例1.已知 (R,+,x)为域，请选出正确的说法:(A)(R,+,x)也是整区;

ABCD

(B)R中无零因子;

C)R在x运算上满足第一、二、三指数律;

(D)R只有平凡理想;

(E)R只有平凡子环。

域的特征：

域中，非0元素的加法周期

思考、在模7整数环R,中，√4、√-5分别等于什么2 ，3

子域：

子集仍然是域

{0}不是域，子域也不一定是原本的理想

最小子域：

属于任何子域的子域

特征为p的最小子域同构于Rp

如果是特征为0，那就是和有理数域同构（间接说明有理数域自己就是特征0的最小子域）

素域

设p为质数或等于0，特征为p的任意域F包含Rp为其最小子域。

我们把R,称为最小域或素域，其中p为0或质数。

今后，对任意a属于F，代数式na有两种等价的解释:

①可以看作是a的n倍(即n个a相加)

②可以看作是F中两个元素(n、a)的乘积。

显然这两种解释的计算结果都等同于(ne)a。

素域的结论

结论2:有限域的特征为质数p(否则RF，与元数有限矛盾)

结论3:设F的特征是质数p，则(a+b)^P=a^p+b^p

结论4:设F的特征是质数p,则(a-b)^p= a^p-b^p。

结论5:设F的特征是质数p，则(a±b)^p=a^p±b^p

结论6:设F的特征是质数p，则(a1+…+an)^P=a1^p+a2^p....

结论7:设F的特征是质数p，n不是p的倍数，则n^(p-1)=1 (费马小定理)

域上的多项式

设R是有壹的交换环，N是R的理想。于是，R/N是域，必要而且只要N是R的极大理想。

用什么样的有壹交换环R来构造域?

整数环? 错

极大理想为pz，只能构造出有限素域Rp.      

有理数域？错

极大理想{0}的话只能构造出自身同构的理想

多项式环来构造域

定义(域上关于文字x的多项式)设F是域，x是一个抽象的符号，F上面一个文字x的多项式形式如下:a0x^n + a1x^n-1 ...+ an其中 n、n-1、….、0是非负整数，系数a0、a1、a2∈ F。x的多项式可用f(x)、g(x)等代表。

1,多项式的次数：

最大项的次数

常数多项式0的次数是负无穷

1的次数是0

2,多项式相等

F(x)=g(x)

可以添常数项

次(f+g)<=max(f+g)

次(f+g)=次(g)+次(f)
F[x] 是域F上的多项式集合, |F[x]|=p^n

思考.F为域，Fx]为F上的所有多项式的集合，十、x运算为多项式加法、乘法运算，回答下列问题:

(1)(F[x],十,X)是否为环?是

(2)(F[x],+,X)是否为有壹环?是

(3)(F[x],+,X)是否为交换环?是

(4)(F[x],+,X)是否为无零因子环? 是

(5)(F[x],+,X)是否为整区?是

(6) F 是否为(F|x],+,X)的子域?是

(7)(F|x],+,X)中的零、壹分别是哪两个多项式?0,1

(8)(F[x],+,X)中任一多项式f(x)的加法逆元是什么?-f(x)

多项式环是整区

余式和商式:

结论1:

对域F上的任意两个多项式f(x)和g(x),g(x)≠0，必定存在多项式q(x)和r(x)，使得 次r(x)<次g(x)，f(x)=q(x)g(x)+r(x),q(x)称为商式，r(x)称为为余式。

注意:此结论适用范围是域上的多项式，如果要扩充到整区(有壹、交换、无零因子环)上的多项式，要将g(x)限定成首系数为1的多项式。(反例如整数环上多项式f(x)=x和g(x)=2)

结论2:

余和商都是确定的

整除:

若对f(x)和g(x)有h(x)，使f(x)=h(x)g(x)则称g(x)整除f(x)，即g(x)f(x)。或说g(x)是f(x)的因式，f(x)是g(x)的倍式。

练习.

在有理域R。上，以下哪些多项式整除关系成立:ABCEF

(A)2|4

(B)4|2

(c)4|0

(D)0|4

(E)4|x

(F)8x|x^2+x

整除性质:

(1)若flg、g|h，则f|h.

(2)若fg，则f|gh。

(3)若f|g、f|h，则f|lg±h。

(4)若f整除g1…,gn，则f|h1,g1,+...+hn gn。

(5)若在一等式中，除某项外，其余各项都是f的倍式，则该项也是f的倍式。

(6)若f|g、g|f，则f与g只差一个非0常数因子,

相通:

两个多项式，如果只差一个非0常数因子，则称它们是相通的。

(7)同一系列的多项式的最高公因式相通

最高公因式:

若d|f,,…,dlf,，则称d是f,,…,f,的公因式。如果d是f.,…,f,的公因式，而且f,…,f,的任意公因式整除d，则称d为f,…,f,的最高公因式。

(1)4和x的公因式为所有非零常数多项式a:它们的最高公因式也为所有非零常数多项式a;

(2)8x和x^2+x的公因式为所有形如a和ax(a≠0)的多项式，它们的最高公因式为所有形如ax(a≠0)的多项式。

真因式：

f|g，f部位常数也不和g相通

质式、不可约多项式：非常元素且没有真因式的多项式

不是,是,是`

定理3 任意多项式f和g必有最高公因式。

定理4 f、g的最高公因式d中可以表为f、g的倍式和，即表为:d=λf+μg ,其中λ、μ都是多项式。

定理5 若p是质式而p|f1..fn,，则p整除f1…,fn,之一。

互质:

若f1,…,fn除了非0常元素外没有公因式，则说f1,…,fn是互质的。

F1,…,fn,互质<-->其最高公因式为非0常元素<-->1为其一个最高公因式

定理6任一非常数多项式恰有一法表为质式的乘积恰有一法”:把相通的质式看作一样，并且不考虑质因式的次序。

定理7 任意非常数多项式f可以唯一地表为下面的形式:f=c*p1^r1*p2^r2…pn^rn,其中P是互不相通的质式，ri是正整数。

结论:

结论1：域f上的多项式环F[x]的理想都是主理想

题目:

1.写出N:

2.写出R2[x]中模m(x)的所有余式

3.写出所有N的剩余类

4.写出剩余环 R2[x]/N

如果拓展成为域F,k为特征，n为次数

结论2:

(m(x))是F[x]的极大理想<---->m(x)是f[x]中的质式

域F上的模m(x)多项式环

对比: