论文地址：https://arxiv.org/pdf/2412.01981

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一、PRM的成本和性能困境

1. ORM和PRM

​ 在强化学习中，奖励模型用于评估模型的输出。常见的两种奖励模型是结果奖励模型（ORM）和过程奖励模型（PRM）。ORM为整个响应分配一个稀疏奖励，而PRM则为每个中间步骤提供奖励。

​ ORM和PRM奖励分配方式。令$x$表示指令，$y$为包含n个步骤的响应，$y_t$为第t步的响应，$y_{<t}$表示前t-1步的响应。PRM为第t步分配的奖励为$r_{\theta }^t(y_{<t},y_t)$。令Q值$q_{\theta }^t(y_{<t},y_t)$表示基于响应$y_{<t}$和当前步骤$y_t$的奖励$r_{\theta }$的期望值。先前的研究将过程奖励定义为每个步骤的正确性，而近期研究则将其定义为优势值。即Q值之差：$r_{\theta }^t:=q_{\theta }^t-q_{\theta }^{t-1}$。

2. PRM的优势

​ 效果。结果奖励模型和过程奖励模型都能够提供奖励以评估模型的输出。然而，PRM在训练和推理时都表现出优于ORM的优势。

​ 效率。PRM提供密集的步骤级奖励能让强化学习（RL）训练变得稳定且高效。

3. PRM的困境

​ 尽管PRM很有效，但其训练难度更大，主要挑战在于训练数据的收集。为了收集PRM的训练数据，通常需要使用蒙特卡洛树搜索（MCTS）进行自动步骤标注。

​ MCTS基于指令和前t步的响应来采样多条轨迹，每条轨迹都会产生一个最终答案。但是，这种方法会带来高额的额外成本，并且由于标注过程存在噪声，可能会导致性能欠佳。

4. MCTS估计的问题

估计策略：

在MCTS中，有两种常见的标签估计策略：

• 硬估计：如果有任意rollout是正确的，那么步骤tt被标注为1，否则为0。即 l t = max ⁡ { c 1 , c 2 , … , c N } l_t=\max\{c_1,c_2,\dots,c_N\} lt​=max{c1​,c2​,…,cN​}。
• 软估计：步骤t被标注为所有rollout中正确答案的比例，也就是$l_t={\sum }_{t=1}^N{c}_t/N$。

令ORM为$\theta$，基于硬估计数据训练的PRM为${\theta }_h$，基于软估计数据训练的PRM为${\theta }_s$，那么两种策略的Q值表示为
$$q_{{\theta }_h}^t(y_{<t},y_t)=\underset{y|y_{<t}}{\max }{r}_{\theta }(y),q_{{\theta }_s}^t(y_{<t},y_t)={\mathbb{E}}_{{\pi }_{ref}(y|y_{<t})}{r}_{\theta }(y)$$
潜在问题：

尽管硬估计和软估计都有其合理性，但它们都存在噪音问题。具体来说：

• 硬估计：$q_{{\theta }_h}^t$表示给定$y_{<t}$的情况下的最大结果奖励$r_{\theta }$，而不是期望值，因此会高估$Q$值。
• 软估计：对于$q_{{\theta }_s}^t$，由于策略模型的能力通常有限，要针对困难的指令采样处正确的解决方案很难，会受假阴性噪音的影响，从而低估$Q$。

二、通过ORM直接构造PRM

​ MCTS虽然能够不借助人工来构造PRM数据，但是成本高昂且奖励值估计不准确。那么不通过MCTS，而是直接基于ORM来构造过程奖励可以吗？

1. 基于ORM构造PRM

​ ORM采用DPO中定义的形式，即$r_{\theta }(y):=\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y)}{{\pi }_{\text{ref}}(y)}$。令$q_{\theta }^t(y_{<t},y_t):={\sum }_{i=1}^t\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y_i|y_{<i})}{{\pi }_{\text{ref}}(y_i|y_{<t})}$，那么$q_{\theta }^t$是$r(\theta )$的指数平均值，即
$$q_{\theta }^t(y_{<t},y_t)=\beta \log {\mathbb{E}}_{{\pi }_{ref}(y|y_{\le t})}{e}^{\frac{1}{\beta }{r}_{\theta }(y)}$$
所以，$q_{\theta }^t$表示结果奖励$r_{\theta }$在步骤$t$处的精确期望值，即Q值。

​ 既然，$q_{\theta }^t$是Q值，那么若令过程奖励值为优势值，则可以直接计算$r_{\theta }^t$为
$$r_{\theta }^t:=q_{\theta }^t-q_{\theta }^{t-1}=\sum _{i=t-1}^t\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y_i|y_{<i})}{{\pi }_{\text{ref}}(y_i|y_{<i})}$$

2. 隐式PRM的奖励估计更合理

$$q_{{\theta }_s}^t={\mathbb{E}}_{{\pi }_{ref}(y|y_{<t})}{r}_{\theta }(y)\le q_{\theta }^t(y_{<t},y_t)\le \underset{y|y_{<t}}{\max }{r}_{\theta }(y)=q_{{\theta }_h}^t$$

上面提出的隐式PRM理论上介于$q_{{\theta }_s}^t$和$q_{{\theta }_h}^t$之间，而$q_{{\theta }_s}^t$和$q_{{\theta }_h}^t$分别会低估和高估Q值，因此$q_{\theta }^t$的估计更加准确且鲁棒性更强。

三、实验

1. 效果

​ 论文中各种隐式PRM的效果优于baseline。

2. 效率