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Leetcode.264 丑数 II mid

题目描述

给你一个整数 $n$ ，请你找出并返回第 $n$ 个 丑数 。

丑数 就是质因子只包含 $2$、$3$ 和 $5$ 的正整数。

示例1：

输入：n = 10
输出：12
解释：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12] 是由前 10 个丑数组成的序列。

示例2：

输入：n = 1
输出：1
解释：1 通常被视为丑数。

提示:

• $1\le n\le 1690$

解法：动态规划

设 $f(n)$ 代表第 $n$ 个丑数。

因为每个丑数都只包含 $2,3,5$ 的质因子(除开 $1$)，那么 $f(n)$ 也就是第 $n$ 个丑数，必然是由 $[1,n-1]$ 之间的某一个丑数，假设是 $f(i)\times 2,f(i)\times 3,f(i)\times 5$，三个其中的一个而来。

很显然，$f(n)$ 的值一定是 $f(i)\times 2,f(i)\times 3,f(i)\times 5$ 三者之中的最小值。

举例说明：

f(1) = 1
f(2) = f(1) * 2 = 2
f(3) = f(1) * 3 = 3
f(4) = f(2) * 2 = 4
f(5) = f(1) * 5 = 5
f(6) = f(3) * 2 = 6
f(7) = f(4) * 2 = 8
f(8) = f(3) * 3 = 9

我们用三个指针 $a,b,c$ 分别代表 $\times 2$， $\times 3$， $\times 5$ 代表的丑数。那么当前的丑数 $f(i)$ 就是 m i n { f ( a ) × 2 , f ( b ) × 3 , f ( c ) × 5 } min\{ f(a) \times 2, f(b) \times 3, f(c) \times 5\} min{f(a)×2,f(b)×3,f(c)×5}。

设
$$\begin{gathered} r_2=f(a)\times 2 \\ {r}_3=f(b)\times 3 \\ {r}_5=f(c)\times 5 \end{gathered}$$

如果 $f(i)=r_2$，那么指针 $a$ 就往后移动一位。

其原理是，如果 $r_2=f(a)\times 2$ 就是当前的第 $i$ 个丑数，那么我们记录答案，$f(i)=r_2$。既然 $f(a)\times 2$ 这个丑数已经在当前的答案集合 $f$ 中了，那么比当前丑数 $f(a)\times 2$ 更小的丑数也肯定在答案集合 $f$ 中，所以后面只需要考虑比 $f(a)\times 2$ 更大的丑数，也就是 $f(a+1)\times 2$，所以指针 $a$ 才要往后移动一位。

对于 $f(i)=r_3$，$f(i)=r_5$ 的情况同理。

$a,b,c$ 都初始化为 $1$，$f(1)=1$。

{ r 2 = f ( a ) × 2 r 3 = f ( b ) × 3 r 5 = f ( c ) × 5 f ( i ) = m i n { r 2 , r 3 , r 5 } ,   i ∈ [ 2 , n ] i f   r 2 = f ( i )   t h e n   a + 1 i f   r 3 = f ( i )   t h e n   b + 1 i f   r 5 = f ( i )   t h e n   c + 1 \left\{\begin{array}{l} r_2 = f(a) \times 2 \\ r_3 = f(b) \times 3 \\ r_5 = f(c) \times 5 \\ f(i) = min\{r_2, r_3,r_5\},\ i \in [2,n]\\ if\ r_2=f(i) \ then \ a + 1 \\ if\ r_3=f(i) \ then \ b + 1 \\ if\ r_5=f(i) \ then \ c + 1 \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧​r2​=f(a)×2r3​=f(b)×3r5​=f(c)×5f(i)=min{r2​,r3​,r5​}, i∈[2,n]if r2​=f(i) then a+1if r3​=f(i) then b+1if r5​=f(i) then c+1​

时间复杂度：$O(n)$

C++：

class Solution {
public:
    int nthUglyNumber(int n) {
        vector<int> f(n + 1);
        f[1] = 1;
        int a = 1, b = 1, c = 1;

        for(int i = 2; i <= n; ++i){
            int r2 = f[a] * 2, r3 = f[b] * 3, r5 = f[c] * 5;
            f[i] = min({r2, r3, r5});
            if(f[i] == r2) a++;
            if(f[i] == r3) b++;
            if(f[i] == r5) c++;
        }

        return f[n];
    }
};