差分约束系统 + spfa求最短路

首先先来个具体的题目来引入一下。

Intervals（UVA1723）

题面翻译

有 $n$ 个区间，在区间 $a_i,b_i]$ 中至少取任意互不相同的 $c_i$ 个整数。求在满足 $n$ 个区间的情况下，至少要取多少个正整数。

输入格式

本题有多组数据。

第一行的一个整数 $T$ 表示数据个数，后面有一行空行。

对于每组数据：

第一行包含一个整数 $n(1\leq n\leq 50000)$ 表示区间数。

以下 $n$ 行描述区间。

输入的第 $i + 1$ 行包含三个整数 $a_i,b_i,c_i$ ，由空格分开。其中 $0\leq a_i\leq b_i\leq 50000，1\leq c_i\leq b_i-a_i+1$ 。

输出格式

对于每组数据，输出一个对于 $n$ 个区间 $a_i,b_i]$
至少取 $c_i$ 个不同整数的数的总个数。

在除了最后一组数据后输出空行。

样例

input：

output：

样例解释

可以取 $3, 4, 5, 8, 9, 10$ ，为符合条件且取数个数最少的一组解。

题目模型的转换

我们建立一个新的数组， $d [i]$ 表示 $[0, i - 1]$ 这个区间内一共被选中了多少个数字，我们用题目中给出来的样例来举例子。

通过上面的这些数据，我们就能知道 $d [i]$ 需要满足以下这些条件。

$\left\{\begin{aligned} d[8] - d[3] \ge 3 \\ d[11]-d[8] \ge 3 \\ d[9] - d[6] \ge 1 \\ d[4] - d[1] \ge 1 \\ d[12] - d[10] \ge 1 \end{aligned}\right.$

然后我们再重新整理一下上面的这些不等式。

$\left\{\begin{aligned} d[8] \ge d[3] + 3 \\ d[11] \ge d[8] + 3 \\ d[9] \ge d[6] + 1 \\ d[4] \ge d[1] + 1 \\ d[12] \ge d[10] + 1 \end{aligned}\right.$

除此之外，我们需要注意，因为 d 数组是一个前缀和，所以我们也需要维护好前缀和的合法性，也就是： $\forall i>0,d[i] \ge d[i - 1],d[i - 1]\ge d[i] - 1$ ，这两个式子使得两个相邻的 d 元素，满足前缀和的要求，后面的要么等于前面的，要么比前面的大一。

那么我们只需要使得 d 数组恰好满足上面的种种条件，或者说使得 d 数组恰好满足上面的种种约束，我们就可以求出此题的答案（例如样例中 d[12] 就是最终结果，因为被选中的数字肯定小于 12）。

用 spfa 求出满足所有约束的 d 数组

我们先来看一下 spfa 的代码。

int spfa()
{
    memset(d, -0x3f3f3f3f, sizeof(d));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    d[0] = 0, vis[0] = 1;
    queue<int> q;
    q.push(0);
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        vis[u] = 0;
        for (int i = 0; i < e[u].size(); i++)
        {
            int v = e[u][i].first;
            int w = e[u][i].second;
            if (d[v] < d[u] + w) // 注意这里
            {
                d[v] = d[u] + w;
                if (!vis[v])
                {
                    q.push(v);
                    vis[v] = 1;
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i <= 50000; i++)
        e[i].clear();
    return d[t];
}

这是一个 spfa 的代码，我们注意代码中出现注释的部分，spfa 会不停的寻找满足这个条件的边，找到了之后呢？我们就会修改 d[v] 的值，使得 $\ge d[u] + w$ （大家有没有觉得这个式子特别的熟悉？），直到所有的边全部都恰好满足条件为止，那么我们为什么不能用上面 d 数组中元素两两之间的关系来代替边权呢？

所以此题就有了以下的这个代码。

#include <bits/stdc++.h>
#define mp(a, b) make_pair(a, b)

using namespace std;

const int maxn = 50005;
int dis[maxn], vis[maxn], n, t;

vector<pair<int, int>> e[maxn];

int spfa() // 正常的一个最长路的代码，注意初始化
{
    memset(dis, -0x3f3f3f3f, sizeof(dis));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    dis[0] = 0, vis[0] = 1;
    queue<int> q;
    q.push(0);
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        vis[u] = 0;
        for (int i = 0; i < e[u].size(); i++)
        {
            int v = e[u][i].first;
            int w = e[u][i].second;
            if (dis[v] < dis[u] + w)
            {
                dis[v] = dis[u] + w;
                if (!vis[v])
                {
                    q.push(v);
                    vis[v] = 1;
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i <= 50000; i++)
        e[i].clear();
    return dis[t];
}

int solve()
{
    cin >> n;
    t = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        e[a].push_back(mp(b + 1, c)); // 题目中给出的约束
        t = max(t, b + 1);            // t 是图中最大的点，所有被选中的数字全部都小于 t
    }
    for (int i = 1; i <= t; i++)
    {
        e[i - 1].push_back(mp(i, 0)); // 为了使得前缀和合法而添加的约束
        e[i].push_back(mp(i - 1, -1));
    }
    int ans = spfa();
    return ans;
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        cout << solve() << '\n';
        if (T) // 输出格式有要求，大家要注意
            cout << '\n';
    }
    return 0;
}