1 知识点

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1.1 函数的极值及其求法

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定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $\mathring{U}(x_0)$ 内有定义，如果对于去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$ 内的任一 $x$，有 $f(x)<f(x_0)($ 或 $f(x)>f(x_0)$，那么就称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极大值（或极小值）。

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。

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定理1（必要条件）

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 处取得极值，那么 $f^{\prime }(x_0)=0$。

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定理2（第一充分条件）

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内可导。

(1) 若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，而 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；

(2) 若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，而 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值；

(3) 若 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$ 时，$f^{\prime }(x)$ 的符号保持不变，$f(x)$ 在 $x_0$ 处没有极值。

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定理3（第二充分条件）

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有二阶导数且 $f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$，那么

(1) 当 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；

(2) 当 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。

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1.2 最大值最小值问题

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求 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值最小值的方法：

(1) 求出 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的驻点 $x_1,x_2,\cdots ,x_m$ 及不可导点 $x_1^{\prime },x_2^{\prime },\cdots ,x_n^{\prime }$；

(2) 计算 $f(x_i)(i=1,2,\cdots ,m)$，$f^{\prime }(x_j^{\prime })(j=\mathrm{1.2.}\cdots ,n)$ 及 $f(a)$，$f(b)$；

(3) 比较 (2) 中诸值的大小，其中最大的便是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，最小值便是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值。

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2 练习题

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2.1

求下列函数的极值

题:

$y=2x^3-6x^2-18x+7$

解:

$f^{\prime }(x)=6x^2-12x-18$

$f^{\prime \prime }(x)=12x-12$

当 $f^{\prime }(x)=0$ 时，得 $x_1=3$，$x_2=-1$

$\because f^{\prime \prime }(3)=24>0$

$\therefore x=3$ 处 $f(x)$ 取得极小值：$f(3)=-47$

$\because f^{\prime \prime }(-1)=-24<0$

$\therefore x=-1$ 处 $f(x)$ 取得极大值：$f(-1)=17$

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题:

$y=x-ln(1+x)$

解:

$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{1+x}$

$f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{(1+x{)}^2}$

当 $f^{\prime }(x)=0$ 时，得 $x=0$

$\because f^{\prime \prime }(0)=1>0$

$\therefore x=0$ 处 $f(x)$ 取得极小值，$f(0)=0$

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题:

$y=-x^4+2x^2$

解:

$f^{\prime }(x)=-4x^3+4x$

$f^{\prime \prime }(x)=-12x^2+4$

当 $f^{\prime }(x)=0$ 时，得 $x_1=0,x_2=-1,x_3=1$

$\because$ 当 $x=0$ 时，$f^{\prime \prime }(0)=4>0$

$\therefore$ 当 $x=0$ 时，$f(x)$ 取得极小值，$f(0)=0$

$\because$ 当 $x=-1$ 时，$f^{\prime \prime }(-1)=-8<0$

$\therefore$ 当 $x=-1$ 时，$f(x)$ 取得极大值，$f(-1)=1$

$\because$ 当 $x=1$ 时，$f^{\prime \prime }(1)=-8<0$

$\therefore$ 当 $x=1$ 时，$f(x)$ 取得极大值，$f(1)=1$

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题:

$y=x+\sqrt{1-x}$

解:

$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{2}(1-x{)}^{-\frac{1}{2}}$

$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4}(1-x{)}^{-\frac{3}{2}}$

当 $f^{\prime }(x)=0$ 时，$x=\frac{3}{4}$

$\because x=\frac{3}{4}$ 时，$f^{\prime \prime }(\frac{3}{4})=-2<0$

$\therefore x=\frac{3}{4}$ 时，$f(x)$ 取得极大值，$f(\frac{3}{4})=\frac{5}{4}$

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题：

$y=\frac{1+3x}{\sqrt{4+5x^2}}$

解：

$f^{\prime }(x)=\frac{12-5x}{(4+5x^2{)}^{\frac{3}{2}}}$

$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{20(5x^2-9x+1)}{(4+5x^2{)}^{\frac{5}{2}}}$

当 $f^{\prime }(x)=0$ 时，$x=\frac{12}{5}$

$\because x=\frac{12}{5}$ 时，$f^{\prime \prime }(x)<0$

$\therefore x=\frac{12}{5}$ 时，$f(x)$ 取得极大值，$f(\frac{12}{5})=\frac{\sqrt{205}}{10}$

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题：

$y=\frac{3x^2+4x+4}{x^2+x+1}$

解：

$f^{\prime }(x)=-\frac{x^2+2x}{(x^2+x+1{)}^2}$

$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2x^3+6x^2-2}{(x^2+x+1{)}^2}$

当 $f^{\prime }(x)=0$ 时，$x_1=0,x_2=-2$

$\because x=0$ 时，$f^{\prime \prime }(0)=-2<0$

$\therefore x=0$ 时，$f(x)$ 取得极大值，$f(0)=4$

$\because x=-2$ 时，$f^{\prime \prime }(-2)=\frac{2}{3}>0$

$\therefore x=-2$ 时，$f(x)$ 取得极小值，$f(-2)=\frac{8}{3}$

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题：

$y=e^{x}cosx$

解：

$f^{\prime }(x)=e^{x}cosx-e^{x}sinx$

$f^{\prime \prime }(x)=e^{x}cosx-e^{x}sinx-e^{x}sinx-e^{x}cosx=-2e^{x}sinx$

当 $f^{\prime }(x)=0$ 时，$x=k\pi +\frac{\pi }{4},k\in Z$

$\because x=2k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in Z)$ 时，$f^{\prime \prime }(x)<0$

$\therefore f(x)$ 此时取得极大值，$f(2k\pi +\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}{e}^{2k\pi +\frac{\pi }{4}}(k\in Z)$

$\because x=2k\pi +\frac{5\pi }{4}(k\in Z)$ 时，$f^{\prime \prime }(x)>0$

$\therefore f(x)$ 此时取得极小值，

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题：

$y=x^{\frac{1}{x}}$

解：

令 $t=\frac{1}{x}$，则原式变换为 $y=(\frac{1}{t}{)}^t$

式子两边取对数得 $lny=tln\frac{1}{t}=-tlnt$

对 $y$ 求导得 $\frac{y^{\prime }}{y}=-lnt-1$

可得 $y^{\prime }=y(-lnt-1)=(\frac{1}{t}{)}^t(-lnt-1)$

$y^{\prime \prime }=y^{\prime }(-lnt-1)+y(-\frac{1}{t})=y^{\prime }(-lnt-1)-(\frac{1}{t}{)}^{t+1}$

当 $y^{\prime }=0$ 时，$t=\frac{1}{e}$，即 $x=e$

此时 $y^{\prime \prime }=0-e^{\frac{1}{e}+1}<0$

$\therefore x=e$ 时，$y$ 取得极大值 $e^{\frac{1}{e}}$。

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题：

$y=3-2(x+1{)}^{\frac{1}{3}}$

解：

$\because f^{\prime }(x)=-\frac{2}{3}(x+1{)}^{-\frac{2}{3}}<0$

且 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty ,+\infty )$

$\therefore f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递减

$\therefore f(x)$ 没有极值。

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题：

$y=x+tanx$

解：

$\because f^{\prime }(x)=1+se{c}^{2}x>0$

且 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty ,+\infty )$

$\therefore f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增

$\therefore f(x)$ 没有极值。

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2.2

题：

证明如果函数 $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 满足条件 $b^2-3ac<0$，那么这函数没有极值。

证明：

$y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$

考察 $y^{\prime }=0$ 时 $x$ 的取值

$\because \Delta =(2b{)}^2-4\cdot 3a\cdot c=4(b^2-3ac)<0$

$\therefore y^{\prime }=0$ 无解，即 $y^{\prime }\ne 0$

$\because y$ 处处可导

$\therefore y$ 没有极值

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2.3

题：

试问 $a$ 为何值时，函数 $f(x)=asinx+\frac{1}{3}sin3x$ 在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。

解：

$f^{\prime }(x)=acosx+cos3x$

$f^{\prime \prime }(x)=-asinx-3sin3x$

若要函数在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处取得极值，需 $f^{\prime }(\frac{\pi }{3})=\frac{a}{2}-1=0$

得 $a=2$

此时 $f^{\prime \prime }(\frac{\pi }{3})=-\sqrt{3}<0$

$\therefore f(x)$ 在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处取得极大值：$f(\frac{\pi }{3})=\sqrt{3}$。

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2.4

求下列函数的最大值、最小值：

题：

$y=2x^3-3x^2,-1\le x\le 4$

解：

当 $y^{\prime }=6x^2-6x=0$ 时，$x_1=0,x_2=1$

$f(0)=0,f(1)=-1,f(-1)=-5,f(4)=80$

$\therefore$ 函数在 $[-1,4]$ 上的最大值为 $80$，最小值为 $-5$。

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题：

$y=x^4-8x^2+2,-1\le x\le 3$

解：

当 $y^{\prime }=4x^3-16x=0$ 时，得 $x_1=0,x_2=-2,x_3=2$

$f(0)=2,f(-2)=-14,f(2)=-14,f(-1)=-5,f(3)=11$

$\therefore$ 函数在 $[-1,3]$ 上得最大值为 $11$，最小值为 $-14$。

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题：

$y=x+\sqrt{1-x},-5\le x\le 1$

解：

当 $y^{\prime }=1-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=0$ 时，$x=\frac{3}{4}$

$x=1$ 为不可导点

$f(\frac{3}{4})=\frac{5}{4},f(1)=1,f(-5)=-5+\sqrt{6}$

$\therefore$ 函数在 $[-5,1]$ 上的最大值为 $\frac{5}{4}$，最小值为 $-5+\sqrt{6}$。

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2.5

题：

问函数 $y=2x^3-6x^2-18x-7,(1\le x\le 4)$ 在何处取得最大值？并求出它的最大值。

解：

当 $y^{\prime }=6x^2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0$ 时，得 $x_1=-1,x_2=3$

$x_1=-1$ 不在定义域范围内

$f(1)=-29,f(4)=-47,f(3)=-61$

$\therefore$ 函数在 $x=1$ 处取得最大值 $f(1)=-29$。

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2.6

题：

问函数 $y=x^2-\frac{54}{x}(x<0)$ 在何处取得最小值？

解：

当 $y^{\prime }=2x+\frac{54}{x^2}=0$ 时，得 $x=-3$

$y^{\prime \prime }=2-\frac{108}{x^3}>0$

$\therefore$ 函数在 $x=-3$ 处取得最小值 $f(-3)=45$。

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2.7

题：

问函数 $y=\frac{x}{x^2+1}(x\ge 0)$ 在何处取得最大值？

解：

当 $y^{\prime }=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}=0$ 时，得 $x_1=-1,x_2=1$

$\because$ 函数定义域为 $x\ge 0$

$\therefore$ 函数只有一个驻点 $x=1$

$y^{\prime \prime }=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1{)}^3}$

当 $x=1$ 时，$y^{\prime \prime }=-\frac{1}{2}<0$，函数取得极大值 $y=\frac{1}{2}$，该值也是函数的最大值。

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2.8

题： 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现在存砖只够砌 $20m$ 长的墙壁。问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？

解：

令长方形小屋平行于墙壁的一条边长为 $x$ 米，则邻边长为 $\frac{20-x}{2}$ 米

长方形小屋的面积为 $s=\frac{(20-x)x}{2}$ 平方米

当 $s^{\prime }=10-x=0$ 时，$x=10$

$s^{\prime \prime }=-1<0$

$\therefore$ 当 $x=10$ 时，$s$ 取得最大值

即当长方形小屋平行于已有墙壁的边长为 $10$ 米，其他 墙壁为 $5$ 米时，面积最大为 $50$ 平方米。

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2.9

题：

要造一圆柱形油罐，体积为 $V$，问底半径 $r$ 和高 $h$ 各等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？

解：

根据圆柱形油罐的体积公式 $V=\pi r^{2}h$，得 $h=\frac{V}{\pi r^2}$

油罐得表面积公式 $s=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{2V}{r}$

当 $s^{\prime }=4\pi r-2V{r}^{-2}=0$ 时，得 $r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$

$\because s^{\prime \prime }=4\pi +4V{r}^{-3}>0$

$\therefore$ 当 $r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$ 时，$s$ 取得最小值

此时直径与高的比为 $\frac{2r}{h}=\frac{2r}{\frac{V}{\pi r^2}}=\frac{2\pi r^3}{V}=\frac{2\pi (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}{)}^3}{V}=1$。

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2.10

题：

某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面的面积为 $5m^2$，问底宽 $x$ 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？

解：

截面的面积为 $x\cdot y+\frac{\pi (\frac{x}{2}{)}^2}{2}=5$

可得 $y=\frac{40-\pi x^2}{8x}$

截面周长 $l=x+2y+\frac{1}{2}\cdot 2\pi (\frac{x}{2})=(\frac{\pi }{2}+1)x+\frac{40-\pi x^2}{4x}$

当 $l^{\prime }=\frac{\pi }{2}+1-\frac{\pi x^2+40}{4x^2}=0$ 时，得 $x=2\sqrt{\frac{10}{\pi +4}}$

$l^{\prime \prime }=\frac{20}{x^3}>0$

$\therefore$ 当 $x=2\sqrt{\frac{10}{\pi +4}}$ 时，截面的周长最小。

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2.11

题： 设有质量为 $5kg$ 的物体，置于水平面上，受力 $F$ 的作用而开始移动。设摩擦系数 $\mu =0.25$，问力 $F$ 与水平线的交角 $\alpha$ 为多少时，才可使力 $F$ 的大小为最小。

解：

根据受力关系，摩擦力等于拉力时有 $Fcos\alpha =(mg-Fsin\alpha )\mu$

变换得 $F=\frac{\mu mg}{cos\alpha +\mu sin\alpha }$

当 $F^{\prime }=-\mu mg(cos\alpha +\mu sin\alpha {)}^{-2}(-sin\alpha +\mu cos\alpha )=0$ 时，$\alpha =arctan\mu =arctan0.25$

$\therefore$ 当 $\alpha =arctan0.25$ 时，$F$ 的值最小。

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2.12

题： 有一杠杆，支点在它的一端。在距支点 $0.1m$ 处挂一质量为 $49kg$ 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平。如果杠杆的线密度为 $5kg/m$，求最省力的杆长？

解：

令 $l$ 代表杠杆长度，$\rho$ 代表杠杆的线密度，$m$ 代表物体的质量，$g$ 代表重力加速度

根据杠杆原理，得 $Fl=0.1mg+\rho lg\cdot \frac{l}{2}$

转换得 $F=\frac{0.1mg}{l}+\frac{\rho lg}{2}$

当 $F^{\prime }=-0.1mg{l}^{-2}+\frac{\rho g}{2}=0$ 得，$l=\frac{7}{5}=1.4m$

$\therefore F^{\prime \prime }=\frac{49g}{5l^3}>0$

$\therefore$ 当 $l=1.4m$ 时，$F$ 取得最小值。

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[学习资料]

1.《高等数学（第六版）》 ，同济大学数学系 编

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