极限
定义
数列极限:n->+∞时
函数极限:x->+∞时 x->x0时
任意epsilon>0,存在某区间(对x0而言是去心邻域),其内函数值/数列值与极限值之差不超过epsilon
几何意义:寻找自己,不可振荡,不可冲天
极限性质
1:存在则唯一
2:
数列:收敛必有界,无界必发散
函数局部(收敛点附近)有界
3:
局部保号性:收敛点附近,函数值与极限值同正负
两个方向:
极限值->函数值/数列值
函数值/数列值->极限值(记得加等号,例如:1/x)
4:
保序性:极限值间大小关系与对应的函数值间大小关系相同
极限值->函数值/数列值
函数值/数列值->极限值(记得加等号,例如:1/x和1/2x)
5:
子列:母列中按顺序抽取无穷项
母列收敛＝>任意子列收敛于同一值
任意子列发散,或二子列收敛于不同值＝>母列发散
6:
寻找一收敛于但不等于函数收敛点的数列,则对应的数列极限f(xn),n->∞与函数极限相同
7:
复合函数极限:直接代,例如幂指函数
运算法则:线性法则,乘除亦可
8:
夹逼准则:xn<= yn <=zn 且 xn与yn极限值皆为a,则yn极限值为a,函数极限同理
数列的单调有界准则:
递增有上界则存在极限,且极限≤上界
递增有下界则存在极限,且极限≥下界
无穷小
定义
函数(数列)极限为0,则称函数(数列)是对应收敛点上的无穷小
函数(数列)"极限"为∞,则称函数(数列)是对应收敛点上的无穷的
性质
有限个无穷小之和/积仍为无穷小
无穷小与有界函数乘积/常量仍为无穷小
无穷间的比较
作比取极限
高阶无穷小a = o(b)
同阶无穷小a = O(b)
等价无穷小/大 a~b
等价无穷小替换
分子分母是若干因子之乘积,则可分别换,是加减则不可分别换
函数的连续性
定义
某点处有定义且函数值等于极限值,则该点处连续
常用判据:左极限 = 右极限 = 对应点函数值
闭区间上的连续:左端点右连续,右端点左连续
间断
可去间断点:左右极限相等,但对应点出了问题(无定义或函数值不等于极限值)
跳跃间断点:左右极限不相等
第二类间断点:左右极限一个或都不存在(无穷/振荡),无穷间断点/振荡间断点
性质
同一连续点的两函数线性运算,乘除后依旧连续
连续函数的性质
最大/小值定理:闭区间连续函数在对应闭区间上必有界必有最大值和最小值,必取得介于最大值与最小值之间的一切值(介值定理推论)
零点定理:闭区间连续函数两端点异号,则开区间必存在零点
介值定理:介于闭区间连续函数函数值相异的两端点间的任意常数,开区间内必存在某点函数值与之相等
导数
函数值增量与自变量增量之比的极限存在
可导一定连续,连续不一定可导(例如尖尖角,例如x开三次根号)
常用判据:先判断连续性,左导数 = 右导数(几何意义两侧切线斜率趋于一致)
微分
可微等价于可导
Δy = AΔx + o(Δx) 某点处函数值增量等于切线斜率乘自变量增量加自变量增量的高阶无穷小
记函数y某点处微分为:dy = AΔx
因为Δx = dx,故dy = Adx
近似
线性近似
f(x) 约等于 f(x0) + A(x-x0)
泰勒公式
微分中值定理
罗尔定理/拉格朗日中值定理
闭区间连续,开区间可导,则开区间内必存在某点导数值与两端点连线斜率相等
柯西中值定理
两函数均闭区间连续,开区间可导,且分母导数不为0,则开区间必存在某点对应两函数导数比值等于两函数在区间上增量之比
求极限
type1
瞪眼法
type2
夹逼准则与单调有界准则
type3
以洛必达法则为核心,适时等价无穷小替换,提出确定项(如1/cosx),消零因子,换元
洛必达法则
0/0 ∞/∞ ; 0*∞或0/∞(取倒数) ; ∞ - ∞(通分) ;
某点处极限存在,两函数在去心邻域内可导,且分母导数不为0
则
若洛后极限存在或为无穷大,则原极限与之相等
若洛后极限不存在,则原极限不确定
