SVD奇异值分解实现图片降维

1 SVD奇异值分解

1.1 概念

SVD（奇异值分解）降维是一种常用的线性降维方法，在数据科学和机器学习中有着广泛的应用。SVD的主要思想是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，通过保留最重要的奇异值和对应的奇异向量，来近似原矩阵，从而达到降维的目的。

1.2 基本步骤

1.2.1 矩阵分解

给定一个m * n 的数据矩阵A，SVD将其分解为三个矩阵的乘积：
A = U*Σ *V^T
其中：

• U是一个m * n 的正交矩阵，其列向量称为左奇异向量。
• Σ是一个m * n的对角矩阵，对角线上的非负数称为奇异值，按从大到小的顺序排列。
• V^T是m * n的正交矩阵的转置，其行向量称为右奇异向量。

1.2.2 选择奇异值

奇异值在对角矩阵Σ中从大到小排列，前面的几个奇异值往往包含了矩阵中大部分的信息。通过选择前 k 个最大的奇异值（ k 小于矩阵的秩），可以保留矩阵的主要特征。

1.2.3 重建矩阵

选择前k个奇异值后，可以构造一个新的对角矩阵Σk，只包含这k 个最大的奇异值，其他位置为零。然后使用U 和V 的前k 个列向量来重建矩阵：
Ak = Uk*Σk *Vk^T
其中Uk和 Vk分别是由U和 V 的前k 个列向量组成的矩阵。

1.2.4 降维结果

矩阵 Ak 即为降维后的矩阵，其维度为 m * n 降低到了m * k 。通常情况下， k 远小于 n，因此达到了降维的效果。
在使用SVD降维时，选择合适的k 非常关键，这通常需要通过实验来确定，以便在降维和保留信息之间找到平衡。

1.3 优缺点

1.3.1 优点

1. 信息保留能力：SVD能够有效地提取数据的主要特征，通过保留最大的奇异值，可以最大程度地保留原始数据的方差信息。
2. 灵活性：SVD降维不依赖于数据的分布，对于多种类型的数据都适用，包括非负数据、稀疏数据等。
3. 简化模型：通过减少特征的数量，SVD可以帮助简化机器学习模型，减少计算量，提高模型的泛化能力，减少过拟合的风险。
4. 易于理解：SVD的数学原理相对直观，分解后的奇异值和奇异向量能够提供数据结构的直观解释。
5. 稳定性：SVD是一种稳定的算法，对于小的数据扰动，其结果不会产生大的变化。

1.3.2 缺点

1. 计算复杂度高：对于大型矩阵，SVD的计算复杂度较高，尤其是当矩阵的维度很高时，计算时间和空间复杂度都会显著增加。
2. 不适合非线性数据：SVD是一种线性降维方法，对于非线性结构的数据，其降维效果可能不如非线性降维方法（如t-SNE、Isomap等）。
3. 对噪声敏感：虽然SVD相对稳定，但在某些情况下，小的奇异值可能反映了噪声或异常值，这可能导致降维过程中噪声被放大。
4. 数据量要求：SVD需要将整个数据集加载到内存中进行处理，对于非常大的数据集，这可能是一个挑战。
5. 特征解释性：虽然SVD可以提供数据结构的解释，但分解后的特征可能不如原始特征直观，这可能会降低模型的可解释性。
6. 需要选择奇异值数量：在使用SVD降维时，需要手动或通过交叉验证等方法选择保留的奇异值数量（即降维后的维度），这个选择过程可能需要多次尝试，并且可能对最终结果有较大影响。
   总的来说，SVD降维是一个强大的工具，特别适用于需要保留数据主要方差特征的场景。然而，它的应用也受到一些限制，特别是当处理大规模数据集或非线性结构的数据时。

2 函数

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2.1 函数导入

from numpy.linalg import svd

2.2 函数参数

• 默认值：a, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False，一般输入a参数，其他默认

1. a：一个形状为(M, N)的数组，需要被分解的矩阵。
2. full_matrices：布尔值，可选，默认为True。
   • 如果为True，则U和V*的形状分别是(M, M)和(N, N)，奇异值将被填充为一个(M, N)的对角矩阵。
   • 如果为False，则U和V*的形状分别是(M, K)和(K, N)，其中K = min(M, N)，奇异值仍然是一个(K, )的数组。
3. compute_uv：布尔值，可选，默认为True。
   • 如果为True，则计算U和V*。
   • 如果为False，则只计算奇异值，不计算U和V*。
4. hermitian：布尔值，可选，默认为False。
   • 这个参数在NumPy的较新版本中已经废弃，不再推荐使用。它用于指定矩阵是否为厄米特矩阵（即共轭转置等于自身的矩阵）。如果为True，则函数计算的是矩阵的 eigendecomposition 而非 SVD。

2.3 返回值

该函数返回三个数组：

1. U：形状为(M, M)或(M, K)的数组，取决于full_matrices参数，包含了左奇异向量。
2. s：形状为(K, )的数组，包含了矩阵的奇异值，奇异值是按降序排列的。
3. Vh：形状为(N, N)或(K, N)的数组，取决于full_matrices参数，包含了右奇异向量的共轭转置。

2.4 通过 k 个奇异值降维

代码展示:

def pic_compress(k,pic_array):
    global u,sigma,vt,sig,new_pic
	# pic_array为数组
	u,sigma,vt = svd(pic_array)
    # 创建一个对角矩阵，对角线上的元素是前k个奇异值
    sig = np.eye(k) * sigma[:k]
    # 通过奇异值分解重构图像，只使用前k个奇异值
    new_pic = np.dot(np.dot(u[:,:k],sig),vt[:k,:])
    # 计算压缩后图像的大小
    size = u.shape[0] * k + sig.shape[0] * sig.shape[1] + k * vt.shape[1]
    # 返回重构后的图像和其大小
    return new_pic,size

3 实际测试

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3.1 原图数据

3.2 代码测试

代码展示：

from PIL import Image
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.linalg import svd

def pic_compress(k,pic_array):
    global u,sigma,vt,sig,new_pic

    u,sigma,vt = svd(pic_array)
    # 创建一个对角矩阵，对角线上的元素是前k个奇异值
    sig = np.eye(k) * sigma[:k]
    # 通过奇异值分解重构图像，只使用前k个奇异值
    new_pic = np.dot(np.dot(u[:,:k],sig),vt[:k,:])
    # 计算压缩后图像的大小
    size = u.shape[0] * k + sig.shape[0] * sig.shape[1] + k * vt.shape[1]
    # 返回重构后的图像和其大小
    return new_pic,size

img = Image.open('at1_gry.png')
ori_img = np.array(img)
new_img,size = pic_compress(50,ori_img)
print(f'original size:{ori_img.shape[0]*ori_img.shape[1]}')
print(f'compress size:{size}')
# 创建一个包含两个子图的图形
fig,ax = plt.subplots(1,2)
# 在第一个子图中显示原始图像
ax[0].imshow(ori_img,cmap='gray')
# 设置第一个子图的标题为before compress
ax[0].set_title('before compress')
ax[1].imshow(ori_img,cmap='gray')
ax[1].set_title('after compress')
plt.show()

运行结果：

可以看到降维后图片比降维前模糊