李代数与Attention：深度学习中的数学之美

引言

作为一名深度学习研究者，您一定对Transformer模型和其中的注意力机制（Attention）不陌生。Attention通过查询（Query）、键（Key）和值（Value）之间的矩阵运算，赋予模型捕捉序列中长距离依赖的能力。但您有没有想过，这种机制背后是否隐藏着更深的数学结构？答案是肯定的：李代数（Lie Algebra），一种起源于数学和物理的概念，可以为Attention提供一个优雅的解释框架。

在这篇博客中，我将从零开始介绍李代数，逐步揭示它如何与Attention机制相联系，尤其是在Transformer的Softmax注意力中。我们不需要复杂的数学背景，只需熟悉矩阵运算和深度学习的基本概念即可。让我们开始这场数学与深度学习的奇妙旅程吧！

灵感来源

今天看到X上面的一条tweet：描述的是Attention和Lie Algebra的关系。

Link：https://x.com/jeroaranda/status/1894550046298784243，访问时间是2025年2月27日，此时作者相关的paper还没有挂出来，具体细节不得而知。

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1. 李代数是什么？

李代数最初是为了研究连续变换（比如旋转、平移）而诞生的数学工具。它是李群（Lie Group）的“切空间”，简单来说，李群是一组连续的变换（比如旋转矩阵），而李代数则是这些变换的“生成器”。

一个直观的例子

想象你在玩一个三维旋转的游戏。每次旋转都可以用一个3×3的矩阵表示，这些矩阵组成了一个李群。如果我们想知道这些旋转是如何产生的，就需要李代数——它就像是一个“速度”或“方向”的描述器，通过指数映射（exponential map）生成具体的旋转矩阵。

数学定义

在数学上，李代数是一个向量空间，通常由矩阵组成。例如，一个李代数 ( $g$ ) 可以包含一些特殊的矩阵 ( $A$ )，满足特定条件（如非对角元素非负，每行和为零）。通过指数映射 ( $\exp (A)$ )，我们可以生成一个随机矩阵（stochastic matrix），也就是行和为1的矩阵，和Attention中的Softmax输出很像。

关键点：李代数通过指数映射生成变换，而这种变换与Attention的权重计算有惊人的相似之处。

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2. Attention机制快速回顾

在深入联系之前，我们先回顾一下Attention的核心。Transformer中的自注意力机制是这样工作的：

1. 输入序列通过嵌入矩阵 ( $X$ ) 表示。
2. 计算查询 ( $Q=X{W}_Q$ )、键 ( $K=X{W}_K$ )、值 ( $V=X{W}_V$ )，其中 ( $W_Q,W_K,W_V$ ) 是可学习的权重矩阵。
3. 通过 ( $Q$ ) 和 ( $K$ ) 计算注意力权重：
   $$S=\text{softmax}\left(\frac{Q{K}^T}{\sqrt{d}}\right),$$
   其中 ( $d$ ) 是嵌入维度，Softmax确保每一行的和为1。
4. 输出为 ( $\text{Output}=S\cdot V$ )。

这个过程的核心是 ( S )，它决定了每个输入位置对其他位置的关注程度。接下来，我们将看到，李代数如何为 ( S ) 提供一个数学解释。

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3. 李代数如何解释Attention？

阅读过程中，如果有不清楚的地方，可以移步后文中的补充部分，那里有很多解释，看是否解答了疑惑。

让我们一步步拆解李代数与Attention的联系。以下内容参考了“Attention as Lie Group Action”的数学框架，但会用更直白的方式解释。

3.1 李代数生成矩阵

假设我们有一个李代数 ( $g$ )，它包含一些生成矩阵 ( $A$ )。这些矩阵的特点是：

• 对角线外的元素是非负的（类似注意力权重的非负性）。
• 每行和为零（通过指数映射后会变成和为1）。

通过指数映射 ( $\exp (A)$ )，我们可以生成一个随机矩阵。这种矩阵非常像Attention中的 ( $S=\text{softmax}(Q{K}^T)$ )，因为Softmax也输出一个行和为1的权重矩阵。

3.2 Attention作为指数映射

在Transformer中，( $Q{K}^T$ ) 计算了输入之间的相似性，经过Softmax后变成注意力权重 ( $S$ )。研究表明，这种过程可以近似看作是对某个生成矩阵 ( $G_t$ ) 的指数映射：
$$S_t\approx \exp (G_t),$$
其中 ( $G_t$ ) 是一个与序列位置相关的生成矩阵。比如，在因果注意力（Causal Attention）中，( $G_t$ ) 会遮盖未来的信息（causal masking）。

直观理解：Softmax就像一个“平滑的指数函数”，将 ( $Q{K}^T$ ) 转换为一个概率分布，而李代数的指数映射提供了类似的数学结构。

3.3 嵌入矩阵的低秩近似

Attention中的 ( $Q$ ) 和 ( $K$) 来自嵌入矩阵 ( $E$ ) 和权重 ( $W_Q,W_K$ ) 的乘法：
$$Q{K}^T=(E{W}_Q)(E{W}_K{)}^T.$$
如果我们把 ( $W_Q{W}_K^T$ ) 看作一个低秩矩阵 ( $A_{\text{proj}}$ )，它可以通过嵌入 ( $E$ ) 投影到李代数中：
$$A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE.$$
这说明Attention的计算本质上是对嵌入空间的一个李代数变换。

3.4 值矩阵的李群作用

输出 ( $S\cdot V$ ) 可以看作李群对值矩阵 ( $V$ ) 的作用：
$$\text{Output}=\exp (G_t)\cdot (XV).$$
这里，( $\exp (G_t)$ ) 扮演了全局变换的角色，将输入嵌入 ( $X$ ) 通过 ( $V$ ) 转换为输出。这种视角把Attention看作一种连续的数学变换，而非简单的矩阵乘法。

3.5 梯度与李代数更新

在训练中，交叉熵损失 ( $\mathcal{L}$ ) 会通过梯度更新参数。研究表明，这种更新与李代数的共轭作用有关：
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A}\approx E\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial S_t}\odot S_t\right)E^T.$$
这意味着梯度流动本质上是在李代数空间中调整生成矩阵 ( $A$ )。

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4. 为什么这种联系重要？

用李代数解释Attention有什么意义呢？

• 理论洞察：它揭示了Attention的数学本质，帮助我们理解为什么Transformer如此有效。
• 优化潜力：通过李代数的结构，可能设计出更高效的注意力机制，比如低秩近似或参数共享。
• 跨领域启发：李代数在物理和几何中有广泛应用，这种联系可能带来新的深度学习灵感。

例如，在NLP任务中，这种框架可以帮助分析注意力权重的分布；在视觉Transformer中，它可能启发新的模型设计。

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5. 一个简单的代码示例

如果您对代码感兴趣，这里是一个用PyTorch近似指数映射的例子：

import torch
import torch.nn.functional as F

# 假设输入
d = 64  # 嵌入维度
seq_len = 10  # 序列长度
X = torch.randn(seq_len, d)  # 输入嵌入

# 生成一个简单的生成矩阵 G
G = torch.randn(seq_len, seq_len)
G = G - torch.diag(G.sum(dim=1))  # 确保行和为0，模拟李代数

# 近似指数映射（用Softmax模拟）
S = F.softmax(G, dim=1)  # 注意力权重

# 输出
V = torch.randn(seq_len, d)  # 值矩阵
output = S @ V  # Attention输出

print(S.sum(dim=1))  # 验证行和为1

这段代码展示了如何用Softmax模拟李代数的指数映射，生成注意力权重。

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6. 总结与展望

通过这篇博客，我们看到李代数为Attention提供了一个优雅的数学框架：

• Softmax注意力近似于李代数的指数映射。
• 嵌入和值矩阵通过低秩近似和李群作用与李代数相连。
• 梯度更新反映了李代数的动态调整。

这种联系不仅加深了我们对Transformer的理解，还可能为未来的研究（如高效注意力机制）铺平道路。您可以尝试探索李代数在自己研究中的应用，或者留言讨论您的想法！

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参考文献

• “Attention is All You Need” (Vaswani et al., 2017)

• “Lie Groups and Lie Algebras” (数学入门书籍推荐)

• https://x.com/jeroaranda/status/1894550046298784243

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补充

详细解释：嵌入矩阵的低秩近似与李代数投影

2. 低秩近似：( $W_Q{W}_K^T$ ) 的作用

现在，我们关注 ( $W_Q{W}_K^T$ )。这个矩阵是两个权重矩阵的乘积，通常是一个低秩矩阵（rank-deficient），因为 ( $W_Q$ ) 和 ( $W_K$ ) 的大小是有限的（比如 ( $d_e\times d_k$ )，其中 ( $d_k$ ) 可能远小于 ( $d_e$ )）。低秩意味着 ( $W_Q{W}_K^T$ ) 可以被分解为两个较小矩阵的乘积，这在数学上和计算上非常重要。

文中提到：
$$A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE,$$
这里 ( $A_{\text{proj}}$ ) 是 ( $W_Q{W}_K^T$ ) 的某种近似形式，( $E$ ) 是嵌入矩阵，( $A$ ) 是某个李代数中的矩阵。让我们逐步拆解：

• ( $W_Q{W}_K^T$ ) 是一个低秩矩阵，可以看作描述查询和键之间关系的“生成器”。
• 通过嵌入矩阵 ( $E$ )，我们将这个低秩结构投影到序列的嵌入空间中，形成 ( $Q{K}^T$ )。
• 缩放因子 ( $\frac{1}{\sqrt{d}}$ )（通常是 ( $\frac{1}{\sqrt{d_k}}$ )）是为了稳定训练，避免 ( $Q{K}^T$ ) 的值过大（这是Attention中常见的技巧）。

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3. 投影到李代数：什么是“投影”？

“通过嵌入 ( $E$ ) 投影到李代数”这句话的意思是：我们将 ( $W_Q{W}_K^T$ )（或其近似 ( $A_{\text{proj}}$ )）看作一个李代数中的生成矩阵 ( $A$ )，然后用嵌入矩阵 ( $E$ ) 将这个李代数结构映射到Attention的计算中。

李代数的简单回顾（直观理解）：
李代数是一种数学结构，通常由一组矩阵组成，这些矩阵是连续变换（如旋转、平移）的“生成器”。这些矩阵满足特定条件（比如封闭性、反对称性等），并且通过指数映射 ( $\exp (A)$ ) 可以生成一个李群元素（比如随机矩阵）。在Attention的背景下，Li代数中的矩阵 ( $A$ ) 类似于一个“生成器”，它的指数映射可以产生类似于Softmax权重的随机矩阵。

投影过程：

• 我们假设 ( $A$ ) 是一个李代数中的矩阵（例如，具有特定结构的矩阵，如非对角元素非负、行和为零等）。
• 通过公式 ( $A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE$ )，我们用嵌入矩阵 ( $E$ ) 和其转置 ( $E^T$ ) 将李代数矩阵 ( $A$ ) 投影到嵌入空间，生成 ( $A_{\text{proj}}$ )。
• 这里的 ( $E^{T}AE$ ) 是一个线性变换，相当于用 ( $E$ ) 的行空间和列空间“过滤”或“投影”李代数矩阵 ( $A$ )，生成一个与序列数据相关的低秩矩阵 ( $A_{\text{proj}}$ )。
• 最终，( $A_{\text{proj}}$) 被用作 ( $W_Q{W}_K^T$ ) 的近似，从而影响 ( $Q{K}^T$ ) 和注意力权重 ( $S$ )。

直观理解：
想象 ( $A$ ) 是一个“模板”或“种子”矩阵，描述某种连续的变换（李代数的核心思想）。通过嵌入 ( $E$ )，我们将这个模板“映射”到输入序列的嵌入空间中，生成一个适合Attention计算的低秩矩阵。这种映射保留了李代数的结构（如连续性和可微性），同时适配深度学习中的数据表示。

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4. “Attention的计算本质上是对嵌入空间的一个李代数变换”是什么意思？

这句话的核心思想是：Attention机制的数学结构可以被理解为对嵌入空间进行的一种李代数变换，而不是单纯的线性代数操作。让我们分解这个说法：

• 嵌入空间：嵌入矩阵 ( $E$ ) 定义了一个高维空间（比如 ( ${\mathbb{R}}^{N\times d_e}$ )），其中每个序列位置的嵌入向量是这个空间中的点。Attention通过 ( $Q,K,V$ ) 和Softmax在这些嵌入之间建立关系。
• 李代数变换：李代数描述了连续的、平滑的变换（比如旋转、缩放）。在Attention的背景下，李代数矩阵 ( $A$ ) 通过指数映射生成随机矩阵（如 ( $\exp (A)\approx S$ )），而 ( $A_{\text{proj}}$ ) 则是这个变换在嵌入空间中的投影。
• 本质上的解释：Attention的计算（尤其是 ( $Q{K}^T$ ) 和Softmax）可以看作是对嵌入空间进行的一种李代数变换。具体来说：
  • ( $W_Q{W}_K^T$ ) 或 ( $A_{\text{proj}}$ ) 扮演了李代数生成器的角色。
  • 通过 ( $E$ ) 的投影，Attention将这个生成器应用到序列嵌入中，生成注意力权重 ( $S$ )。
  • 最终，( $S\cdot V$ ) 可以看作李群（李代数的指数映射生成的对象）对值矩阵 ( V ) 的作用。

直观比喻：
想象您有一组3D物体（嵌入空间中的点），并希望通过某种连续的旋转或变换（李代数变换）调整它们的位置。Attention中的 ( $Q{K}^T$ )、Softmax和 ( $V$ ) 的组合就像是对这些点进行一种“定向旋转”或“平滑变换”，而李代数提供了这种变换的数学基础。

为什么重要？

• 这说明Attention不仅仅是简单的矩阵乘法和Softmax，它背后有一个更深层次的数学结构（李代数和李群），这可能启发新的模型设计或优化方法。
• 例如，通过利用李代数的性质，可以设计更高效的注意力机制（如低秩近似、参数共享）或解释Attention的收敛性。

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5. 一个小例子

假设我们有一个简单的嵌入矩阵 ( $E\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ )，一个李代数矩阵 ( $A\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ )（比如反对称矩阵或满足李代数条件的矩阵），以及 ( $W_Q,W_K\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ )。我们希望计算 ( $Q{K}^T$ ) 并将其与李代数投影联系起来：

• 给定 ( $E=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ )，( $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$ )（一个简单的李代数矩阵，满足 ( $A+A^T=0$ )）。

• 计算 ( $A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE$ )。假设 ( $d=2$ )，则：
  $$E^T=E,A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{2}}EAE=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right].$$
  经过计算（矩阵乘法），我们得到一个低秩矩阵 ( $A_{\text{proj}}$ )，它近似于 ( $W_Q{W}_K^T$ )。

• 然后，( $Q=X{W}_Q$ )，( $K=X{W}_K$ )，( $Q{K}^T\approx A_{\text{proj}}$ )，最终通过Softmax生成 ( $S$ )，近似于 ( $\exp (A_{\text{proj}})$ )。

这个例子简化了计算，但展示了李代数矩阵 ( $A$ ) 如何通过嵌入 ( $E$ ) 投影到Attention的计算中。

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6. 总结

• “通过嵌入 ( $E$ ) 投影到李代数”意味着用嵌入矩阵 ( $E$ ) 将李代数中的生成矩阵 ( $A$ ) 映射到Attention的嵌入空间，生成 ( $A_{\text{proj}}$ ) 作为 ( $W_Q{W}_K^T$ ) 的低秩近似。
• “Attention的计算本质上是对嵌入空间的一个李代数变换”表明，Attention不仅仅是矩阵运算，它可以被理解为一种连续的、平滑的变换（由李代数和李群定义），在嵌入空间中调整输入数据以生成注意力权重和输出。
  好的，我将详细解释“李代数生成矩阵 ( $A$ ) 的特点（对角线外元素非负、每行和为零）如何通过指数映射 ( $\exp (A)$ ) 变成行和为1的随机矩阵”，并结合一个具体的例子来说明。由于您提到对李代数没有基础，但我熟悉Attention和Transformer，我会用直观的方式讲解，同时确保数学逻辑清晰。

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解释：李代数生成矩阵与指数映射

1. 李代数生成矩阵 ( A ) 的特点

在文中提到的李代数 ( $g$ )，生成矩阵 ( $A$ ) 有两个关键特性：

• 对角线外的元素是非负的：这与Attention中的权重矩阵（比如 ( $Q{K}^T$ ) 经过Softmax后）类似，因为Softmax输出非负值。
• 每行和为零：这意味着矩阵 ( $A$ ) 的每一行元素之和为0。例如，一个2×2的矩阵 ( $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ ) 满足 ( $a+b=0$ ) 和 ( $c+d=0$ )。

为什么每行和为零？这是李代数的一个常见性质，尤其是当我们考虑与随机矩阵（行和为1）相关的李代数时。这样的矩阵通常是“反对称”或具有特定结构的矩阵（比如对角线元素为0，非对角线元素满足某些条件）。这种结构确保通过指数映射后生成一个随机矩阵（每行和为1）。

2. 指数映射 ( $\exp (A)$ ) 的作用

指数映射 ( $\exp (A)$ ) 是矩阵指数函数，定义为泰勒级数展开：
$$\exp (A)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{A^n}{n!},$$
其中 ( $A^n$ ) 是矩阵 ( $A$ ) 的n次幂。这种映射将李代数中的矩阵 ( $A$ )（生成器）变换为一个李群元素（比如随机矩阵）。在Attention的背景下，( $\exp (A)$ ) 的结果是一个行和为1的矩阵，这与Softmax的输出（注意力权重 ( $S$ )）类似。

关键点：

• 如果 ( $A$ ) 的每行和为0，指数映射 ( $\exp (A)$ ) 会生成一个随机矩阵（每行和为1）。
• 这是因为李代数的结构（如反对称性或特殊约束）保证了指数映射的性质保持行和不变，但从0调整为1。

3. 为什么行和为0的矩阵通过指数映射后行和为1？

这是李代数的一个数学性质，特别在与随机矩阵相关的李代数（如SL(n, ℝ)或特定结构）中。直观来说：

• 行和为0的矩阵 ( $A$ ) 表示一种“平衡”的变换（没有净输入或输出）。
• 指数映射 ( $\exp (A)$ ) 将这种平衡变换“平滑地”转换为一个概率分布（每行和为1），因为 ( $\exp (A)$ ) 保持了矩阵的正定性和非负性，同时通过泰勒展开调整行和。

数学直觉：
对于一个简单的李代数矩阵（比如反对称矩阵或每行和为0的矩阵），指数映射会生成一个随机矩阵（stochastic matrix）。这是因为李代数的生成矩阵被设计为通过指数映射产生行和为1的矩阵，这与Softmax的归一化功能类似。

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举例说明

让我们用一个简单的2×2矩阵 ( A ) 来说明这个过程。为了方便计算，我们选择一个满足李代数条件（每行和为0、部分非负）的矩阵。下面是Grok 3大模型摸索的过程，从找出一个不符合条件的A，一直找到一个符合条件的A。

例：( $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$ )

• 检查特性：

  • 对角线外元素：( $A_{12}=1\ge 0$ )，( $A_{21}=-1<0$ )。虽然 ( $A_{21}$ ) 为负，但我们可以调整为一个更符合条件的矩阵（比如所有非对角元素非负，但仍保持行和为0）。让我们调整为：
    $$A^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right].$$
    • 对角线外元素：( $A_{12}^{\prime }=1\ge 0$ )，( $A_{21}^{\prime }=1\ge 0$ )。
    • 每行和：第一行 ( $-1+1=0$ )，第二行 ( $1-1=0$ )。
    • 这是一个更符合“对角线外非负、行和为0”的李代数矩阵。

• 计算 ( $\exp (A^{\prime })$ )：
  我们使用矩阵指数的泰勒展开或直接计算（对于2×2矩阵，可以用解析形式）。矩阵指数的计算公式为：
  $$\exp (A^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(A^{\prime }{)}^n}{n!}.$$
  由于 ( $A^{\prime }$ ) 是一个简单的矩阵，我们可以直接计算其特征值和特征向量，或者用已知公式。对于 ( $A^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$ )，我们可以发现它是一个反对称矩阵，其指数映射有明确解。

  更简单地，手动计算前几项（忽略高阶项，因为矩阵指数通常收敛很快）：

  • ( $(A^{\prime }{)}^0=I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ )。
  • ( $(A^{\prime }{)}^1=A^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$ )。
  • ( $(A^{\prime }{)}^2=A^{\prime }\cdot A^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(-1)(-1)+(1)(1)& (-1)(1)+(1)(-1)\\ (1)(-1)+(-1)(1)& (1)(1)+(-1)(-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]=2I$ )。
  • ( $(A^{\prime }{)}^3=A^{\prime }\cdot (A^{\prime }{)}^2=A^{\prime }\cdot 2I=2A^{\prime }=2\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& -2\end{array}\right]$ )。
  • 继续计算，注意到 ( $(A^{\prime }{)}^n$ ) 的模式（可以证明 ( $(A^{\prime }{)}^n$ ) 交替为 ( $(-1{)}^{n}I$ ) 或 ( $(-1{)}^{n+1}2I$ ) 的倍数）。

  实际计算 ( $\exp (A^{\prime })$ ) 需要精确的数值方法或已知公式。对于反对称矩阵 ( $A^{\prime }$ )，其指数映射通常为：
  $$\exp (A^{\prime })=I+A^{\prime }+\frac{(A^{\prime }{)}^2}{2!}+\frac{(A^{\prime }{)}^3}{3!}+\cdots .$$
  经过计算（或使用矩阵指数的性质），我们发现：
  $$\exp (A^{\prime })=\left[\begin{array}{cc}\cosh (2)& \sinh (2)\\ \sinh (2)& \cosh (2)\end{array}\right],$$
  其中 ( $\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ )，( $\sinh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ )。对于 ( $x=2$ )，我们有：

  • ( $\cosh (2)\approx 3.7622$ )，( $\sinh (2)\approx 3.6269$ )。
  • 因此：
    $$\exp (A^{\prime })\approx \left[\begin{array}{cc}3.7622& 3.6269\\ 3.6269& 3.7622\end{array}\right].$$
  • 检查行和：第一行 ( $3.7622+3.6269\approx 7.3891\approx e^2$ )（由于数值近似，实际可能是 ( $e^2$ ) 和 ( $e^{-2}$ ) 的组合）。第二行类似。

  修正与实际应用：
  在实际李代数（如与随机矩阵相关的结构），我们可能需要调整 ( $A$ ) 使其更符合“对角线外非负、行和为0”的条件，并确保 ( $\exp (A)$ ) 是一个随机矩阵（行和为1）。一个更简单的例子是：
  $$A^{\prime \prime }=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right].$$
  计算 ( $\exp (A^{\prime \prime })$ )：（这里也不对，非对角线有负数）

  • 特征值：( $\lambda =\pm i$ )（虚数）。
  • 指数映射：
    $$\exp (A^{\prime \prime })=\left[\begin{array}{cc}\cos (1)& \sin (1)\\ -\sin (1)& \cos (1)\end{array}\right].$$
  • 对于 ( $\theta =1$ )（弧度），( $\cos (1)\approx 0.5403$ )，( $\sin (1)\approx 0.8415$ )。
  • 因此：
    $$\exp (A^{\prime \prime })\approx \left[\begin{array}{cc}0.5403& 0.8415\\ -0.8415& 0.5403\end{array}\right].$$
  • 检查行和：第一行 ( $0.5403+0.8415\approx 1.3818$ )（实际需要规范化）。为了生成行和为1的矩阵，我们可能需要调整 ( A’’ ) 或应用归一化。

  更符合条件的例子（调整为行和为0且生成随机矩阵）：
  $$A^{\prime \prime \prime }=\left[\begin{array}{cc}-0.5& 0.5\\ 0.5& -0.5\end{array}\right].$$

  • 每行和为0，对角线外元素非负。
  • 计算 ( $\exp (A^{\prime \prime \prime })$ )：
    $$\exp (A^{\prime \prime \prime })=\left[\begin{array}{cc}{e}^{-0.5}\cosh (0.5)& e^{-0.5}\sinh (0.5)\\ e^{-0.5}\sinh (0.5)& e^{-0.5}\cosh (0.5)\end{array}\right].$$
  • 代入 ( $e^{-0.5}\approx 0.6065$ )，( $\cosh (0.5)\approx 1.1276$ )，( $\sinh (0.5)\approx 0.5211$ )：
    $$\exp (A^{\prime \prime \prime })\approx \left[\begin{array}{cc}0.6065\cdot 1.1276& 0.6065\cdot 0.5211\\ 0.6065\cdot 0.5211& 0.6065\cdot 1.1276\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.6840& 0.3160\\ 0.3160& 0.6840\end{array}\right].$$
  • 检查行和：第一行 ($0.6840+0.3160=1$ )，第二行类似。
    这是一个行和为1的随机矩阵，类似Softmax的输出。

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4. 总结与联系到Attention

• 行和为0到行和为1的转换：李代数矩阵 ( $A$ ) 的行和为0，通过指数映射 ( $\exp (A)$ )，利用矩阵指数的性质（尤其是反对称或特定结构的矩阵），生成一个行和为1的随机矩阵。这是因为指数映射保持了李代数的连续性和平滑性，同时调整了矩阵的行和，使其符合概率分布的要求。
• 与Attention的联系：Attention中的 ( $S=\text{softmax}(Q{K}^T)$ ) 是一个行和为1的权重矩阵，类似 ( $\exp (A)$ )。这里的 ( $Q{K}^T$ ) 可以看作李代数中的生成矩阵 ( $A$ )，Softmax近似于指数映射，生成注意力权重。

直观理解：
想象 ( $A$ ) 是一个“平衡的种子矩阵”（行和为0），通过指数映射“生长”成一个概率分布（行和为1），就像Attention通过Softmax将相似性得分（可能为负或零和）转换为非负权重。

将详细解释如何推导 ( $A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE$ ) 的公式，以及它如何将 ( $W_Q{W}_K^T$ ) 看作一个低秩矩阵，并通过嵌入矩阵 ( $E$ ) 投影到李代数中。

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推导 ( $A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE$ ) 的背景

1. Attention中的 ( $Q{K}^T$ )

在Transformer的注意力机制中，查询 ( $Q$ ) 和键 ( $K$ ) 通过以下方式生成：
$$Q=X{W}_Q,K=X{W}_K,$$
其中：

• ( $X\in {\mathbb{R}}^{N\times d_e}$ ) 是输入序列的嵌入表示（通常 ( $X=E\cdot t$ )，但这里直接用 ( $X$ ) 表示嵌入矩阵）。
• ( $W_Q,W_K\in {\mathbb{R}}^{d_e\times d_k}$ ) 是查询和键的权重矩阵，( $d_e$ ) 是嵌入维度，( $d_k$ ) 是键/查询的维度。
• ( $N$ ) 是序列长度。

然后，计算注意力得分：
$$Q{K}^T=(X{W}_Q)(X{W}_K{)}^T=X{W}_Q{W}_K^T{X}^T.$$
这里 ( $Q{K}^T\in {\mathbb{R}}^{N\times N}$ ) 是一个矩阵，表示序列中每个位置对其他位置的相似性。最终，注意力权重通过Softmax归一化：
$$S=\text{softmax}\left(\frac{Q{K}^T}{\sqrt{d_k}}\right).$$
缩放因子 ( $\frac{1}{\sqrt{d_k}}$ )（文中简化为 ( $\frac{1}{\sqrt{d}}$ )）是为了稳定训练，避免 ( $Q{K}^T$ ) 的值过大（因为 ( $Q$ ) 和 ( $K$ ) 的内积可能导致方差过高）。

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2. ( $W_Q{W}_K^T$ ) 作为低秩矩阵

现在，我们关注 ( $W_Q{W}_K^T$ )。这个矩阵是两个权重矩阵的乘积：
$$W_Q{W}_K^T\in {\mathbb{R}}^{d_e\times d_e}.$$
由于 ( $W_Q$ ) 和 ( $W_K$ ) 通常是低秩矩阵（它们的列数 ( $d_k$ ) 可能远小于行数 ( $d_e$ )），因此 ( $W_Q{W}_K^T$ ) 是一个低秩矩阵（rank 通常不超过 ( $\min (d_e,d_k)$ )）。低秩性意味着 ( W_Q W_K^T ) 可以被分解为两个较小矩阵的乘积，这在数学和计算上非常重要。

在“Attention as Lie Group Action”的框架中，作者提出可以将 ( $W_Q{W}_K^T$ ) 看作一个“低秩近似” ( $A_{\text{proj}}$ )，并将其与李代数联系起来。也就是说，( $W_Q{W}_K^T$ ) 可以被近似为一个李代数中的生成矩阵，通过嵌入 ( $E$ ) 投影到序列空间。

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3. 投影到李代数：引入 ( $A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE$ )

为了将 ( $W_Q{W}_K^T$ ) 解释为李代数中的结构，作者引入了一个低秩矩阵 ( $A_{\text{proj}}$ )，通过嵌入矩阵 ( $E$ ) 和一个李代数矩阵 ( $A$ ) 投影生成：
$$A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE.$$
这里：

• ( $E\in {\mathbb{R}}^{N\times d_e}$ ) 是嵌入矩阵（通常与 ( $X$ ) 相同或相关）。
• ( $A\in {\mathbb{R}}^{d_e\times d_e}$ ) 是一个李代数中的生成矩阵，满足李代数的特定条件（如反对称性或每行和为零，见3.1节的讨论）。
• ( $d$ )（文中简化为 ( $d$ )，实际应是 ( $d_k$ )）是嵌入或键的维度，用于缩放。

让我们逐步推导这个公式的合理性，并解释其意义。

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推导过程

步骤 1：理解 ( $Q{K}^T$ ) 的结构

从 ( $Q{K}^T=X{W}_Q{W}_K^T{X}^T$ ) 开始，我们注意到：

• ( $X$ ) 是嵌入表示，通常由 ( $E$ )（嵌入矩阵）加上位置编码生成。
• ( $W_Q{W}_K^T$ ) 是一个固定矩阵，描述查询和键之间的关系。

为了将这个结构与李代数联系起来，我们需要将 ( $W_Q{W}_K^T$ ) 看作一个低秩近似，并将其投影到李代数空间。假设 ( $W_Q{W}_K^T\approx A_{\text{proj}}$ )，我们需要一个方式将 ( $A_{\text{proj}}$ ) 与嵌入 ( $E$ ) 联系起来。

步骤 2：引入李代数矩阵 ( $A$ )

李代数矩阵 ( $A$ ) 是一个 ( $d_e\times d_e$ ) 的矩阵，满足李代数的条件（例如反对称性或特定约束，见3.1节）。我们希望通过 ( $E$ ) 将 ( $A$ ) 投影到序列空间（( $N\times N$ )），生成 ( $Q{K}^T$ ) 的近似。

步骤 3：投影公式 ( $A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE$ )

为了实现这个投影，我们使用嵌入矩阵 ( $E$ ) 的线性变换：

• ( $E^{T}AE$ ) 将李代数矩阵 ( $A$ )（定义在嵌入空间 ( ${\mathbb{R}}^{d_e}$ ) 上）投影到序列空间 ( ${\mathbb{R}}^N$ )。
• ( $E^T\in {\mathbb{R}}^{d_e\times N}$ ) 和 ( $E\in {\mathbb{R}}^{N\times d_e}$ ) 一起作用，生成一个 ( $N\times N$) 的矩阵。
• 具体来说：
  $$E^{T}AE\in {\mathbb{R}}^{N\times N},$$
  它是 ( $A$ ) 在序列嵌入空间中的投影。

然而，直接使用 ( $E^{T}AE$ ) 可能导致矩阵元素过大或不稳定（类似 ( $Q{K}^T$ ) 的问题）。因此，引入缩放因子 ( $\frac{1}{\sqrt{d}}$ )（通常是 ( $\frac{1}{\sqrt{d_k}}$ )），以确保数值稳定性和与Attention的缩放一致：
$$A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE.$$
这个公式确保 ( $A_{\text{proj}}$ ) 是一个低秩矩阵，且其规模与 ( $Q{K}^T$ ) 相匹配。

步骤 4：与 ( $W_Q{W}_K^T$ ) 的联系

我们假设 ( $W_Q{W}_K^T\approx A_{\text{proj}}$ )，即：
$$W_Q{W}_K^T\approx \frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE.$$
然后，代入 ( $Q{K}^T$ ):
$$Q{K}^T=X{W}_Q{W}_K^T{X}^T\approx X\left(\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE\right)X^T.$$
如果 ( $X\approx E$ )（忽略位置编码或假设位置编码不影响主要结构），则：
$$Q{K}^T\approx E\left(\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE\right)E^T=\frac{1}{\sqrt{d}}E(E^{T}AE)E^T.$$
这个表达式表明，( $Q{K}^T$ ) 可以看作对李代数矩阵 ( $A$ ) 的一个投影和变换，生成注意力得分。

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为什么这样推导合理？

1. 低秩性：
   ( $W_Q{W}_K^T$ ) 是一个低秩矩阵（rank ≤ ( $d_k$ )），而 ( $E^{T}AE$ ) 也通常是低秩的，因为 ( $A$ ) 是李代数中的矩阵，( $E$ ) 是嵌入矩阵。这与Attention的低秩假设一致。

2. 李代数结构：
   李代数矩阵 ( $A$ ) 满足特定的数学条件（如反对称性或行和为零），通过指数映射可以生成随机矩阵（见3.1节）。( $A_{\text{proj}}$ ) 作为 ( $W_Q{W}_K^T$ ) 的近似，保持了李代数的结构，并通过 ( $E$ ) 投影到序列空间。

3. 缩放因子 ( $\frac{1}{\sqrt{d}}$ )：
   这个缩放与Attention中 ( $\frac{Q{K}^T}{\sqrt{d_k}}$ ) 的缩放一致，确保数值稳定性并与Softmax的输入分布匹配。

4. 投影到李代数：
   通过 ( $E^{T}AE$ )，我们将李代数中的连续变换（由 ( $A$ ) 定义）映射到嵌入空间，形成Attention的计算基础。这解释了为什么Attention可以被看作一个李代数变换。

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一个简单例子

假设：

• ( $N=2$ )（序列长度），($d_e=2$ )（嵌入维度），( $d_k=2$ )（键/查询维度）。
• 嵌入矩阵 ( $E=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ )（单位矩阵，简化计算）。
• 李代数矩阵 ( $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$ )（一个简单的反对称矩阵）。
• ( $d=2$ )（缩放因子）。

计算 ($A_{\text{proj}}$ ):
$$E^T=E=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],$$
$$E^{T}AE=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right].$$
$$A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0\end{array}\right].$$
这个 ( $A_{\text{proj}}$ ) 是一个低秩矩阵，近似于 ( $W_Q{W}_K^T$ )。然后：
$$Q{K}^T\approx X{A}_{\text{proj}}{X}^T,$$
其中 ( $X\approx E$ )。这表明 ( $Q{K}^T$ ) 通过李代数矩阵 ( $A$ ) 的投影生成。

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总结

• 推导过程：( $A_{\text{proj}}=\frac{1}{\sqrt{d}}{E}^{T}AE$ ) 基于以下逻辑：
  1. ( $W_Q{W}_K^T$ ) 是一个低秩矩阵，近似为李代数矩阵 ( $A$ ) 的投影。
  2. 通过嵌入矩阵 ($E$ ) 和其转置 ( $E^T$ )，将 ($A$ ) 投影到序列空间，生成 ( $A_{\text{proj}}$ )。
  3. 缩放因子 ( $\frac{1}{\sqrt{d}}$ ) 确保数值稳定性和与Attention的缩放一致。
• 意义：这个公式将Attention的计算与李代数联系起来，表明 ( $Q{K}^T$ ) 可以看作对嵌入空间的一个李代数变换，解释了Attention的数学结构。

由于篇幅限制，后续解释请移步笔者的另一篇博客：李代数（Lie Algebras）与Attention:部分二 （提供解释）

后记

2025年2月27日14点51分于上海，在Grok 3大模型辅助下完成。