647. 回文子串

动规五部曲

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义

在判断字符串S是否为回文时，如果知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。

判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。

所以为了明确这种递归关系，dp数组是要定义成一位二维dp数组。

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

 2、确定递推公式

当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

• 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
• 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
• 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

3、dp数组如何初始化

dp[i][j]初始化为false。如果为true，则表示已经全部匹配了

4、确定遍历顺序

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

5、举例推导dp数组        

图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        //本题遍历顺序改变，从下到上，从左到右
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) {
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) {
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

516. 最长回文子序列

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

动规五部曲

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2、确定递推公式

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如图：

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

 3、dp数组如何初始化

首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

4、确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

 5、举例推导dp数组

输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：

红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。

 

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
        //本题采用动态规划遍历顺序，与647. 回文子串题一样
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for(int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};

动态规划总结

动态规划这里时刻牢记动规五部曲，鉴于自身没有什么强大思维能力，所以每次写题的时候，慢慢来慢慢思考，动态规划给我的感受算不上难的那种，重点是在动规五部曲中前三步（当然其实没有都很重要），dp数组的定义，可以很好的推导出递推公式，通过递推公式可以方便初始化，然后确定遍历顺序，最后通过例子验证思路的正确性。

在做动规题目时，当我遇到新题的时候，思路不是特别清晰，但是通过看讲解理解了解题思路之后，慢慢的可以写出个大概来，但是细节处理不到位，在确定遍历顺序与初始化的时候时不时的会感到疑惑，这时必须去看题解了，理解题目思路以后，可以在脑中回想一下，或者在纸上模拟。动规不是在短时间内轻松掌握并熟练应用的，如果想达到熟练应用的地步应该每天去看看解过的题目，明白这道题是如何思考的，这类题应该用什么样的思维。

在动规里面给我印象深刻的题目有背包系列问题，股票问题，以及子序列问题，这几类题目平时练得比较多，因此在刷题过程中，即使每天会忘记一些，但是在做过一道题目以后，也能比较轻松解第二道题（大部分时候是能理解第二道题题解），这三个系列的题在leetcode上有比较多的题目供我们练习，可以每天再多看一道题，加深理解（即使不想做新题也可以从旧题出发）。加油！