实战训练1—完全数
问题描述：
数学上的“完全数”是指真因子（除了自身以外的约数）之和等于它本身的自然数。例如，6的因子是1,2,3，而1+2+3=6，所以6是完全数。如果一个正整数小于它的所有真因数之和，被称为“不足数”。如果一个正整数大于它的所有真因数之和，被称为“过剩数”。编程实现判断一个正整数是完全数、不足数还是过剩数。
输入格式：
输入一行，包含一个正整数n
输出格式：
输出一行，如果n是完全数，则输出"Perfect"，不足数则输出"Deficient"，过剩数则输出"Abundant"。
输入输出样例：
| 输入样例1 | 输出样例1 |
| 28 | Abundant |
| 输入样例2 | 输出样例2 |
| 11 | Deficient |
| 输入样例3 | 输出样例3 |
| 36 | Abundant |
问题分析：
根据题意，对于正整数n需要计算其所有正因子（不包括它本身）的和，借鉴求素数的思想，从1开始到n-1结束依次去整除n，使用循环来实现，循环变量i初始值为1，终值为n-1，更新表达式为自增运算，循环体内循环变量依次去整除n，如果n%i==0，那么将i累加到因子和，最后判断因子和是否等于它本身，等于则这个数是完全数，小于则为不足数，否则为过剩数。具体程序代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int n,sum=0;//定义正整数n和，因子和变量sum并初始化为0
cin>>n;//输入n
for(int i=1; i<n; i++) {//定义循环变量i，从1到n-1
if(n%i==0) {//循环变量i依次去整除n，判断i是否为n的因子
sum += i;//将因子i累加到和变量sum中
}
}
if(sum==n) {//判断sum是否和该数相等
cout<<"Perfect"<<endl;//完全数
} else if(sum>n) {//判断sum是否大于n
cout<<"Abundant"<<endl;//过剩数
} else {
cout<<"Deficient"<<endl;//不足数
}
return 0;
}在判断素数时，对代码进行了改进，每个数的因子是成对出现的，所以找到一个因子之后，让n去除以该因子得到另一个因子，当然需要考虑这两个因子是否相等，同时需要将该数本身去除出去，可以将循环变量的终值修改为sqrt(n),这样减少了代码循环次数，提高了效率。具体程序代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int n,sum=0;//定义正整数n和，因子和变量sum并初始化为0
cin>>n;//输入n
for(int i=1; i<=sqrt(n); i++) {//定义循环变量i，从1到sqrt(n)
if(n%i==0) {//循环变量i依次去整除n，判断i是否为n的因子
if(i != n/i){//判断两个因子是否相等，如果不相等进入本分支
sum += i;//将因子i累加到和变量sum中
if(n/i != n){//需要考虑i为1时，另一因子是该数本身，所以不能将本身累加到和sum中
sum += n/i;//将另一个因子n/i累加到和变量sum中
}
}else{//两个因子相等
sum += i;//两个因子相等只需累加一次
}
}
}
if(sum==n) {//判断sum是否和该数相等
cout<<"Perfect"<<endl;//完全数
} else if(sum>n) {//判断sum是否大于n
cout<<"Abundant"<<endl;//过剩数
} else {
cout<<"Deficient"<<endl;//不足数
}
return 0;
}实战训练2—寻找指定范围的完全数
问题描述：
数学上的“完全数”是指真因子（除了自身以外的约数）之和等于它本身的自然数。例如，6的因子是1,2,3，而1+2+3=6，所以6是完全数。输入两个整数m和n，且m<=n，输出m到n这个范围内所有的完全数。
输入格式：
输入一行，两个整数m和n，且m<=n。
输出格式：
输出一行，输出所有的完全数，完全数之间用一个空格隔开。
输入输出样例：
| 输入样例 | 输出样例 |
| 2 10001 | 6 28 496 8128 |
问题分析：
通过实战训练2可知判断一个整数是否为完全数时采用单层循环，现在该训练修改为统计某个范围内的完全数，即对该范围内的所有整数，依次去判断该整数是否为是否为完全数，因此需要采用for循环嵌套来实现，外层循环变量i表示整数范围m到n，内层循环变量j表示是否为i的因子，j的取值从1到i-1，用j去整除i。具体程序代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int m,n;//定义正整数范围m和n
cin>>m>>n;//输入m和n的值
for(int i=m;i<=n;i++){//定义外层循环，循环变量i从m到n
int sum =0;//定义因子和变量sum，并初始化为0
for(int j=1;j<i;j++){//定义内层循环，循环变量j依次去整除i，判断j是否为i的因子
if(i%j==0){//如果i能被j整除
sum += j;//将因子j累加到和变量sum中
}
}
if(sum == i){//如果因子和等于该数本身，则为完全数
cout<<i<<" ";//输出该完全数i
}
}
return 0;
}同理将内层循环的终值值设置为sqrt(i),程序代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int m,n;//定义正整数范围m和n
cin>>m>>n;//输入m和n的值
for(int i=m; i<=n; i++) { //定义外层循环，循环变量i从m到n
int sum =0;//定义因子和变量sum，并初始化为0
for(int j=1; j<=sqrt(i); j++) {//定义循环变量j，从1到sqrt(i)
if(i%j==0) {//循环变量j依次去整除i，判断j是否为i的因子
if(j != i/j) { //判断两个因子是否相等，如果不相等进入本分支
sum += j;//将因子j累加到和变量sum中
if(i/j != i) { //需要考虑j为1时，另一因子是该数本身，所以不能将本身累加到和sum
sum += i/j;//将另一个因子i/j累加到和变量sum中
}
} else { //两个因子相等
sum += j;//两个因子相等只需累加一次
}
}
}
if(sum == i) { //如果因子和等于该数本身，则为完全数
cout<<i<<" ";//输出该完全数i
}
}
return 0;
}
