音频进阶学习十三——Z变换二（有理z变换、稳定性与反变换）

文章目录

前言
一、有理Z变换
- 1.定义
- 2.作用
- 3.LTI系统的传递函数
- - 1）传递函数的定义
  - 2）差分方程转换传递函数
二、极点和零点
- 1.有理分式的极点和零点
- 2.稳定性
- 实例
二、逆Z变换
- 1.观察法
- 2.部分分式展开法
- - 1）定义
  - 2）举例
- 3.幂级数法/长除法
- - 1）定义
  - 2）举例
- 4.围线积分法
- - 1）定义
  - 2）举例
总结

前言

在上一篇文章种音频进阶学习十二——Z变换一（Z变换、收敛域、性质与定理）中，我们介绍了Z变换的公式，并对公式进行了解释，以及Z变换中 $z$ 的理解。同时介绍了什么是收敛域，以及Z变换的性质和定理。

在对Z变换中 $z$ 的理解解释时，曾说过傅里叶变换得到的是频域，而Z变换得到的是Z域。频域主要用于分析信号的频率特性和系统的频率响应，而Z域不仅仅可以帮助分析系统的频率响应，还能更好地处理系统的稳定性、收敛性等问题。

对于收敛性上一篇文章中已经介绍过，本篇文章中将着重介绍Z变换如何分析系统的稳定性和如何求反变换。

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一、有理Z变换

1.定义

有理Z变换指的是是指一个Z变换，其中分子和分母都是有理函数，也就是说，分子和分母是以Z的多项式形式表示的。

在形式上，对于一个离散时间信号 $x [n]$ ，它的Z变换 $X (z)$ 可以写作为：
$X(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$
其中， $P (z), Q (z)$ 都是关于 $z$ 的多项式，如：
$P(z)=a_0+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+...+a_mz^{-m}\\Q(z)=b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+...+b_nz^{-n}$
在这个定义下，分子和分母的次数（即最高次幂的系数）可以不同，但它们都只含有有限个项。如果 $Q (z)$ 是零多项式（即常数），则它变成了一个常数，表达式就是单个多项式；如果 $Q (z)$ 或 $P (z)$ 具有较高的次数，则函数的行为更为复杂。

2.作用

通过有理Z变换可以分析离散时间系统的稳定性、频率响应、极零位置等特性
可以设计各种数字滤波器，如低通、高通、带通等
长见于LTI系统，可以对于差分方程进行求解
可以用部分分式分解等方法将其分解成更简单的形式，这对求解 Z变换的逆变换非常有帮助。

3.LTI系统的传递函数

1）传递函数的定义

在 z变换中，传递函数通常指的是描述离散时间线性系统输入和输出之间关系的数学表达式。它是系统在z域（离散时间复频域）中的频率响应的描述。对于一个LTI系统，传递函数 $H (z)$ 表示如下：
$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$

2）差分方程转换传递函数

在音频进阶学习六——递归/非递归离散时间系统与差分方程中，我们得到了LTI系统的差分方程，如下：
$\sum_{k=0}^Na_ky[n-k] = \sum_{i = 0}^M b_ix[n-i]$
即
$a_0y[n]+a_1y[n-1]+...+a_Ny[n-N] = b_0x[n]+b_1x[n-1]+...+b_Mx[n-M]$
通过上一篇文章中所说Z变换的移位性质 $Z(x[n-k])=z^{-k}X(z)$ ，可知
$Z(a_0y[n])=a_0Y(z)=>Z(a_1y[n-1])=a_1z^{-1}Y(z)\\Z(b_0x[n])=b_0X(z)=>Z(b_1x[n-1])=b_1z^{-1}X(z)$
所以差分方程可以写作为
$a_0Y(z)+a_1z^{-1}Y(z)+...+a_Nz^{-N}Y(z) = b_0X(z)+b_1z^{-1}X(z)+...+b_Mz^{-M}X(z)$
我们说在Z变换中，LTI的传递函数指的是描述离散时间线性系统输入和输出之间关系的数学表达式。所以它实际上描述的是
$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{a_0+a_1z^{-1}+...+a_Nz^{-N}}{b_0+b_1z^{-1}+...+b_Mz^{-M}}$
即它是一种有理Z变换的表达式

二、极点和零点

1.有理分式的极点和零点

在上一篇文章中，我们定义极点和零点为

当 $X (z) = 0$ 时，将 $z$ 的取值叫做零点
当 $X(z)=\infty$ 时，将 $z$ 的取值叫做极点点

而对于有理分式 $X(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$ ，它的极点为满足有理式 $Q (z) = 0$ ，零点为满足有理式 $P (z) = 0$ 的情况。

将有理分式进行简化：
$X(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} = \frac{a_0+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+...+a_mz^{-m}}{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+...+b_nz^{-n}}=\frac{\sum_{k=0}^{M}a_kz^{-k}}{\sum_{k=0}^{N}b_kz^{-k}}$
我们现在假如 $a_0\neq 0,b_0 \neq 0$ ，在同时提取 $\frac{a_0z^{-M}}{b_0z^{-N}}$ ，上式就变成
$X(z)=\frac{a_0z^{-M}}{b_0z^{-N}}\times \frac{z^M+(a_1/a_0)z^{M-1}+...+a_M/a_0}{z^N+(b_1/b_0)z^{N-1}+...+b_N/b_0}$
通过因式分解，假如 $P (z) = 0, Q (z) = 0$ ，对于一元多次函数的分解，就可以写为如下：
$\frac{a_0}{b_0}z^{N-M}\times \frac{(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_M)}{(z-p_1)(z-p_2)...(z-p_N)}=>\\ \frac{a_0}{b_0}z^{N-M}\times \frac{\prod_{k=1}^M(z-z_k)}{\prod_{k=1}^N(z-p_k)}$
所以对于有理分式它的零点存在 $z=z_1,z=z_2..z=z_M$ 有 $M$ 个零点，同理极点存在 $N$ 个。
同样我们可以得到对于N阶差分方程，一样存在 $M$ 个零点和 $N$ 个极点。

2.稳定性

对于离散时间系统，系统稳定的条件是所有极点必须位于单位圆内部，即它们的模长（绝对值）必须小于 1。

稳定：所有极点的模长 $∣ z ∣< 1$ 。系统的输出响应会以指数的形式衰减，随着时间推移，响应会趋近于零。也就是说，系统在受扰后的影响会逐渐消失，系统表现为稳定。
边界稳定：极点的模长 $∣ z ∣= 1$ ，系统可能是临界稳定。这时系统响应可能是周期性的，即系统的输出会在某个周期内重复，表现为临界稳定。
不稳定：存在极点 $∣ z ∣> 1$ 。此时，系统的输出会随着时间的推移呈现增长，即系统响应会无限增大，这意味着系统是不稳定的。

实际上也就是 $z$ 的取值是衰减信号还是放大信号

实例

假设一个Z变换表示为：
$X(z)=\frac{2z+3}{z^-3z+2}$
根据上诉判断系统稳定，需要看 $Q (z) = 0$ 也就是分母为0的情况：
$z^-3z+2 = 0=>(z-1)(z-2)=0$
所以

$z = 1, z = 2$ 为系统的极点
$z = 1$ 在单位圆上，表示这个极点会影响系统的稳定性，但不会导致不稳定
$z = 2$ 位于单位圆外，表示这个极点会使得系统不稳定。

二、逆Z变换

1.观察法

这种方法就是对于一些常见的Z变换，可以直接利用Z变换表查找对应的逆Z变换。常见的Z变换对如下：

序列	z变换	收敛域
$\delta n$	1	所有z
$a^n$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$∣ z ∣ > ∣ a ∣$
$u (n)$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$∣ z ∣ > 1$
$a^nu(n)$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$∣ z ∣ > ∣ a ∣$
$na^nu(n)$	$\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$	$∣ z ∣ > ∣ a ∣$
$a^nu(-n-1)$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$∣ z ∣ < ∣ a ∣$
$na^nu(-n-1)$	$\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$	$∣ z ∣ < ∣ a ∣$
$(\cos\omega_0 n)u(n)$	$\frac{1-z^{-1}\cos\omega_0}{1-2z^{-1}\cos\omega_0+z^{-2}}$	$∣ z ∣ > 1$
$(\sin\omega_0 n)u(n)$	$\frac{z^{-1}\sin\omega_0}{1-2z^{-1}\cos\omega_0+z^{-2}}$	$∣ z ∣ > 1$
$(a^n\cos\omega_0 n)u(n)$	$\frac{1-az^{-1}\cos\omega_0}{1-2az^{-1}\cos\omega_0+a^2z^{-2}}$	$∣ z ∣ > ∣ a ∣$
$(a^n\sin\omega_0 n)u(n)$	$\frac{az^{-1}\sin\omega_0}{1-2az^{-1}\cos\omega_0+a^2z^{-2}}$	$∣ z ∣ > ∣ a ∣$

2.部分分式展开法

1）定义

适用于系统的Z变换是有理函数（分子和分母均为多项式）的情况。通过对Z变换表达式进行部分分式展开，分解成已知的Z变换表中的项，然后再查表获得逆Z变换。

2）举例

还是上面的那个例子，首先它是一个因果信号
$X(z)=\frac{2z+3}{z^-3z+2}$
对它进行部分分式展开
$\frac{2z+3}{z^-3z+2}=\frac{2z+3}{(z-1)(z-2)}=>\frac{A}{(z-1)}+\frac{B}{(z-2)}$
接下来找出常数 $A, B$
$2z+3=A(z−2)+B(z−1)=>2z+3=A(z)−2A+B(z)−B=>\\ 2z+3=(A+B)z−(2A+B)$
通过比较系数可知
$A + B = 2, - 2 A - B = 3$
也就得到了 $B = 2 - A$ ，代入上式可得
$- A = 5 \Rightarrow A = - 5, B = 2 - (- 5) = 7$
所以通过部分分解式，我们得到了
$\frac{-5}{z-1}+\frac{7}{z-2}$
对于 $\frac{7}{z-2}$ 可以写为
$\frac{7}{z}\times \frac{1}{1-2^{z-1}}$
通过观察法查表可知：
$Z^{-1}(\frac{1}{1-2^{z-1}})=2^n$
对左边也是一样，最终对于 $X (z)$ 的反变换为
$Z^{-1}(\frac{2z+3}{z^-3z+2})=5+7\times 2^n$

3.幂级数法/长除法

1）定义

适用于系统的Z变换是有理函数,当分式在Z域的某一区域（通常是单位圆内）收敛时，幂级数展开法能够有效地反映时域的离散信号。

2）举例

$X(z)=\frac{1}{1-az^{-1}},|z|>|a|$
通过长除法（也就是除法变为减法，用余数无限再除以 $1-az^{-1}$ ）展开为负次幂
$1+az^{-1}+a^2z^{-2}+...+=>\sum_{n=0}^{\infty}a^nz^{-1}$
所以 $x[n]=a^nu[n]$

4.围线积分法

1）定义

围线积分法在Z逆变换中主要用于通过围绕复平面的一条闭合路径对某个函数进行积分，从而得到其逆变换。z逆变换的围线积分法利用留数定理来求解。当Z变换的逆变换难以直接计算时，围线积分法提供了一种通过积分求解的有效途径。

它的表示形式为上一篇文章中提到的Z变换的反变换：
$x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint_CX(z)z^{n-1}dz$

留数定理：设 $f (z)$ 是一个在某个区域内解析（即没有奇点）但在一些点可能有孤立极点的复变函数。如果 $C$ 是一个正向的、围绕函数极点的闭合路径，那么：
$\oint Cf(z)dz=2\pi ik\sum Res(f,z_k)$

$\oint Cf(z)dz$ :是沿闭合路径 $C$ 的围线积分
$\sum Res(f,z_k)$ :是函数 $f (z)$ 在路径内部所有孤立极点 $z_k$ 的留数之和；
$Res(f,z_k)$ :是函数 $f (z)$ 在 $z_k$ 处的留数

*留数的定义:*指复变函数在某个孤立极点 $z_k$ 处的“系数”，它可以通过极点附近的泰勒级数来定义。对于一个具有孤立极点的函数 $f (z)$ ，如果函数在极点附近有一个类似如下形式的洛朗级数：
$...+\frac{a_{-2}}{(z-z_k)^2}+\frac{a_{-1}}{z-z_k}+a_0+a_1(z-z_k)+...$
那么，留数 $Res(f,z_k)$ 就是这个洛朗级数中 $\frac{1}{z-z_k}$ 项的系数，即 $a_{-1}$

2）举例

已知 $X(z)=(1-az^{-1})^{-1},|z|>|a|$ ，求 $Z^{-1}$
代入围线积分法
$x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint_CX(z)z^{n-1}dz=\frac{1}{2\pi j}\oint_C(1-az^{-1})^{-1}z^{n-1}dz=>\\ F(z)=X(z)z^{n-1}=(1-az^{-1})^{-1}z^{n-1}=\frac{z^n}{z-a}$
根据留数定理，找出 $F (z)$ 的极点：

当 $n < 0$ ：有一阶极点 $z = a$ 和 $n$ 阶极点 $z = 0$
当 $\geq 0$ ：仅有一阶极点 $z = a$
如下图

因此针对 $n < 0$ 和 $\geq 0$ 两种情况有：
当 $n\geq 0$ 时：
$x[n]=Res[F(z),a]=(z-a)\frac{z^n}{z-a}|_{z=a}=a^n$
当 $\geq 0$ 时：
增加 $n$ 阶极点 $z = 0$ ，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查 $\geq 1$ ，显然满足。但由于封闭曲线 $C$ 外没有极点，所以当 $\geq 0$ 时， $x [n] = 0$