机器学习（六）

一，决策树：

简介：

决策树是一种通过构建类似树状的结构（颠倒的树），从根节点开始逐步对数据进行划分，最终在叶子节点做出预测结果的模型。

结构组成：

根节点：初始的数据集全集，没有经过任何划分（最顶层的部分）

内部节点：代表对某个特征的测试，根据特征值将数据划分为子节点（中间部分）

叶子节点：代表最终的分类结果或回归值（最底层的部分）

学习过程：

①选择根节点：找到一个明显的特征，能将数据最纯净地分为两组

②递归：对每个子节点重复上述操作，直到所有样本都同属于一类（完全纯净） or 没有更多的特征可用 or 达到的预设的树的深度（防止过拟合）

测量分类纯度（以区分猫狗为例）：

①信息熵：

熵(H)的函数图像如上图所示，当区分后的样本全为猫或狗时，熵为0；当样本中猫和狗的比例越接近于1时，熵越大。

熵的函数：

Pi是数据集中第i类样本的比例

当所有样本属于同一类时（完全纯净），熵为0；当样本类别均匀分布时，熵最大。

②基尼指数：

基尼指数衡量随机抽取的两个样本类别不一致的概率，数值越小纯度越高

公式：

当数据集完全纯净时，基尼指数为0；当数据集类别分布均匀时，基尼指数为0.5

③分类误差：

分类误差表示使用多数类作为标签时误分类的概率

公式：

完全纯净时误差为0，二分类均匀分布时误差为0.5

三者比较：

计算效率：基尼指数=分类误差>信息熵

敏感度：信息熵>基尼指数>分类误差

三者在决策树中的应用：

信息增益（熵）：通过父节点减去子节点熵的加权平均值来选择增益最大的特征

基尼指数：类似信息增益，选择使基尼指数下降最多的分割

信息增益的实现：

信息增益：在构建决策树过程中，使用某个特征对数据集实现分割后，学习熵的减少程度。

核心：选择使信息增益最大的特征进行分割（即使学习熵减少程度最大），最大程度上纯化子节点

实现步骤：

①计算父节点的熵：

②按照特征分割，计算子节点的熵

③计算加权子节点的熵

④计算信息增益

举例：

假设父节点中有10个样本，6个属于A类，4个属于B类

①计算父节点的熵：代入信息熵的公式得到父节点的熵为0.971

②按特征分割数据，计算子节点的熵：用特征将这10个样本分为两个子节点，每个子节点有5个样本，分别计算两个子节点的熵。

子节点1（4A1B）：熵为0.722

子节点2（2A3B）：熵为0.971

③计算加权子节点熵：

加权熵=（5/10）*子节点1熵+（5/10）*子节点2熵=0.8465

④计算信息增益：

信息增益=父节点熵-加权子节点熵=0.1245

构建决策树：

①数据准备和预处理：

从决策树的根结点开始，对数据进行数据清洗和特征处理或标签编码

②分割：

通过选择该特征后提供的最高信息增益的特性进行分割

③创建树的分支：

根据所选特性将数据集拆分成两个子集，并创建树的分支，后将数据集划分给分支

④递归：

对每个子节点重复上述操作，直到满足停止条件

停止条件：

节点纯度达标
达到预设的最大树深
继续分割的信息增益低于阈值（无显著信息增益）
子节点的样本数小于阈值（样本数过少）

One-Hot编码：

One-Hot编码是将包含K个类别的离散特征转换为K个二元特征，常用在构建决策树时，处理多类别特征。

举例：原始特征“颜色”包含三个类别：红，蓝，绿

经过One-Hot编码后生成三个新特征：是不是红色，是不是蓝色，是不是绿色

优点：可以将多类别特征转换为二元特征，每个特征仅对应一个类别，模型可以更灵活的选择分割点；可以避免算法对多取值特征的偏好

缺点：

1.增加特征数量，增加计算负担

2.降低单个特征的重要性，使得信息分散

3.过拟合风险

拆分连续值的决策树分支：

连续值的分割目标是找到某个阈值，将数据集分为两个子集，使得分割后的子集纯度最高。

实现步骤：

排序连续特征值
根据排完序的特征值点生成候选分割点
计算每个分割点之间的纯度
对比执行后分割

二，回归树模型：

回归树是一种用来预测连续数值的决策树模型，如用来预测房价，温度......。与分类树不同，分类树预测的是类别，而回归树预测的是连续的数值。

实现原理：

从根节点到叶节点，分而治之，将数据集划分为多个小区域，每个区域内的样本数尽可能相似，直到每个小区域足够纯净

拆分步骤：

①遍历所有特征

②遍历每个特征的所有可能分割点：

若为连续特征：尝试相邻值的中间点；若为离散特征，尝试每个类别

③选择最优分割点

衡量指标：均方误差（EMS）

均方误差是衡量一个区域内样本的数值差异的程度，均方误差越小，该区域内样本越相似。

通过计算分割后的左右子区域的均方误差和，选择使总均方误差和最小的分割方式。

回归树的构建流程：

从根节点开始，遍历所有特征---> 遍历分割点，选择使总均方误差最小的分割方式--->生成子节点，按分割条件将数据分为左右两个部分 ---> 递归处理子节点，重复上述步骤 ---> 达到停止条件（回归树达到预测树深||区域内样本数过少||均方误差下降不明显）

代码实现及运行结果：

from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
import pandas as pd

# 示例数据：房屋面积（㎡）和价格（万元）
data = pd.DataFrame({
    '面积': [80, 120, 100, 90, 150],
    '价格': [300, 450, 400, 350, 500]
})

# 训练回归树模型
model = DecisionTreeRegressor(max_depth=2)  # 限制树深度为2
model.fit(data[['面积']], data['价格'])

# 预测新样本
new_house = pd.DataFrame({'面积': [110]})
predicted_price = model.predict(new_house)
print(f"预测价格：{predicted_price[0]:.1f}万元")  # 输出：预测价格：425.0万元