这章节我们来解决的问题是：如何使用神经网络实现逻辑电路中的“异或门”模型？
如下图：
根据第2章我们知道，单层感知器是能够解决“与门”、“或门”、“非门”这些简单的线性问题，但是不能解决“异或门”这类非线性问题。
1.1 解决异或门问题的思路
如果在单层感知器上增加一层，能够很好的解决异或问题。
例如网络结构如下：
我们把每一个感知器节点代表了一个分类器，那么几个节点学习到的分割线如下：
以上3个节点的组合就可以解决异或门问题。
1.2 sigmoid激活函数 -- 线性转为非线性
多层感知器中，我们期望分割面是非线性的，故选择为sigmoid为激活函数。
sigmoid表达式和曲线：
sigmoid函数也叫 Logistic 函数，取值范围为(0,1)，它可以将一个实数映射到(0,1)的区间。
求导如下：
这个公式在计算梯度的时候用到。
那么采样非线性激活函数，神经网络就有可能学习到平滑的曲线来分割平面，从线性到非线性。
1.3 新的问题
按照单层感知器的权重更新，节点3的权重更新可以轻松求得；但是节点1和节点2权重的更新如何求解呢？
按照公式如下：
要求得w111必须要知道节点1的期望值，但是节点1,2的期望值不存在，不能直接求其梯度。
解决方案：误差反向传播算法（Backpropagation，BP算法）
1.4 误差反向传播算法 -- BP算法
神经网络的训练关键在于如何调整权值和阈值，采用的算法：
（1）单层感知机的算法：梯度下降算法；
（2）多层感知器的算法：误差反向传播算法（error Back Propagation）,简称BP算法。
反向传播过程如下：
在多层神经网络中，从最后一层开始，逐层的反向进行误差信息传递，并更新相应权重。使用BP算法的多层前馈（向前传播方式没有回路或者环路）网络又称之为BP神经网络；
BP神经网络学习过程：
以下图来源：http://galaxy.agh.edu.pl/~vlsi/AI/backp_t_en/backprop.html
（1）以一个3层全连接网络来为例子
下面通过一个3层全连接网络来讲解，包含2个输入、2个隐藏层（第1层3个节点、第2层2个节点）、一个输出（第3层1个节点），节点计算如右图：
（2）前向传播
输入层到隐藏层的计算，即计算第一层输出y1,y2,y3
隐藏层到隐藏层的计算，即计算第2层输出y4,y5。
隐藏层到输出层，即计算输出y
（3）反向传播
反向传播，根据网络的连接路径，从输出层反向把误差项前向传递，并更新权重和偏置参数的过程。
误差项计算：将网络输出信号y与训练数据集的输出值z（期望值）进行比较，得到的差异被称为输出层神经元的误差信号d（不是均方误差，是计算梯度的某一项）。
内部神经元的误差项的计算，有2种情况：
<1>误差权重：即前向传播的权重；
<2>如果传播的误差来自多个关联神经元，它们将被叠加。
（4）权重更新
权重更新，根据网络的连接路径，从输出层反向把误差反向传递并更新权重和偏置的过程。
权重更新公式：
（5）总结
来源：http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap2.html
1.5 多层感知器 -- 异或门例子
异或门数据集定义：
import numpy as np
def get_xy_data():
""" XOR的训练集 -- 真值表 """
x = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])
y = np.array([0, 1, 1, 0])
return x,y多层感知器模型定义：
import numpy as np
""" 定义感知器模型结构 """
class XORGateModel():
def __init__(self):
""" 初始化权重、偏置 """
self.w = np.random.normal(size=6).reshape((3, 2)) # 权重
self.b = np.random.normal(size=3) # 偏置
self.lr = 0.1 # 学习率(超参数)
def sigmoid(self, x):
return 1/(1 + np.exp(-x))
def dsigmoid(self, x):
y = self.sigmoid(x)
return y * (1 - y)
def forward(self, x):
""" 前向计算 """
y1 = self.sigmoid((x[0]*self.w[0][0]) + (x[1]*self.w[0][1]) + self.b[0])
y2 = self.sigmoid((x[0]*self.w[1][0]) + (x[1]*self.w[1][1]) + self.b[1])
y3 = self.sigmoid((y1*self.w[2][0]) + (y2*self.w[2][1]) + self.b[2])
return y3
def update_weight(self, x, n, d):
e = (x[0] * self.w[n][0]) + (x[1] * self.w[n][1]) + self.b[n]
self.w[n][0] = self.w[n][0] + (self.lr * d * self.dsigmoid(e) * x[0])
self.w[n][1] = self.w[n][1] + (self.lr * d * self.dsigmoid(e) * x[1])
self.b[n] = self.b[n] + (self.lr * d * self.dsigmoid(e))
def train(self, X, Y):
"""
X,Y -- 训练集
"""
for i in range(100000): # 迭代
j = 0
C = 0
for xi in X:
yi = self.forward(xi) # 前向计算
Ci = np.power((Y[j] - yi), 2) / 2 # 计算误差
C += Ci
# 更新权重跟偏置
if Ci > 0:
d = Y[j] - yi
d1 = self.w[2][0] * d
d2 = self.w[2][1] * d
self.update_weight(xi, 0, d1) # 节点1
self.update_weight(xi, 1, d2) # 节点2
self.update_weight(xi, 2, d) # 节点3
j += 1
print("epoch{} 误差:{}, 权重:{}".format(i, C, self.w))
# 什么时候退出?
if C <= 0.05:
print("=== 与门的4数据都正确了, 退出迭代")
break训练并保存参数：
# 训练
import data_manager
X, Y = data_manager.get_xy_data() # 读取数据集
model = XORGateModel() # 实例化类对象
model.train(X, Y) # 执行训练
# 验证训练结果是否正确
for xi in X:
print("验证 输入:{} 模型的前向计算结果:{}".format(xi, model.forward(xi)))
# 保存模型参数
np.savez("./params", model.w, model.b)读取参数并预测：
import numpy as np
if __name__ == "__main__":
# 加载参数
r = np.load("./params.npz")
print("权重", r["arr_0"])
print("偏置", r["arr_1"])
# 设置参数到网络结构
import model
and_model = model.AndGateModel()
and_model.w = r["arr_0"]
and_model.b = r["arr_1"]
# 预测
X = [[0,0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]]
for xi in X:
print("预测 输入:{} 结果:{}".format(xi, and_model.forward(xi)))代码地址：https://download.csdn.net/download/qq_21386397/87567645
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