有效数字和相对误差限的关系
若近似数 x ∗ x^* x∗具有 n n n位有效数字，则其相对误差限为
ε r ∗ ⩽ 1 2 a 1 × 1 0 − ( n − 1 ) \varepsilon_\mathrm{r}^*\leqslant\frac1{2a_1}\times10^{-(n-1)}\: εr∗⩽2a11×10−(n−1)
反之，若 x ∗ x^* x∗的相对误差限 ε r ∗ ⩽ 1 2 ( a 1 + 1 ) × 1 0 − ( n − 1 ) \varepsilon_\mathrm{r}^*\leqslant\frac1{2(a_1+1)}\times10^{-(n-1)} εr∗⩽2(a1+1)1×10−(n−1),则 x ∗ x^* x∗至少具有 n n n位有效数字。
证明：
有
a
1
×
1
0
m
⩽
∣
x
∗
∣
⩽
(
a
1
+
1
)
×
1
0
m
a_1\times10^m\leqslant|x^*|\leqslant(a_1+1)\times10^m
a1×10m⩽∣x∗∣⩽(a1+1)×10m
当 x ∗ x^* x∗有 n n n 位有效数字时，有
ε r ∗ = ∣ x − x ∗ ∣ ∣ x ∗ ∣ ⩽ 0.5 × 1 0 m − n + 1 a 1 × 1 0 m = 1 2 a 1 × 1 0 − n + 1 ; \varepsilon_\mathrm{r}^*=\frac{\mid x-x^*\mid}{\mid x^*\mid}\leqslant\frac{0.5\times10^{m-n+1}}{a_1\times10^m}=\frac1{2a_1}\times10^{-n+1}; εr∗=∣x∗∣∣x−x∗∣⩽a1×10m0.5×10m−n+1=2a11×10−n+1;
反之，有
∣ x − x ∗ ∣ = ∣ x ∗ ∣ ε r ∗ ⩽ ( a 1 + 1 ) × 1 0 m × 1 2 ( a 1 + 1 ) × 1 0 − n + 1 = 0.5 × 1 0 m − n + 1 , \mid x-x^*\mid=\mid x^*\mid\varepsilon_\mathrm{r}^*\leqslant(a_1+1)\times10^m\times\frac{1}{2(a_1+1)}\times10^{-n+1}=0.5\times10^{m-n+1}\:, ∣x−x∗∣=∣x∗∣εr∗⩽(a1+1)×10m×2(a1+1)1×10−n+1=0.5×10m−n+1,
故 x ∗ x^* x∗ 有 n n n 位有效数字，证毕。
以上说明 ,有效位数越多，相对误差限越小。
例
要使 2 0 \sqrt20 20的近似值的相对误差限小于 0.1%,要取几位有效数字？
解:
由
ε r ∗ ⩽ 1 2 a 1 × 1 0 − ( n − 1 ) \varepsilon_\mathrm{r}^*\leqslant\frac1{2a_1}\times10^{-(n-1)}\: εr∗⩽2a11×10−(n−1)
且 20 = 4.4 ⋅ ⋅ ⋅ \sqrt{20}=4.4\cdotp\cdotp\cdotp 20=4.4⋅⋅⋅
故 a 1 = 4 a_1=4 a1=4，故只要取 n = 4 n=4 n=4，就有
ε r ∗ ⩽ 0.125 × 1 0 − 3 < 1 0 − 3 = 0.1 % \varepsilon_{\mathrm{r}}^{*}\leqslant0.125\times10^{-3}<10^{-3}=0.1\% εr∗⩽0.125×10−3<10−3=0.1%
即只要对 20 \sqrt{20} 20的近似值取四位有效数字，其相对误差限就小于 0.1 % 0.1\% 0.1%，此时
20 ≈ 4.472 \sqrt{20}\approx4.472 20≈4.472
