11-08 周三图解机器学习之实现逻辑异或，理解输出层误差和隐藏层误差项和动量因子

11-08 周三图解机器学习之实现逻辑异或，理解输出层误差和隐藏层误差项

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2023年11月8日14:36:36	V0.1	宋全恒	新建文档

简介

最近笔者完成了《图解机器学习》这本书的阅读，由于最近深度学习网络大行其是，所以也想要好好的弄清楚神经网络的工作原理。比如说训练、比如说验证，比如说权重更新，之前也曾经写过两个博客来描述感知机和BP算法示意。

10-09 周一图解机器学习之深度学习感知机学习
11-06 周一神经网络之前向传播和反向传播代码实战

反向传播这个博客里主要通过一个样本，来不断的更新参数，但实际的神经网络结构是不会像博客中name简单的，因此还是需要给出一个计算公式的。在阅读图解机器学习P169页，如下代码时，自己没有看懂：

        # 计算输出层误差
        for k in range(self.no):
            error = targets[k] - self.ao[k]
            output_deltas[k] = dsigmoid(self.ao[k]) * error
            
        # 计算隐藏层的误差
        hidden_deltas = [0.0]*self.nh
        for j in range(self.nh):
            error = 0
            for k in range(self.no):
                error = error + output_deltas[k] * self.wo[j][k]
            hidden_deltas[j] = dsigmoid(self.ah[j]) * error
            
        # 更新输出层权重
        for j in range(self.nh):
            for k in range(self.no):
                change = output_deltas[k]*self.ah[j]
                self.wo[j][k] = self.wo[j][k] + N*change + M * self.co[j][k]

上述在计算过程中求出了输出层误差和隐藏层误差项。如何理解这个代码片段呢？

完整代码

import math
import random
import string
random.seed(0)

# 生成区间[a, b)内的随机数
def rand(a, b):
    return (b - a) *random.random() + a


# 生成I*J大小的矩阵， 默认零矩阵
def makeMatrix(I, J, fill=0.0):
    m = []
    for i in range(I):
        m.append([fill]*J)
    return m

# 函数 sigmoid， 采用tanh函数， 比起标准的1/(1+exp(-x))更好
def sigmoid(x):
    return math.tanh(x)

# 函数sigmoid的派生函数 tanh(x)' = 1 - tanh(x)^2
def dsigmoid(x):
    return 1.0 - x**2


class BPNeuralNet:
    '''建立三层反向传播神经网络'''
    def __init__(self, ni, nh, no) -> None:
        self.ni = ni + 1
        self.nh = nh
        self.no = no
        
        # 激活神经网络的所有节点
        self.ai = [1.0]* self.ni
        self.ah = [1.0]*self.nh
        self.ao = [1.0]* self.no
        
        # 建立权重矩阵
        self.wi = makeMatrix(self.ni, self.nh)
        self.wo = makeMatrix(self.nh, self.no)
        
        # 设为随机值
        for i in range(self.ni):
            for j in range(self.nh):
                self.wi[i][j] = rand(-0.2, 0.2)
                
        for i in range(self.nh):
            for j in range(self.no):
                self.wo[i][j] = rand(-2.0, 2.0)
                
                
        # 建立动量因子
        self.ci = makeMatrix(self.ni, self.nh)
        self.co = makeMatrix(self.nh, self.no)
        
    # 前向传播，得到预计的输出。
    # 各个神经元的输出分别位于self.ah 和self.ao
    # inputs 代表一个样本
    def fp(self, inputs):
        if len(inputs) != self.ni -1:
            raise ValueError('与输入层节点数不符错误!')
        
        for i in range(self.ni-1):
            self.ai[i] = inputs[i]
        
        for j in range(self.nh):
            sum = 0.0
            for i in range(self.ni):
                sum += self.ai[i]* self.wi[i][j]
            self.ah[j] = sigmoid(sum)
        
        # 激活输出层
        for j in range(self.no):
            sum = 0
            for i in range(self.nh):
                sum += self.ah[i]*self.wo[i][j]
                
            self.ao[j] = sigmoid(sum)
        return self.ao[:]
    
    # N 学习速率 learning factor
    # M 动量因子 momentum factor
    # 基本思路是直接求出每个神经元的误差
    def back_propagate(self, targets, N, M):
        '''反向传播'''
        if len(targets) != self.no:
            raise ValueError("与输出层节点数不符!")
        
        output_deltas = [0.0] * self.no
        
        
        # 计算输出层误差
        for k in range(self.no):
            error = targets[k] - self.ao[k]
            output_deltas[k] = dsigmoid(self.ao[k]) * error
            
        # 计算隐藏层的误差
        hidden_deltas = [0.0]*self.nh
        for j in range(self.nh):
            error = 0
            for k in range(self.no):
                error = error + output_deltas[k] * self.wo[j][k]
            hidden_deltas[j] = dsigmoid(self.ah[j]) * error
            
        # 更新输出层权重
        for j in range(self.nh):
            for k in range(self.no):
                change = output_deltas[k]*self.ah[j]
                self.wo[j][k] = self.wo[j][k] + N*change + M * self.co[j][k]
                self.co[j][k] = change
        
        # 更新输入层权重
        for i in range(self.ni):
            for j in range(self.nh):
                change=hidden_deltas[j]*self.ai[i]
                self.wi[i][j] += N * change + M * self.ci[i][j]
                self.ci[i][j] = change
        
        error = 0.0
        for k in range(len(targets)):
            error = error + 0.5*(targets[k]-self.ao[k])**2
        return error
    

    def test(self, patterns):
        for p in patterns:
            print(p[0], '->', self.fp(p[0]))
            
    
    def weights(self):
        print('输入层权重')
        for i in range(self.ni):
            print(self.wi[i])
            
        print()
        print("输出层权重")
        for j in range(self.nh):
            print(self.wo[j])
    
    def train(self, patterns, iterations=100000, N =0.5, M=0.1):
        for i in range(iterations):
            error = 0.0
            for p in patterns:
                inputs = p[0]
                targets = p[1]
                self.fp(inputs)
                error = error + self.back_propagate(targets, N, M)
                
            if i % 100 ==0:
                print('计算误差的值是: %-.5f'%error)
                    
def trainprog():
    # BP神经网络学习逻辑异或
    pat = [
        [[0, 0], [0]],
        [[0, 1], [1]],
        [[1, 0], [1]],
        [[1, 1], [0]]
    ]
    # 创建一个神经网络，输入层两个节点， 输出层两个节点，输出层一个节点：
    net = BPNeuralNet(2, 3, 1)
    net.train(pat)
    
    # 测试训练的成果
    net.test(pat)
    
if __name__ == '__main__':
    trainprog()

上述代码在理解上并不复杂，主要是通过三层神经网络来拟合逻辑异或运算。采用的是个案更新的策略来更新权重参数。

权重更新

基础知识

多层前馈神经网络。

一个示例：奶酪是否喜爱。

为此我们构建一个神经网络：

激活函数

指数函数
sigmoid
逻辑回归

校正因子的概念如下：

权重更新的策略有多种：

个案更新 case-based 更容易得到准确的结果。
批量更新 batch 优点就是比较快，加速。

迭代终止条件

迭代终止条件：

当权重和偏置差异与上一次非常小
误差达到之前设置的阈值
运行次数

存疑代码

        # 计算输出层误差
        for k in range(self.no):
            error = targets[k] - self.ao[k]
            output_deltas[k] = dsigmoid(self.ao[k]) * error
            
        # 计算隐藏层的误差
        hidden_deltas = [0.0]*self.nh
        for j in range(self.nh):
            error = 0
            for k in range(self.no):
                error = error + output_deltas[k] * self.wo[j][k]
            hidden_deltas[j] = dsigmoid(self.ah[j]) * error
            
        # 更新输出层权重
        for j in range(self.nh):
            for k in range(self.no):
                change = output_deltas[k]*self.ah[j]
                self.wo[j][k] = self.wo[j][k] + N*change + M * self.co[j][k]
                self.co[j][k] = change
        
        # 更新输入层权重
        for i in range(self.ni):
            for j in range(self.nh):
                change=hidden_deltas[j]*self.ai[i]
                self.wi[i][j] += N * change + M * self.ci[i][j]
                self.ci[i][j] = change

上述分别计算出了输出层的误差项和输出层的误差项。按照上述代码理解，前两个for循环用于计算误差项，后两个循环用来更新权重，顺序从后向前，这也是反向传播得名的由来。关键是为什么输出层的误差是这么得来的呢？

参考 BP神经网络-第6集反向传播误差，调整全部权重，这对于理解是非常关键的。

我们以同样的方式，就可以得到每个神经元的误差。如下图

可以采用矩阵相乘的方法

权重通过矩阵乘表示。

gpt辅助理解

自己还是无法理解，但感觉输出层的误差项与选用的损失函数密切相关，因此，笔者询问了GPT，得到了如下的结果：

为什么要乘以激活函数的导数？

交叉熵损失函数的输出层误差项

均方差输出层误差项：

由此，我们可以得到如下的图示：

在计算h1节点的误差项时，输出层两个误差项以w7 和 w8进行作用，进而可以得到h1神经元的误差项：

error_h1=w₇*e₁ + w₈ * e₂。依次可以得到h1, h2, h3神经元的误差项损失。

动量因子

代码片段，其实整体贯彻了P166 图解机器学习图13.10，

相互映照，也可以通过代码来理解上述的过程：

代码参见 11-06 周一神经网络之前向传播和反向传播代码实战

总结

这部分的代码片段比之前的全部手动计算权重更新的过程复杂一些，因为抽象出了输出层误差项和隐藏层误差项，代码的抽象知识更加复杂了，但 BP神经网络-第6集反向传播误差，调整全部权重则直接给出了误差项的矩阵乘表示，而这种方式，应该也是机器学习库中默认使用的方式吧。总之，这篇文章试图解释《图解机器学习》中第13章深度学习网络的代码，弄清楚其中权重更新的方式，包括为什么使用动量因子进行更新这种优化技术。希望读者能够读懂，进而在自己的工程实践中使用深度学习解决自己的问题。