『数据结构与算法』散列表（哈希表）

1. 什么是散列表

散列表（Hash Table）也叫哈希表，是根据给定关键字（Key）来计算出该关键字在表中存储地址的数据结构。也就是说，散列表建立了关键字与存储地址之间的一种直接映射关系，将关键字映射到表中记录的地址，这加快了查找速度。

使用函数表达式来表示，应为：hash(key)=v，其中key为关键字，hash()为散列函数，v为散列地址。

1.1 相关术语

关键字（Key）：关键字是散列表的查找对象，也是散列函数的参数。其可以是记录本身，也可以是记录的唯一索引，这取决于散列表的设计。
散列函数（Hash Function）：将关键字映射为散列表中适当存储地址的函数称为散列函数，也叫做哈希函数。
散列地址（Hash Address）：将关键字通过散列函数计算出的地址称为散列地址，也叫做散列值、哈希值。
散列表（Hash Table）：这种使用散列技术来存储数据记录的表称为散列表。
散列冲突（Hash Collision）：当不同的关键字具有相同的散列地址，这种现象称为冲突，也叫做哈希冲突。而这些关键字对该散列函数来说是同义词。
表长：散列表的大小，即能够存储散列地址的数量。用m表示。

1.2 举个例子

一个比较通俗的例子，就是我们手机中的通讯录。通讯录用于存储联系人的姓名及电话号码信息，它是一个按照姓名首字母进行顺序排列的表。比如我们找“嬴政”就可以通过字母“Y”进行快速定位，并找到“嬴政”。

在该例子中，姓名“嬴政”便是关键字。
取姓名的首字母的算法便是散列函数。即：hash(嬴政) = Y。
通过
当我们定位到“Y”地址后，不仅有“赢政”，还有“赢异人”，也就是说，通过关键字“赢异人”也能找到“Y”的地址，这种现象便是冲突。即：hash(嬴政) = hash(嬴异人) = Y。
而“赢政”与“赢异人”对该散列函数来说是同义词。
这个用于存储联系人的通讯录便是散列表。

1.3 小结

本章节介绍了散列表的概念及相关术语，并以一个通讯录的例子来加深对散列表的了解。但还有一些问题等待我们解决，那就是“散列冲突”。我们一方面可以通过精心设计散列函数来尽量减少冲突的次数，另一方面仍需要提供解决冲突的方法。后面章节会详细介绍散列函数的设计和解决冲突的方法。

2. 散列函数的设计

散列函数的设计原则应该遵循计算简单、散列地址分布均匀。下面我们介绍几种常用的散列函数的构造方法。

2.1 直接定址法

取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。即hash(key) = key 或 hash(key) = a * key + b，其中a、b 为常数。这种散列函数也叫做自身函数。

如下图中，我们要获取某个岗位级别的信息，就可以使用级别减去1来作为地址，即：hash(key) = key - 1

直接定址法的优点是简单、均匀也不会产生冲突。但由于这是一种拿空间换时间的方式，所以适合查找表较小且连续的情况。比如年龄、岗位级别等。

2.2 数字分析法

通过分析一组数据，这些数据中可能出现的关键字都是事先知道的，则可以取关键字的若干数位组成散列地址。取出的这部分数据要在其数位上出现的频率小，这样出现冲突的几率就会很小。

比如手机号码，其前3位为网络识别号，中间4位为地区编码，而后4位才是真正的用户号码。那么在某个公司中，其员工的手机号码前7位出现冲突的概率会很大，而后4位出现冲突的概率会很小，则可以取后四位做为散列地址。

2.3 平方取中法

取关键字平方后的中间几位作为散列地址。该方法是一个产生伪随机数的方法，由冯·诺伊曼在1946年提出。

2.4 折叠法

将关键字分割成位数相同的几部分（最后一部分的位数可以不同），然后取这几部分的叠加和（舍去进位）作为散列地址。这种方法比较适用于关键字位数很多的情况。

比如关键字为 1234567890，散列表的表长为3位：（1）将关键字分为4组： 123|456|789|0 （2）将它们叠加求和：123 + 456 + 789 + 0 = 1368 （3）舍去进位，得：368 ，即为最终散列地址

2.5 除留余数法

假定散列表的表长为m，取一个不大于m但最接近或等于m的质数p，通过关键字对p取模运算来转换为散列地址。散列函数为：hash(key) = key % p，其中p ≤ m。

不仅可以对关键字直接取模，也可以在折叠法、平方取中法等运算后取模。对p的选择很重要，若选择不好很容易产生冲突。

3. 散列冲突的处理方法

解决冲突的方法有几种，这里我们将讨论其中最简单的两种：开放定址法和链地址法（拉链法）。

3.1 开放定址法

将产生冲突的散列地址做为自变量，通过某种冲突解决函数得到一个新的空闲散列地址。即当产生冲突后，寻找下一个空闲的散列地址。根据寻找的方式不同又分为几种方法，下面来介绍。

3.1.1 线性探测法

当产生冲突时，顺序探测表中下一地址，直探测到一个空闲（自由）的地址，将记录插入。若一直探测到表尾地址m-1,则下一探测地址为表首地址0。当表满的时候，则探测失败。

比如下图散列表的散列函数使用除留余数法（m=10, p=10）。那么我们顺序插入12、13、24时顺利插入到对应地址中，再插入34、44时会产生冲突，使用线发探测法，继续探测下一地址，将插入到空闲地址上。

线性探测法会造成大量元素在相邻的散列地址上“聚集”起来，使得我们要不断处理冲突，这大大降低查找和存入效率。

3.1.2 平方探测法

平方探测法是消除线性探测法中的聚集问题的一种冲突解决方法。设发生冲突的地址为d，那么使用平方探测法得到的新的地址序列为d ± 1^2、d ± 22、d ± 32...d ± ��2（key ≤ m/2）。

还是刚才那个例子，当插入34时，在下标为4的位置产生冲突，我们先计算一下在该位置探测的序列： 4 + 12 = 5、4 - 12 = 3、4 + 22 = 8、4 - 22 = 0，即：5、2、8、0，所以34应该被放到5的位置。而44应该放到8的位置。

平方探测法的缺点是不能探测到散列表上所有的地址，但至少能探测到一半地址。

3.1.3 伪随机探测法

伪随机探测法是当发生地址冲突时，地址增量为伪随机数序列。

伪随机数是说，如果我们设置随机种子相同，则不断调用随机函数可以生成不会重复的数列，我们在查找时，用同样的随机种子，它每次得到的数列是相同的，相同的地址当然可以得到相同的散列地址。

3.1.4 双散列

双散列顾名思义是使用了两个散列函数，当执行第一个散列函数得到的地址发生冲突时，则执行第二个散列函数来计算该关键字的地址增量。

一种常见的算法是：(hash1(key) + i * hash2(key)) mod m，其中i为冲突次数，hash1()为第一个散列函数，hash2()为第二个散列函数，m为散列表大小。当发生冲突后，我们通过重复增加步长i来寻址。

还是以上面的例子为例。第一个散列函数为hash1(key) = key mod 10，第二个散列函数设为hash2(key) = key mod 3。

通过上面公式，可以计算出关键字34的散列地址： (34 mod 10 + 1 * (34 mod 3)) mod 10 = (4 + 1 * 1) mod 10 = 5。而关键字44的散列地址为：(44 mod 10 + 2 * (44 mod 3)) mod 10 = (4 + 2 * 2) mod 10 = 8