ak−1,k=2,3,…,n
a
1
=
0.8
a_1 = 0.8
a1=0.8
n ≥ 1 , W ≥ 0 n \geq 1, \quad W \geq 0 n≥1,W≥0
模型解释：
-
目标函数是为了最小化总用水量。
-
约束条件表示每次清洗后的残留污垢与溶解度之间的关系，以及初始污垢量的设定。
-
(a_k) 的定义反映了溶解度的递归关系，即每次的溶解度是前一次的一半。
-
影响清洗次数 (n)： 较小的 (a_k) 值会导致污垢较慢地被清除，可能需要更多的清洗次数。初始污垢量较大也可能增加清洗次数。
-
影响每次使用的水量 (W)： 清洗次数的增加可能导致每次使用的水量减小，但这会受到可用水量的限制。
建立数学模型的步骤：
- 确定变量和参数。
- 建立目标函数和约束条件。
- 定义变量和参数的范围。
- 使用数学优化方法求解模型。
这个模型可以通过线性规划或其他数学优化方法求解，以找到最佳的清洁方法。
最优解和讨论：
-
清洗次数 (n)： 最优的清洗次数取决于初始污垢量和污垢在水中的溶解度 (a_k)。较大的初始污垢量或较小的 (a_k) 可能导致需要更多的清洗次数。最优的 (n) 可以通过数学优化方法得到。
-
每次使用的水量 (W)： 最优的每次使用水量取决于清洗次数和可用水量。如果可用水量受到限制，最优的 (W) 可能较小。这也可以通过数学优化方法确定。
-
(a_k) 的影响：
- (a_k) 反映了污垢在水中的溶解度，较小的 (a_k) 表示污垢较难溶解。当 (a_k) 较小时，可能需要更多的清洗次数才能达到目标。
- (a_k) 的递归关系 (a_k = 0.5 \cdot a_{k-1}) 表明每次的溶解度是前一次的一半。因此，(a_k) 的初始值 (a_1) 对清洗的影响是关键的。
-
初始污垢量的影响：
- 较大的初始污垢量可能导致需要更多的清洗次数才能将污垢清除。
- 初始污垢量的增加可能会影响每次使用的水量，因为更多的污垢需要更多的水来清洗。
-
可用水量的影响：
- 可用水量的限制可能导致每次使用的水量减小，影响清洗的效果。
- 如果可用水量充足，则可以更灵活地选择清洗次数和每次使用的水量。
总体而言，清洗次数、每次使用的水量、(a_k)、初始污垢量和可用水量之间存在复杂的相互关系。通过数学建模和优化，可以找到在给定条件下最优的清洗方案。
由于问题的复杂性，数学优化模型的实现可能需要使用专业的数学优化库。一个常用的库是SciPy，它提供了用于线性规划和非线性规划的优化工具。以下是一个简化版本的 Python 代码，演示如何使用SciPy来解决问题。
from scipy.optimize import minimize
# 定义目标函数
def objective_function(variables):
n, W = variables[0], variables[1]
return n * W
# 定义约束条件
def constraint_equation(variables):
n, W, D, a = variables[0], variables[1], D0, a1
for k in range(1, n + 1):
D = (1 - a) * D
a = 0.5 * a
return D - 0.001 * initial_dirt # 最终的污垢残留量不超过初始污垢量的千分之一
# 初始值
initial_dirt = 1000 # 初始污垢量
D0 = initial_dirt
a1 = 0.8
# 设置优化问题
initial_guess = [1, 1] # 初始猜测值
constraints = {'type': 'eq', 'fun': constraint_equation}
bounds = [(1, None), (0, None)] # n为正整数，W为非负数
# 优化
result = minimize(objective_function, initial_guess, method='SLSQP', bounds=bounds, constraints=constraints)
# 输出结果
optimal_n = int(result.x[0])
optimal_W = result.x[1]
print(f"最优清洗次数：{optimal_n}")
print(f"每次使用的最优水量：{optimal_W}")
问题二，我们要考虑最省时的清洗计划。由于假设每次清洗所需的时间相同，我们只需要优化清洗次数和每次使用的水量。
问题二的数学模型：
定义变量：
- (n)：清洗次数
- (W)：每次清洗使用的水量
- (D_n)：最终的污垢残留量
- (a_k)：第 (k) 次清洗时的污垢溶解度
目标函数：
Minimize
T
=
n
\text{Minimize } \quad T = n
Minimize T=n
约束条件：
D
n
=
(
1
−
a
n
)
⋅
D
n
−
1
D_n = (1 - a_n) \cdot D_{n-1}
Dn=(1−an)⋅Dn−1
D
0
=
初始污垢量
D_0 = \text{初始污垢量}
D0=初始污垢量
D
n
≤
0.001
×
初始污垢量
D_n \leq 0.001 \times \text{初始污垢量}
Dn≤0.001×初始污垢量
a
k
=
0.5
⋅
a
k
−
1
a_k = 0.5 \cdot a_{k-1}
ak=0.5⋅ak−1
a
1
=
0.8
a_1 = 0.8
a1=0.8
n ≥ 1 , W ≥ 0 n \geq 1, \quad W \geq 0 n≥1,W≥0
Python 代码：
from scipy.optimize import minimize
# 定义目标函数
def objective_function(variables):
return variables[0] # 最小化清洗次数
# 定义约束条件
def constraint_equation(variables):
n, W, D, a = variables[0], variables[1], D0, a1
for k in range(1, n + 1):
D = (1 - a) * D
a = 0.5 * a
return D - 0.001 * initial_dirt # 最终的污垢残留量不超过初始污垢量的千分之一
# 初始值
initial_dirt = 1000 # 初始污垢量
D0 = initial_dirt
a1 = 0.8
# 设置优化问题
initial_guess = [1] # 初始猜测值
constraints = {'type': 'eq', 'fun': constraint_equation}
bounds = [(1, None)] # n为正整数
# 优化
result = minimize(objective_function, initial_guess, method='SLSQP', bounds=bounds, constraints=constraints)
# 输出结果
optimal_n = int(result.x[0])
print(f"最省时的清洗计划：")
print(f"最优清洗次数：{optimal_n}")
讨论：
- (a_k) 的影响： 与问题一相似，较小的 (a_k) 值可能导致需要更多的清洗次数，但由于目标是最小化清洗次数，对于省时清洗，较小的 (a_k) 通常是有利的。
- 初始污垢量的影响： 初始污垢量的增加可能会增加最优清洗次数，因为需要更多的次数才能将污垢清洗至目标。
- 水量的影响： 由于问题二中没有水量限制，水量的选择不会影响最省时的清洗计划，只需确保最终污垢残留量不超过初始污垢量的千分之一。
这个模型可以通过调整初始污垢量、(a_k) 等参数来进行进一步的分析和实验。
为了解决问题三，我们需要考虑多种洗涤剂的选择以及它们对不同污垢类型的溶解度。我们的目标是找到一种方案，既能够有效清洁衣物，又能够节省成本。
问题三的数学模型：
定义变量：
- (X_i)：使用洗涤剂 (i) 的数量
目标函数：
Minimize
∑
i
洗涤剂价格
i
⋅
X
i
+
水费用
⋅
(
∑
k
W
k
)
\text{Minimize } \quad \sum_{i} \text{洗涤剂价格}_i \cdot X_i + \text{水费用} \cdot \left(\sum_{k} W_k\right)
Minimize i∑洗涤剂价格i⋅Xi+水费用⋅(k∑Wk)
约束条件：
D
k
=
(
1
−
溶解度
i
k
)
⋅
D
k
−
1
D_k = (1 - \text{溶解度}_{ik}) \cdot D_{k-1}
Dk=(1−溶解度ik)⋅Dk−1
D
0
=
初始污垢量
D_0 = \text{初始污垢量}
D0=初始污垢量
溶解度 i k \text{溶解度}_{ik} 溶解度ik 从表2中获取
n ≥ 1 , W k ≥ 0 , X i ≥ 0 n \geq 1, \quad W_k \geq 0, \quad X_i \geq 0 n≥1,Wk≥0,Xi≥0
Python 代码：
from scipy.optimize import minimize
# 表示污垢的类型和数量
dirt_types = ['Type1', 'Type2', 'Type3']
dirt_quantities = {'Type1': 50, 'Type2': 30, 'Type3': 20}
# 洗涤剂的溶解度和价格
detergent_data = {
'Detergent1': {'solubility': 0.9, 'price': 5},
'Detergent2': {'solubility': 0.8, 'price': 4},
# ... 还有其他洗涤剂
}
# 水费用
water_price_per_ton = 3.8
# 初始污垢量
initial_dirt = sum(dirt_quantities.values())
# 定义目标函数
def objective_function(variables):
X = variables[:-1] # 洗涤剂的使用量
W = variables[-1] # 使用的水量
detergent_cost = sum(X[i] * detergent_data[d]['price'] for i, d in enumerate(detergent_data))
water_cost = water_price_per_ton * W
return detergent_cost + water_cost
# 定义约束条件
def constraint_equation(variables):
X = variables[:-1] # 洗涤剂的使用量
W = variables[-1] # 使用的水量
D = initial_dirt
for i, d in enumerate(detergent_data):
for k in range(1, n + 1):
D = (1 - detergent_data[d]['solubility']) * D
return D - 0.001 * initial_dirt # 最终的污垢残留量不超过初始污垢量的千分之一
# 设置优化问题
initial_guess = [0] * len(detergent_data) + [1] # 初始猜测值，洗涤剂数量都为0，水量为1
constraints = {'type': 'eq', 'fun': constraint_equation}
bounds = [(0, None)] * len(detergent_data) + [(0, None)] # 洗涤剂数量和水量均为非负数
# 优化
result = minimize(objective_function, initial_guess, method='SLSQP', bounds=bounds, constraints=constraints)
# 输出结果
optimal_detergent_quantities = result.x[:-1]
optimal_water_quantity = result.x[-1]
print("最优的清洁方案：")
for i, d in enumerate(detergent_data):
print(f"{d}: {optimal_detergent_quantities[i]} units")
print(f"水量: {optimal_water_quantity} tons")
这个模型会尝试找到最佳的洗涤剂使用量和水量，以最小化总成本（洗涤剂费用和水费用）。在约束条件中，确保最终的污垢残留量不超过初始污垢量的千分之一。
结果是通过优化模型得到的最优清洁方案，其中包括了每种洗涤剂的使用量和总的水量。让我们对结果进行详细解释：
变量解释：
- (X_i)：表示使用洗涤剂 (i) 的数量。
- (W)：表示总的使用水量。
数学模型中的约束条件：
-
污垢残留量的递归关系：
D k = ( 1 − 溶解度 i k ) ⋅ D k − 1 D_k = (1 - \text{溶解度}_{ik}) \cdot D_{k-1} Dk=(1−溶解度ik)⋅Dk−1
这个方程表示了每次清洗后污垢残留量与洗涤剂的溶解度之间的关系。 -
初始污垢量：
D 0 = 初始污垢量 D_0 = \text{初始污垢量} D0=初始污垢量 -
最终的污垢残留量不超过初始污垢量的千分之一：
D n ≤ 0.001 × 初始污垢量 D_n \leq 0.001 \times \text{初始污垢量} Dn≤0.001×初始污垢量
这个约束确保了清洁的效果，即最终的污垢残留量不会超过初始污垢量的千分之一。 -
非负性约束：
n ≥ 1 , W ≥ 0 , X i ≥ 0 n \geq 1, \quad W \geq 0, \quad X_i \geq 0 n≥1,W≥0,Xi≥0
清洗次数、水量和洗涤剂使用量均为非负数。
目标函数：
Minimize
∑
i
洗涤剂价格
i
⋅
X
i
+
水费用
⋅
W
\text{Minimize } \quad \sum_{i} \text{洗涤剂价格}_i \cdot X_i + \text{水费用} \cdot W
Minimize i∑洗涤剂价格i⋅Xi+水费用⋅W
这个目标函数表示我们要最小化总的成本，包括洗涤剂费用和水费用。
结论：
通过调整洗涤剂使用量和水量，模型得出的结果是在满足所有约束条件的情况下，总成本最小的清洁方案。结果中的 (X_i) 值表示每种洗涤剂的最优使用量，而 (W) 值表示最优的总水量。
问题四：经济高效的清洗计划
在问题四中，我们需要考虑不同材料的衣物，以及它们不能混在一起洗涤的情况。我们仍然使用与问题二相似的数学模型，但要添加对不同材料的约束。
数学模型的修改：
定义变量：
- (n)：清洗次数
- (W)：每次清洗使用的水量
- (D_k)：每种衣物的最终污垢残留量
- (a_k)：污垢在水中的溶解度
- (X_i)：每种洗涤剂的使用量
- (M_j)：每种材料的衣物在第 (j) 次清洗后的数量
目标函数：
Minimize
n
\text{Minimize } \quad n
Minimize n
约束条件：
D
k
j
=
(
1
−
a
k
)
⋅
D
k
−
1
,
j
,
k
=
1
,
2
,
…
,
n
,
j
=
1
,
2
,
…
,
种类数
D_{kj} = (1 - a_k) \cdot D_{k-1,j}, \quad k = 1, 2, \ldots, n, \quad j = 1, 2, \ldots, \text{种类数}
Dkj=(1−ak)⋅Dk−1,j,k=1,2,…,n,j=1,2,…,种类数
D
0
,
j
=
初始污垢量
j
D_{0,j} = \text{初始污垢量}_{j}
D0,j=初始污垢量j
D
n
,
j
≤
0.001
×
初始污垢量
j
D_{n,j} \leq 0.001 \times \text{初始污垢量}_{j}
Dn,j≤0.001×初始污垢量j
a
k
=
0.5
⋅
a
k
−
1
a_k = 0.5 \cdot a_{k-1}
ak=0.5⋅ak−1
a
1
=
0.8
a_1 = 0.8
a1=0.8
n ≥ 1 , W ≥ 0 , X i ≥ 0 n \geq 1, \quad W \geq 0, \quad X_i \geq 0 n≥1,W≥0,Xi≥0
新加的约束条件：
M
j
1
+
M
j
2
+
…
+
M
j
n
=
初始数量
j
M_{j1} + M_{j2} + \ldots + M_{jn} = \text{初始数量}_{j}
Mj1+Mj2+…+Mjn=初始数量j
M j 1 , M j 2 , … , M j n M_{j1}, M_{j2}, \ldots, M_{jn} Mj1,Mj2,…,Mjn 为每种材料在每次清洗后的数量。
Python 代码：
from scipy.optimize import minimize
# 表示每种材料的衣物在初始时的数量
initial_quantities = {'Material1': 30, 'Material2': 20, 'Material3': 25}
# 初始污垢量
initial_dirt_per_material = {'Material1': 100, 'Material2': 80, 'Material3': 90}
# 溶解度和价格与问题三相似，这里省略
# 设置问题的变量、约束和目标函数
def objective_function(variables):
return variables[0] # 最小化清洗次数
def constraint_equations(variables):
# variables: [n, W, X1, X2, ..., M11, M12, ..., Mn1, Mn2, ...]
n, W = variables[0], variables[1]
# 初始数量和清洗后的数量
initial_quantities_per_material = [initial_quantities[m] for m in materials]
quantities_after_cleaning = variables[2:2 + len(detergent_data)]
# 污垢溶解度
a = a1
# 初始污垢量
initial_dirt = initial_dirt_per_material
# 计算每次清洗后的污垢残留量
for k in range(1, n + 1):
for j in range(len(materials)):
# 更新每种材料的数量
quantities_after_cleaning[j] = initial_quantities_per_material[j] - sum(variables[len(detergent_data) + len(materials)*i + j] for i in range(n))
# 计算污垢残留量
D = (1 - a) * initial_dirt[j]
# 判断每次清洗后的数量是否为0
for quantity in quantities_after_cleaning:
if quantity < 0:
return quantity
return D - 0.001 * initial_dirt[j]
# 设置初始猜测值
initial_guess = [1, 1] + [0] * (len(detergent_data) + len(materials) * n)
# 设置约束条件
constraints = {'type': 'eq', 'fun': constraint_equations}
bounds = [(1, None), (0, None)] + [(0, None)] * (len(detergent_data) + len(materials) * n)
# 优化
result = minimize(objective_function, initial_guess, method='SLSQP', bounds=bounds, constraints=constraints)
# 输出结果
optimal_n = int(result.x[0])
optimal_W = result.x[1]
print(f"最省时的清洗计划：")
print(f"最优清洗次数：{optimal_n}")
print(f"每次使用的最优水量：{optimal_W}")
结果解释：
通过数学优化，模型得到了在考虑不同材料的
衣物，且不能混在一起洗涤的情况下，最省时的清洗计划。结果包括最优清洗次数和每次使用的最优水量。这个方案旨在在保证清洁效果的前提下，以最小的成本完成清洗任务。
方案的可行性取决于多个因素，包括模型的假设、实际情况的复杂性，以及在实施方案时可能遇到的限制。以下是方案的可行性考虑因素：
-
模型假设：
- 污垢溶解度假设： 模型假设污垢在水中的溶解度按照特定的规律变化。这个假设在实际情况中可能会受到不同洗涤剂和污垢类型的影响。
- 洗涤剂效果假设： 模型假设洗涤剂的效果主要由污垢溶解度决定，而其他因素（如洗涤剂的成分、颜色保护等）未被考虑。
-
实际情况的复杂性：
- 衣物种类和材料： 方案考虑了不同材料的衣物，但实际中可能还涉及到更多的特殊情况，例如特殊材质或处理要求。
- 其他因素： 模型未考虑到洗涤剂成分对不同衣物的适用性，以及洗涤过程中可能的其他因素（如洗涤机型号、温度等）。
-
约束和限制：
- 非负性约束： 模型中存在非负性约束，即清洗次数、水量和洗涤剂使用量均为非负数。
- 污垢残留量约束： 方案确保最终的污垢残留量不超过初始污垢量的千分之一，这有助于保证清洁效果。
-
可行性考虑：
- 实际操作的可行性： 方案中提到了清洗次数、水量和洗涤剂使用量的最优解，实际操作时需要考虑这些值是否在可操作的范围内。
- 洗涤剂和水费用： 方案最小化了成本，但实际中还需考虑洗涤剂的供应和水费用的支付情况。
-
灵活性：
- 方案的调整： 方案应该具有一定的灵活性，以适应实际情况的变化，如洗涤剂价格的波动、新的洗涤剂上市等。
更多完整的代码和思路看这里：
2023 年 数维杯（D题）国际大学生数学建模挑战赛
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