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机器学习的本质就是借助机器寻找一个转换函数

根据函数的输出类型，可以将机器学习进行分类

• regression 回归任务：函数输出时一个数值
• classification 分类任务：人类设定好选项/类别，函数的输出时选项/类别中的一个
• structured learning : 机器创造一些有结构的信息，比如文本、图

过拟合Overfitting：在训练资料上变好，在没有训练的资料上效果边差

问题1：机器怎么寻找一个转换函数

案例：Youtube频道订阅人数的预测

步骤1：写出一个带有未知参数的函数

猜测其转换函数应该长什么样，这个函数的猜测过程就需要用到领域知识。

猜测：未来点阅次数的函式F,是前一天的点阅次数,乘上w 再加上b

• $y$ 是我们要预测的人数
• $x_1$是这个频道前一天总共观看的人数

名词定义

Feature: Function裡面我们已知的信息 $x_1$

Weight: 未知参数

Bias: 未知参数，偏差值

步骤2：从训练数据里定义Loss损失函数L(b,w)

函数的输入是b和w，函数的输出是输入某个特定的b和w，模型结果是是好还是不好L越大说明模型不好，L越小说明模型好
假设有一个损失函数L(0.5k,1) ，模型为y=b+wx1 => y=0.5k+1x1(k是千人的意思)
训练数据(本案例过去的订阅次数)输入到模型(函数)中，比如x输入1月1日订阅人数4.8k，计算得到模型预测的y(1月2日订阅人数)为5.3k，但实际只有4.9k

计算方法： 求取估测的值跟实际的值（Label） 之间的差距

本案例中e取绝对值的方法称为mean absolute error(MAE)平均绝对误差

e=(y-y预测)²称为mean square error(MSE)均方误差
如果y与y预测都是概率分布，可能选择的e为coss-entropy交叉熵

步骤3：optimization 优化 让Loss值最小

优化式：w*，b* = arg$\underset{w,b}{\min }$L，寻找参数w和b让L最小，将其称为w和b。

本课程用到的Gradient Descent梯度下降方法

1. 随机选取初始值：假设只有一个参数w，随机选择一个初始点w0

2. 计算$\frac{\partial L}{\partial W}{|}_{w=w^0}$

3. 根据微分（梯度）的方向，改变参数的值，优化的目标是降低损失值。

   1. 根据微分(梯度)的方向，改变参数的值–应该降低w还是提升w取值？

      ①如果计算出来斜率为负，说明该点w⁰ 处损失值L呈下降趋势，因此增加w就可以获取到更低的L值
      ②同理如果计算出来斜率为正，说明损失值L呈上升趋势，因此降低w值可以获取到更低的L值
      w改变的跨度取决于斜率的大小与学习率的大小，移动跨度公式：$\eta \frac{\partial L}{\partial W}{|}_{w=w^0}$
      ①斜率大说梯度大损失值改变大可以大幅度降低w。
      ②$\eta$表示学习速率 ，该值自己设置，在机器学习中，自己设置的固定值称为hyperparameters超参数

4. 新的w¹ = w⁰-$\eta \frac{\partial L}{\partial W}{|}_{w=w^0}$ ，重复操作2和操作3不断更新w的取值

5. 什么时候停下来

   1. 自己设置上限，这个上限也是一个超参数。比如设置更新w 1000次。
   2. 理想情况：微分值为0（极小值点），不会再更新

梯度下降存在问题：有可能陷入局部最小值，不能找到全局最小值 (事实上，局部最小值不算梯度下降真正的痛点)

问题：为什么损失值可以取负数？

估测的值y跟实际的值（Label） 之间的差距在本案例中是取绝对值，不可能有负数。这里图是随便画的和本案例无关

推广到多个参数 => 类似一个参数的做法

不断更新参数，直到找到一个 w 和 b

模型的修改

利用模型预测未知日期新的观看量，发现每个7天一个循环(周一到周四观看量高，周五到周六观看量低，周末观看量增加)

原来的模型只能依据前一天的值预测当天值(随便猜测y=b+wx₁)，根据上图我们发现其实观看人数呈周期变化，这里猜测采用上周值预测本周值可以得到更精准的模型(对问题有了更深的理解)。

修改新模型为$y=b+{\sum }_{j=1}^7{w}_j{x}_j$，下标j表示根据前7天的观看人次，预测当天的观看人次=> 也可以考虑更多天的观看人次

相当于将一个特征值x₁ (w同)增加到了7个特征值x _1~7

神经网络

线性模型

linear models =Feature*Weight + bias => 不是要一模一样，在模型修改中的$y=b+{\sum }_{j=1}^7{w}_j{x}_j$也是线性模型

线性模型存在严重限制Model Bias(跟前面说的变量b bias意思不同)：y只会随x₁线性变化 ⇒ 解决方法：需要一个更复杂的、有未知参数的function

Sigmoid Function改写步骤1：写出一个带有未知参数的函数

所有Piecewise Linear Curves分段线性曲线( 定义：由多段锯齿状的线段所组成的线 )= 常数 + 一大堆蓝色function(每一段的蓝色function可能不一样，下述案例只是举例)

=> 可以用Piecewise Linear Curves逼近任何连续曲线

在案例Youtube频道订阅人数的预测中，即使x和y的关系很复杂，但我们感觉应该还是一条连续曲线，所以只要想办法写一个带有未知数的function(常数+一堆蓝色function )

并不知道如何写出这个function，使用Sigmid Function Curves来逼近这个function

Sigmoid Function(S形函数): $y=c\frac{1}{1+e^{-(b+w{x}_1)}}$

调整 $w,b,c$，可以得到各种不同的sigmiod来逼近”蓝色function“，通过求和，最终近似各种不同的连续Function

总结

1. 用Piecewise Linear Curves逼近任何连续曲线，Piecewise Linear Curves= 常数 + 一大堆蓝色function，所以需要表示蓝色function(但是并不清楚怎么表示)。
2. 使用Sigmid Function Curves(可以表示任何连续曲线)通过调整来$ w,b,c $逼近这个蓝色function。

案例理解

套入这个本课程的案例，模型可以表示为$ y=b+\sum_isigmoid(b_i+w_ix_1) $(当天的观看人数和前一天的有关)

调整$b、w、c$可以制造不同的蓝色function，不同的蓝色function叠加起来就可以制造出不同的Piecewise Linear Curves ，不同的Piecewise Linear Curves可以去逼近不同的连续函数

前面我们优化过，其实当天的观看人数可以和前几天的有关，模型可以表示为$y=b+{\sum }_{i}sigmoid(b_i+{\sum }_j{w}_{ij}{x}_j)$i是不同的function函数数量，j表示当前日期的前j天，$w_{ij}$第i个sigmoid给第j个特征的权重

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下面将i和j带入实际例子理解一下，假设这个模型由三个不同的sigmoid function叠加生成（sigmoid的数量是自己决定的超参数），当天的预测人数与前三天的观看人数有关，也就是j和i分别取1、2、3

转化为线性代数的形式

1. 将$b_i+{\sum }_j{w}_{ij}{x}_j$等价成$r=\vec{b}+矩阵W\ast x$形式
2. $a=sigmoid(r)=\frac{1}{1+e^{-r}}=\sigma (r)$，将a的表示简写为$\sigma (r)$
3. 模型线性代数的表达为$y=常数b+c^{T}a=常数b+c^T\sigma (r)=常数b+c^T\sigma (\vec{b}+矩阵W\ast \vec{x})$

公式中x为feature 未知参数为矩阵W、常数b、$\vec{b}$ 、$c^T$，一般将矩阵W每一行/列抽出来与其他向量拼在一起，将所有的参数统称为 $\theta$.（包含 W,$\vec{b}$ ,b…)

第二步：定义Loss损失函数L($\theta$)

因为所有的参数统称为 $\theta$，所以Loss表示为 $L(\theta )$。

输入x求计算出来的$y=b+c^T\sigma (\vec{b}+矩阵W\ast \vec{x})$，还是利用平均绝对误差法计算与真实label$\hat{y}$的误差绝对值$e=|y-\hat{y}|$，损失函数$L=\frac{1}{N}{\sum }_n{e}_n$

第三步：optimization优化 找到参数使L最小

1. 选定初始参数值（向量） ${\theta }_0$
2. 对每个参数求偏导/微分，每个参数求偏导组成的矩阵叫做gradient梯度有些时候简写为`$\nabla$,$\nabla L({\theta }^0)$
3. 更新参数，直至设定的次数

批训练Batch training

实际上， 不会一次性将全部数据用于训练一个L，而是将全部资料分成n个batch(这里的n也是一个超参数)去训练n个L。

定义

• 1 epoch 时期= 使用所有batch的L更新一次$\theta$
• 1 update/iteration = 每更新一次参数$\theta$

比如有资料N=10000，每个batch划分的资料是100，那么一共有100个batch，一次epoch里会更新100次$\theta$

问题：为什么要将全部资料分成一个一个batch

todo

模型的其他变形

使用Rectified Linear Unit线性整流单元

在上述案例中，我们是将蓝色function(hard sigmoid)近似为<font style="color:#DF2A3F;">(soft)sigmoid function</font>，其实这里还有其他的做法。

比如：每一个hard sigmoid可以使用两个线性整流单元Rectified Linear Unit(ReLU)叠加

图形上的表示为一个折线(两个水平线有一个转折点)，公式表示为$c\max (0,b+w{x}_1)$，上述的模型$y=b+{\sum }_{i}sigmoid(b_i+{\sum }_j{w}_{ij}{x}_j)$可表示为$y=b+{\sum }_{2i}max(0,b_i+{\sum }_j{w}_{ij}{x}_j)$，其中i表示函数的条数，1个hard sigmoid需要用2个relu函数叠加而成

:::tips
这里的sigmoid和Relu在机器学习中被称为Activation funtion激活函数

:::

问题：哪一个激活函数效果更好

todo

增加嵌套层数

生成a后，可以嵌套生成a’，这里的嵌套次数是一个超参数

问题：为什么可以这样做，这样做的原因是什么

这里感觉没讲明白

我的理解：从图像来讲a表示的是一个s型曲线(c只影响高度)，将一个hard sigmoid逼近为一个sigmoid。那再做一次表示再逼近一次？

Deep Learning

以前的叫法：这些sigmoid或者Relu被叫做一个neuron神经元，很多neurl被叫做Neural Network神经网络

现在的叫法：每一排Neural叫做一个hidden layer，很多hidden layer被叫做Deep,这一套技术被叫做Deep Learning深度学习