动态规划-构建乘积数组

描述

给定一个数组 A[0,1,…,n-1] ,请构建一个数组 B[0,1,…,n-1] ,其中 B 的元素 B[i]=A[0]A[1]…*A[i-1]A[i+1]…*A[n-1]（除 A[i] 以外的全部元素的的乘积）。程序中不能使用除法。（注意：规定 B[0] = A[1] * A[2] * … * A[n-1]，B[n-1] = A[0] * A[1] * … * A[n-2]）
对于 A 长度为 1 的情况，B 无意义，故而无法构建，用例中不包括这种情况。

数据范围：1≤n≤10 ，数组中元素满足 ∣val∣≤10
示例1
输入：
[1,2,3,4,5]
返回值：
[120,60,40,30,24]
示例2
输入：
[100,50]
复制
返回值：
[50,100]

题目分析

这题算个easy的题,原因是它的暴力解法很简单。如果要求时间复杂度是o(n),我觉得可以算作一个mediem题。题目描述的很清晰，没什么弯弯绕绕，就是要我们输出一个给定数组乘积的数组，数组的每一项都分别少乘一个数。

题解

暴力解法

暴力解法很简单，直接根据题意，每次乘的时候少乘一个数，2次for循环就能解决问题，下面直接上代码。

import java.util.*;
public class Solution {
    public int[] multiply (int[] A) {
        int[] b= new int[A.length];
        for(int i=0;i<A.length;i++){
            int res = 1;
            for(int j=0;j<A.length;j++){
                if(i==j) continue;
                res = res*A[j];
            }
            b[i] = res;
        }
        return b;
    }
}

暴力解法不做过度解释，相信大家都能看懂，同时它的时间复杂度也达到了惊人的o(n²)

两次遍历

为了降低暴力解法的时间复杂度，我们必须得有利用空间来置换时间的想法。我们可以把数组B的结果用一个表格来列举出来，如下图：
B数组结果
我们可以先忽略掉B[n]这一行，直接看带有A的举证
矩阵A
我们可以看到，这个矩阵以1为分割线，将矩阵分为了上下两个三角形。而B的结果就是这个矩阵每一行的乘积。
下三角用连乘可以很容求得，上三角，从下向上其实也是连乘。

因此我们的思路就很清晰了，先算下三角中的连乘，即我们先算出B[n]中的一部分，然后倒过来按上三角中的分布规律，把另一部分也乘进去，两次遍历，结果就出来了。

接下来我们直接上代码:

import java.util.*;
public class Solution {
    public int[] multiply (int[] A) {
        int[] b= new int[A.length];
        b[0] = 1;
        //第一次遍历算上三角，也就是对角线下面的三角形，我们根据规律可以看出b[0]的值直
        //接就是1，后面b[i]的值就是上一层b[i-1]的值乘上A[i-1]即可。
        for(int i=1;i<A.length;i++){
            b[i] = A[i-1]*b[i-1];
        }
        //第二次遍历，我们再把下三角累乘出来，分别跟上面的b[i]做乘积，这样每层的结果就
        //出来了，同时我们需要一个temp临时变量来记录每次累乘的结果
        int temp = 1;
        for(int i=A.length-1;i>=0;i--){
        //每次累乘的结果乘上b[i]就是那一行的值咯
            b[i] = b[i]*temp;
            /再进行下一次累乘
            temp = temp*A[i];  
        }
        return b;
    }
}