1.1 信号的定义与分类

信号是信息的载体，用于传递、处理和存储信息。根据其数学特性和物理属性，信号可以分为以下几类：

• 连续时间信号与离散时间信号：连续时间信号在时间上是连续的，如声音信号；离散时间信号在时间上是离散的，如数字音频信号。离散时间信号通常通过采样连续时间信号获得，采样定理表明，只要采样频率大于信号最高频率的两倍，就可以无失真地恢复原始信号。

• 周期信号与非周期信号：周期信号在时间上具有重复性，如正弦波信号；非周期信号则没有固定的重复周期，如语音信号。周期信号的频谱是离散的，而非周期信号的频谱是连续的。

• 能量信号与功率信号：能量信号的能量有限，功率为零，如单个脉冲信号；功率信号的功率有限，能量为无穷大，如正弦波信号。这种分类有助于分析信号的能量特性和传输效率。

1.2 系统的定义与分类

系统是信号的处理单元，用于对输入信号进行变换和处理。根据其特性，系统可以分为以下几类：

• 线性系统与非线性系统：线性系统满足叠加原理，即输入信号的线性组合经过系统处理后的输出是各个输入信号单独处理后的输出的线性组合。非线性系统则不满足叠加原理。线性系统具有良好的数学性质，便于分析和设计。

• 时不变系统与时变系统：时不变系统的特性不随时间变化，输入信号的时间平移会导致输出信号的相同时间平移；时变系统的特性随时间变化，输入信号的时间平移不会导致输出信号的相同时间平移。时不变系统在实际应用中更为常见，如滤波器。

• 因果系统与非因果系统：因果系统的输出只取决于当前及过去的输入，不依赖于未来的输入；非因果系统的输出可能依赖于未来的输入。因果系统在物理上是可实现的，而非因果系统通常只存在于理论分析中。

• 稳定系统与不稳定系统：稳定系统的输出有界，即对于有界的输入信号，输出信号也是有界的；不稳定系统的输出可能无界。稳定系统在实际应用中更为可靠，如控制系统。#

2.1 连续时间信号的时域特性

连续时间信号在时域中的特性是信号分析的基础，其主要特点如下：

• 基本信号：单位阶跃信号 u(t) 和单位冲激信号 δ(t) 是连续时间信号中的两种基本信号。单位阶跃信号在 t=0 时刻从 0 跳跃到 1，其数学表达式为

  u(t)={0,1,​t<0t≥0​

  单位冲激信号是一个理想的信号，其在 t=0 时刻具有无限大的值，且其积分值为 1，即

  ∫−∞∞​δ(t)dt=1

  这些基本信号可以用于构建和分析更复杂的信号。

• 信号的时域运算：连续时间信号的时域运算包括信号的加法、乘法、微分和积分等。例如，两个信号 x1​(t) 和 x2​(t) 的加法运算为 y(t)=x1​(t)+x2​(t)，乘法运算为 y(t)=x1​(t)⋅x2​(t)。微分运算可以用于分析信号的变化率，积分运算可以用于计算信号的累积效果。

• 信号的时移和尺度变换：时移是指将信号在时间轴上进行平移，若信号 x(t) 时移 t0​，则新的信号为 x(t−t0​)。尺度变换是指对信号的时间轴进行压缩或扩展，若信号 x(t) 进行尺度变换 a，则新的信号为 x(at)。这些变换在信号处理中具有重要意义，例如在通信系统中，时移可以用于信号的同步，尺度变换可以用于信号的调制。

2.2 离散时间信号的时域特性

离散时间信号的时域特性与连续时间信号类似，但在离散时间域中具有独特的特点：

• 基本信号：离散时间信号中的基本信号包括单位阶跃序列 u[n] 和单位冲激序列 δ[n]。单位阶跃序列在 n=0 时刻从 0 跳跃到 1，其数学表达式为

  u[n]={0,1,​n<0n≥0​

  单位冲激序列在 n=0 时刻具有值 1，其余时刻为 0，即

  δ[n]={1,0,​n=0n=0​

  这些基本信号在离散时间信号的分析中起着重要作用。

• 信号的时域运算：离散时间信号的时域运算包括加法、乘法、差分和累加等。例如，两个离散时间信号 x1​[n] 和 x2​[n] 的加法运算为 y[n]=x1​[n]+x2​[n]，乘法运算为 y[n]=x1​[n]⋅x2​[n]。差分运算可以用于分析信号的离散变化率，累加运算可以用于计算信号的离散累积效果。

• 信号的时移和尺度变换：离散时间信号的时移是指将信号在离散时间轴上进行平移，若信号 x[n] 时移 n0​，则新的信号为 x[n−n0​]。尺度变换在离散时间信号中通常涉及采样率的改变，例如通过插值或抽取操作来改变信号的采样率。

3.1 傅里叶变换的理论基础

傅里叶变换是信号处理领域中一种极为重要的数学工具，它能够将信号从时域转换到频域，从而揭示信号的频率特性。其理论基础主要包括以下几个方面：

• 傅里叶级数：傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它表明任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数和余弦函数的线性组合。例如，一个周期为 T 的周期信号 f(t) 可以表示为

  f(t)=a0​+n=1∑∞​(an​cos(T2πnt​)+bn​sin(T2πnt​))

  其中，a0​、an​ 和 bn​ 是傅里叶系数，它们可以通过信号的积分计算得到。傅里叶级数为傅里叶变换提供了从周期信号到非周期信号的过渡。

• 连续傅里叶变换：对于非周期信号，傅里叶变换将信号表示为不同频率的复指数函数的积分。其数学表达式为

  F(ω)=∫−∞∞​f(t)e−jωtdt

  其中，F(ω) 是信号 f(t) 的频谱，它表示信号在不同频率上的幅度和相位。连续傅里叶变换适用于连续时间信号，它能够将信号的时域表示转换为频域表示，从而便于分析信号的频率特性。

• 离散傅里叶变换（DFT）：在实际应用中，信号通常是离散的，因此需要使用离散傅里叶变换来处理离散时间信号。DFT 的数学表达式为

  X[k]=n=0∑N−1​x[n]e−jN2π​kn

  其中，X[k] 是离散时间信号 x[n] 的频谱，N 是信号的长度。DFT 可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法高效地计算，这使得它在数字信号处理中得到了广泛应用。

• 傅里叶变换的性质：傅里叶变换具有许多重要的性质，如线性性、时移性质、尺度变换性质、对称性等。这些性质使得傅里叶变换在信号处理中具有广泛的应用，例如，通过时移性质可以分析信号的时间延迟，通过尺度变换性质可以研究信号的频率缩放。

3.2 傅里叶变换的应用

傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛的应用，以下是一些具体的应用实例：

• 信号分析与滤波：在信号处理中，傅里叶变换可以用于分析信号的频率成分，从而设计滤波器来去除噪声或提取特定频率的信号。例如，在音频信号处理中，通过傅里叶变换可以识别出音频信号中的低频噪声，并设计低通滤波器来去除这些噪声，从而提高音频信号的质量。

• 通信系统中的调制与解调：在通信系统中，傅里叶变换用于实现信号的调制与解调。调制过程将基带信号转换为高频载波信号，以便在信道中传输；解调过程则将接收到的高频载波信号还原为基带信号。傅里叶变换能够分析调制信号的频谱特性，从而设计合适的调制和解调方案。

• 图像处理中的频域滤波：在图像处理中，傅里叶变换可以将图像从空间域转换到频域，从而实现频域滤波。例如，通过低通滤波可以去除图像中的高频噪声，实现图像的平滑；通过高通滤波可以增强图像的边缘信息，实现图像的锐化。

• 系统分析与设计：傅里叶变换可以用于分析线性时不变系统的频率响应特性。通过系统的频率响应函数，可以设计滤波器、控制器等系统，以满足特定的性能要求。例如，在控制系统设计中，通过傅里叶变换可以分析系统的稳定性、频带宽度等性能指标，从而设计出满足要求的控制器。

• 数据压缩：在数据压缩中，傅里叶变换可以用于去除信号中的冗余信息，从而实现数据的压缩。例如，在 JPEG 图像压缩中，通过离散余弦变换（DCT）将图像从空间域转换到频域，然后去除高频成分，从而实现图像数据的压缩。

4.1 线性时不变系统的特性

线性时不变系统（LTI系统）是信号处理中最为重要的系统类型之一，其特性在时域和频域中都具有显著的规律性，这使得LTI系统在理论分析和实际应用中都具有重要的地位。

• 线性特性：线性特性是LTI系统的核心特征之一，它表明系统满足叠加原理和齐次性。具体来说，如果输入信号 x1​(t) 和 x2​(t) 分别经过系统后的输出为 y1​(t) 和 y2​(t)，那么输入信号的线性组合 ax1​(t)+bx2​(t) 经过系统后的输出为 ay1​(t)+by2​(t)，其中 a 和 b 是任意常数。这一特性使得LTI系统可以通过分析基本信号的响应来构建复杂信号的响应，极大地简化了系统分析的复杂度。

• 时不变特性：时不变特性表明系统的特性不随时间变化，即输入信号的时间平移会导致输出信号的相同时间平移。如果输入信号 x(t) 经过系统后的输出为 y(t)，那么输入信号 x(t−t0​) 经过系统后的输出为 y(t−t0​)，其中 t0​ 是任意时间延迟。这一特性使得LTI系统在实际应用中更为稳定和可靠，例如在滤波器设计中，时不变特性保证了滤波器对不同时间的输入信号具有相同的滤波效果。

• 因果性：因果性是LTI系统在实际应用中的一个重要特性，它表明系统的输出只取决于当前及过去的输入，不依赖于未来的输入。因果系统在物理上是可实现的，因为任何实际的物理系统都无法预知未来的输入信号。因果性可以通过系统的单位冲激响应 h(t) 来判断，如果 h(t)=0 对于所有 t<0，则系统是因果的。

• 稳定性：稳定性是LTI系统在实际应用中的另一个重要特性，它表明系统的输出有界，即对于有界的输入信号，输出信号也是有界的。稳定系统在实际应用中更为可靠，例如在控制系统中，稳定性是系统能够正常运行的基本要求。稳定性可以通过系统的单位冲激响应 h(t) 来判断，如果 h(t) 的绝对值在所有时间上都是有界的，则系统是稳定的。

4.2 系统的时域响应

系统的时域响应是系统对输入信号的直接反应，它能够直观地反映系统对信号的处理过程和效果。在时域中，系统的响应可以通过系统的单位冲激响应和输入信号的卷积来计算。

• 单位冲激响应：单位冲激响应 h(t) 是系统对单位冲激信号 δ(t) 的响应。单位冲激响应是LTI系统的一个重要特征，它包含了系统的所有信息。通过单位冲激响应，可以分析系统的特性，如因果性、稳定性等。例如，对于一个因果系统，其单位冲激响应 h(t) 在 t<0 时为零；对于一个稳定系统，其单位冲激响应 h(t) 的绝对值在所有时间上都是有界的。

• 零输入响应与零状态响应：系统的时域响应可以分为零输入响应和零状态响应。零输入响应是系统在没有输入信号的情况下，由于系统的初始状态而产生的响应；零状态响应是系统在初始状态为零的情况下，由于输入信号而产生的响应。在实际应用中，系统的总响应是零输入响应和零状态响应的叠加。

• 卷积积分：对于连续时间LTI系统，系统的零状态响应可以通过输入信号和单位冲激响应的卷积积分来计算。卷积积分的数学表达式为

  y(t)=x(t)∗h(t)=∫−∞∞​x(τ)h(t−τ)dτ

  其中，x(t) 是输入信号，h(t) 是单位冲激响应，y(t) 是系统的零状态响应。卷积积分是信号处理中的一个重要概念，它能够直观地反映输入信号和系统之间的相互作用。

• 卷积和：对于离散时间LTI系统，系统的零状态响应可以通过输入序列和单位样值响应的卷积和来计算。卷积和的数学表达式为

  y[n]=x[n]∗h[n]=k=−∞∑∞​x[k]h[n−k]

  其中，x[n] 是输入序列，h[n] 是单位样值响应，y[n] 是系统的零状态响应。卷积和与卷积积分类似，它能够直观地反映输入序列和系统之间的相互作用。

• 实际应用中的时域响应分析：在实际应用中，系统的时域响应分析具有重要意义。例如，在通信系统中，通过分析系统的时域响应，可以确定信号在传输过程中的失真情况，从而设计合适的信号处理算法来改善信号质量。在控制系统中，通过分析系统的时域响应，可以确定系统的稳定性和动态性能，从而设计合适的控制器来满足系统的性能要求。

5.1 系统函数与频率响应

系统函数（System Function）是描述线性时不变系统（LTI系统）特性的重要工具，它在频域中表征了系统对不同频率信号的处理能力。系统函数 H(jω) 是系统单位冲激响应 h(t) 的傅里叶变换，数学表达式为

H(jω)=∫−∞∞​h(t)e−jωtdt

其中，ω 是角频率。

• 频率响应特性：频率响应是系统函数在频域中的具体表现，它反映了系统对不同频率信号的增益和相位变化。频率响应可以表示为

  H(jω)=∣H(jω)∣ejθ(ω)

  其中，∣H(jω)∣ 是幅频响应，表示系统对不同频率信号的幅度增益；θ(ω) 是相频响应，表示系统对不同频率信号的相位偏移。例如，一个理想的低通滤波器的幅频响应在截止频率以下为1，在截止频率以上为0，相频响应为线性相位，这种特性使得低通滤波器能够无失真地通过低频信号，而抑制高频信号。

• 系统函数的物理意义：系统函数不仅描述了系统的频率特性，还能够通过其零点和极点分布来分析系统的稳定性、因果性等特性。例如，系统的极点位置决定了系统的稳定性和动态特性。如果系统的极点全部位于左半复平面，则系统是稳定的；如果极点位于右半复平面，则系统是不稳定的。

• 实际应用中的系统函数：在实际应用中，系统函数被广泛用于设计和分析各种信号处理系统。例如，在通信系统中，通过设计系统的频率响应，可以实现信号的调制、解调、滤波等功能。在音频处理中，通过调整系统的频率响应，可以改善音频信号的音质，如通过均衡器调整不同频率的增益。

5.2 系统的频域稳定性

系统的频域稳定性是指系统在频域中对输入信号的响应是否保持有界。频域稳定性是系统能够正常工作的基本要求之一，它与系统的时域稳定性密切相关。

• 奈奎斯特稳定性判据：奈奎斯特稳定性判据是一种基于频域分析的稳定性判断方法。它通过分析系统开环频率响应 G(jω) 的奈奎斯特图来判断闭环系统的稳定性。奈奎斯特图是开环频率响应在复平面上的轨迹。如果奈奎斯特图不包围点 −1+j0，则闭环系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。例如，在一个典型的二阶控制系统中，通过调整系统的增益和阻尼比，可以使奈奎斯特图不包围 −1+j0，从而保证系统的稳定性。

• 伯德图分析：伯德图（Bode Plot）是另一种常用的频域分析工具，它包括幅频特性曲线和相频特性曲线。幅频特性曲线以对数频率为横轴，以对数幅度为纵轴；相频特性曲线以对数频率为横轴，以相位为纵轴。通过伯德图，可以直观地分析系统的增益裕度和相位裕度，从而判断系统的稳定性。例如，一个系统的增益裕度为6dB，相位裕度为45°，这表明系统具有足够的稳定裕度，能够在一定程度的参数变化下保持稳定。

• 频域稳定性的实际意义：频域稳定性在实际工程应用中具有重要意义。例如，在控制系统设计中，通过频域分析可以确定系统的稳定性和性能指标，如超调量、调节时间等。在通信系统中，频域稳定性可以保证信号在传输过程中的完整性，避免因系统不稳定而导致的信号失真。

6.1 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是信号与系统分析中一种重要的数学工具，它将信号从时域转换到复频域，从而简化了系统分析和设计的过程。拉普拉斯变换的定义为

X(s)=∫−∞∞​x(t)e−stdt

其中，s=σ+jω 是复频率，σ 是实部，ω 是虚部。

• 拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换具有许多重要的性质，这些性质使得它在信号与系统分析中具有广泛的应用。例如，线性性质表明拉普拉斯变换是线性操作，即

  aX1​(s)+bX2​(s)=a∫−∞∞​x1​(t)e−stdt+b∫−∞∞​x2​(t)e−stdt

  其中，a 和 b 是常数。时移性质表明，如果信号 x(t) 的拉普拉斯变换为 X(s)，那么 x(t−t0​) 的拉普拉斯变换为 e−st0​X(s)，这表明时移操作在复频域中对应于乘以一个指数因子。微分性质表明，信号的导数在复频域中对应于乘以 s，即

  L{x′(t)}=sX(s)−x(0−)

  其中，x(0−) 是信号在 t=0 时刻的初始值。这些性质使得拉普拉斯变换在分析线性时不变系统的动态特性时非常方便。

• 拉普拉斯变换的应用：拉普拉斯变换在系统分析、控制系统设计、信号处理等领域有着广泛的应用。在系统分析中，通过拉普拉斯变换可以将系统的微分方程转换为代数方程，从而简化系统的分析和求解。例如，对于一个线性时不变系统，其输入信号 x(t) 和输出信号 y(t) 之间的关系可以用微分方程表示，通过拉普拉斯变换可以将该微分方程转换为

  Y(s)=H(s)X(s)

  其中，H(s) 是系统的传递函数，它描述了系统在复频域中的特性。在控制系统设计中，拉普拉斯变换可以用于设计控制器和分析系统的稳定性。例如，通过分析系统的传递函数的极点分布，可以判断系统的稳定性。如果系统的极点全部位于复平面的左半部分，则系统是稳定的。在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于设计滤波器和分析信号的频谱特性。例如，通过拉普拉斯变换可以设计低通滤波器、高通滤波器等，以满足不同的信号处理需求。

• 拉普拉斯变换的逆变换：拉普拉斯变换的逆变换用于将信号从复频域转换回时域，其数学表达式为

  x(t)=2πj1​∫σ−j∞σ+j∞​X(s)estds

  其中，σ 是复频率 s 的实部。逆变换通常通过部分分式展开的方法进行计算，即将 X(s) 分解为若干个简单的部分分式，然后分别求解每个部分分式的逆变换。例如，对于一个有理函数 X(s)=D(s)N(s)​，可以将其分解为

  X(s)=k=1∑n​s−pk​Ak​​

  其中，pk​ 是 X(s) 的极点，Ak​ 是对应的留数。然后，每个部分分式的逆变换为 Ak​epk​t，从而得到信号在时域中的表达式。

6.2 Z变换

Z变换是离散时间信号与系统分析中的一种重要工具，它将离散时间信号从时域转换到Z域，从而简化了离散系统的分析和设计。Z变换的定义为

X(z)=n=−∞∑∞​x[n]z−n

其中，z 是复变量。

• Z变换的性质：Z变换具有许多重要的性质，这些性质使得它在离散时间信号与系统分析中具有广泛的应用。例如，线性性质表明Z变换是线性操作，即

  aX1​(z)+bX2​(z)=an=−∞∑∞​x1​[n]z−n+bn=−∞∑∞​x2​[n]z−n

  其中，a 和 b 是常数。时移性质表明，如果信号 x[n] 的Z变换为 X(z)，那么 x[n−n0​] 的Z变换为 z−n0​X(z)，这表明时移操作在Z域中对应于乘以一个幂次因子。尺度性质表明，信号的尺度变换在Z域中对应于乘以一个常数因子，即

  Z{anx[n]}=X(az)

  其中，a 是常数。这些性质使得Z变换在分析离散时间系统的动态特性时非常方便。

• Z变换的应用：Z变换在离散时间系统分析、数字信号处理、控制系统设计等领域有着广泛的应用。在离散时间系统分析中，通过Z变换可以将系统的差分方程转换为代数方程，从而简化系统的分析和求解。例如，对于一个离散时间线性时不变系统，其输入信号 x[n] 和输出信号 y[n] 之间的关系可以用差分方程表示，通过Z变换可以将该差分方程转换为

  Y(z)=H(z)X(z)

  其中，H(z) 是系统的传递函数，它描述了系统在Z域中的特性。在数字信号处理中，Z变换可以用于设计数字滤波器和分析信号的频谱特性。例如，通过Z变换可以设计FIR滤波器、IIR滤波器等，以满足不同的信号处理需求。在控制系统设计中，Z变换可以用于设计离散时间控制器和分析系统的稳定性。例如，通过分析系统的传递函数的极点分布，可以判断系统的稳定性。如果系统的极点全部位于单位圆内，则系统是稳定的。

• Z变换的逆变换：Z变换的逆变换用于将信号从Z域转换回时域，其数学表达式为

  x[n]=2πj1​∮C​X(z)zn−1dz

  其中，C 是围绕原点的闭合路径。逆变换通常通过部分分式展开的方法进行计算，即将 X(z) 分解为若干个简单的部分分式，然后分别求解每个部分分式的逆变换。例如，对于一个有理函数 X(z)=D(z)N(z)​，可以将其分解为

  X(z)=k=1∑n​z−pk​Ak​​

  其中，pk​ 是 X(z) 的极点，Ak​ 是对应的留数。然后，每个部分分式的逆变换为 Ak​pkn​，从而得到信号在时域中的表达式。

7.1 通信系统中的应用

信号与系统理论是通信系统的核心基础，广泛应用于信号的传输、处理和优化。在无线通信领域，信号的调制与解调是关键环节，傅里叶变换用于分析信号的频谱特性，从而设计高效的调制方案。例如，正交频分复用（OFDM）技术利用离散傅里叶变换（DFT）将信号分解为多个子载波，提高了频谱效率和抗干扰能力。在有线通信中，信号的传输损耗和噪声抑制是主要问题，通过拉普拉斯变换和系统函数分析，可以设计滤波器来减少噪声，提高信号质量。此外，信号与系统理论还用于通信系统的同步技术，如时钟同步和载波同步，确保信号的准确接收。

7.2 控制系统中的应用

在控制系统中，信号与系统理论用于分析和设计系统的稳定性和性能。拉普拉斯变换是控制系统分析的重要工具，通过将时域信号转换到复频域，可以简化系统的动态分析。例如，在闭环控制系统中，通过拉普拉斯变换可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、超调量和调节时间等性能指标。根轨迹法和伯德图是基于拉普拉斯变换的常用分析方法，根轨迹法通过绘制系统极点随参数变化的轨迹，直观地判断系统的稳定性；伯德图则用于分析系统的频域特性，如增益裕度和相位裕度。在实际应用中，信号与系统理论还用于设计控制器，如PID控制器，通过调整控制器参数，使系统达到期望的性能。