变换矩阵

        机器人通常包含多个关节和连杆，每个关节和连杆都有自己的局部坐标系。变换矩阵能够将一个点或向量从一个坐标系转换到另一个坐标系，从而实现对机器人各个部件位置和姿态的统一描述

        变换矩阵能够将复杂的运动分解为旋转和平移的组合。通过矩阵乘法，可以将多个连续的运动操作合并为一个单一的变换矩阵，从而简化运动学分析。例如，在机器人正运动学中，通过连乘各个关节的变换矩阵，可以得到末端执行器的总变换矩阵。

        在机器人学中，各连杆的变换矩阵用于描述相邻连杆坐标系之间的位置和姿态关系。通常使用Denavit-Hartenberg（D-H）参数法来求解变换矩阵。以下是一个简单的例子：

1. D-H 参数

D-H 参数包括四个参数：

• a：连杆长度（沿 x 轴的距离）

• α：连杆扭角（绕 x 轴的旋转角）

• d：连杆偏距（沿 z 轴的距离）

• θ：关节角度（绕 z 轴的旋转角）

2. 变换矩阵公式

相邻连杆的变换矩阵 Ai​ 可以表示为：

3. 示例

假设有一个简单的两连杆机械臂，D-H 参数如下

连杆	ai	αi​	di​	θi​
1	a1	0	0	θ1
2	a2	0	0	θ2

连杆1的变换矩阵 A1

连杆2的变换矩阵 A2

总变换矩阵 T

总变换矩阵 T 是各连杆变换矩阵的乘积：

T=A1⋅A2

4. 计算总变换矩阵

将 A1 和 A2​ 相乘，得到：

总变换矩阵有什么用

总变换矩阵在机器人学、计算机图形学和控制系统中具有重要作用，主要用于描述机器人末端执行器（或任何目标点）相对于基坐标系的位置和姿态。以下是总变换矩阵的主要用途：

1. 描述位置和姿态

总变换矩阵 T 是一个 4x4 矩阵，包含旋转和平移信息：

• R：3x3 旋转矩阵，描述末端执行器的姿态（方向）。

• p：3x1 位置向量，描述末端执行器的位置。

• 0：1x3 零向量，用于齐次坐标的规范化。

通过总变换矩阵，可以清晰地知道机器人末端执行器在空间中的位置和方向。

2. 运动学分析

总变换矩阵是机器人正运动学分析的核心工具。通过将各连杆的变换矩阵相乘，可以得到末端执行器相对于基坐标系的位姿。这对于机器人路径规划、轨迹生成和运动控制至关重要。

3. 坐标变换

总变换矩阵可以将一个坐标系中的点或向量转换到另一个坐标系中。例如：

• 将末端执行器的坐标系中的点转换到基坐标系。

• 将传感器数据转换到机器人基坐标系。

4. 路径规划和轨迹生成

在机器人路径规划中，总变换矩阵用于计算机器人末端执行器的目标位置和姿态。通过逆运动学，可以进一步求解关节角度，使机器人达到目标位姿。

5. 碰撞检测

在机器人工作空间中，总变换矩阵可以用于检测机器人是否与环境中的障碍物发生碰撞。通过计算机器人各连杆的位置和姿态，可以判断其是否与障碍物相交。

6. 仿真和可视化

在机器人仿真和可视化中，总变换矩阵用于更新机器人模型的位置和姿态。通过实时计算总变换矩阵，可以在仿真环境中动态显示机器人的运动。

7. 控制系统

在机器人控制系统中，总变换矩阵用于反馈控制。通过传感器获取末端执行器的实际位姿，与目标位姿进行比较，可以生成控制信号，驱动机器人达到目标。

8. 多机器人协作

在多机器人系统中，总变换矩阵可以描述不同机器人之间的相对位置和姿态，从而实现协作任务。

示例

假设一个两连杆机械臂的总变换矩阵为：

• 位置：末端执行器的位置为：

  

• 姿态：末端执行器的姿态由旋转矩阵 R 描述。