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时间复杂度

时间复杂度的概念

算法执行时间随输入规模（N）增长的渐进趋势的数学函数，具体表现为算法中基本操作的执行次数。

由于一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，所以算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

为什么不用时间呢？

• 不同硬件设备运行速度差异大，实际时间不具备普适性。

即：

找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N ; ++ i)
	{
		for (int j = 0; j < N ; ++ j)
		{
		++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

Func1执行的基本操作次数：
$$F(N)=N^2+2\ast N+10$$

那么，我们每次表示时间复杂度都要写像这样长长的表达式吗？

麻烦，而且我们没有必要去精确计算执行次数，只需要一个大概次数，所以我们使用大O渐进表示法。

大O渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：

目标：忽略低阶项和常数系数，聚焦最高阶项的增长趋势。

推导步骤：

1. 用常数1替代所有加法常数（如 F(N)=1000 → O(1)）。

2. 只保留最高阶项（如 F(N)=N³ + N² + 1 → O(N³)）。

3. 去除最高阶项的系数（如 F(N)=3N² → O(N²)）。

使用大O的渐进表示法后，Func1的时间复杂度为：
$$O(N^2)$$

大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

此外，有一些算法的时间复杂的存在最好、最坏和平均的情况：

• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

看一个例子：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

• 最坏情况：N次且没有找到
• 平均情况：N/2次找到
• 最好情况：1次找到

一般时间复杂度取用算法的最坏运行情况

所以：数组中搜索数据的时间复杂度为O(N)

易错建议

1. 很多初学者，找时间复杂度习惯用循环去计算，实则很容易出错。建议读者一定要去观察程序的执行逻辑。
   误区：循环层数越多，时间复杂度一定越高。
   反例：

		for (int i = 0; i < N; i++) {       // O(N)
		    for (int j = 0; j < 100; j++) { // 固定执行100次
		        // 操作
		    }
		}
		

总时间复杂度为 O(N)，而非 O(N²)

2. 时间复杂度代表的是一个量级。你可以尽你最大的想象力去想象他有多大，我的意思是，他是无法被轻易改变的。如：$$N-9999999999999999999999\dots \dots$$他的时间复杂度依然为：$$O(N)$$同样的：$$9999999999999999999999\dots \dots$$他的时间复杂度依然为：$$O(1)$$

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式（函数），是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度（注意这个临时） 。也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

你知道为什么要有这个”临时“吗？

因为空间是可以重复利用的，算法中开辟过的空间重复使用空间复杂度不会增加。
而时间是一去不复返的，无法重复使用。

看一个例题你就明白了

// 计算Fib的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

这里的时间复杂度不难推导：O(2^N)

那么空间复杂度呢？
也是O(2^N)吗？
没错，这里重复利用了空间，实际上空间复杂度为:
$$O(N)$$

• 误区：递归算法的空间复杂度一定很高。
  反例：递归遍历链表的空间复杂度为 O(N)（递归栈深度），而迭代法为 O(1)。

常见的复杂度对比

总结

• 时间复杂度关注算法执行次数的增长趋势，空间复杂度关注额外空间的占用。

• 大O渐近表示法通过简化表达式，聚焦主要矛盾。

• 实际应用中需结合具体场景选择最优算法。