具体请参考：https://web.stanford.edu/~boyd/vmls/

下面的例子来源于这本书。

线性代数基础与应用：基底 (Basis) 与现金流及单期贷款模型

在线性代数中，基底（Basis）是一个重要的概念，广泛应用于信号处理、金融建模和科学计算等领域。本文将通过理论和实际应用相结合的方式，详细介绍基底的定义、性质，以及它在现金流与单期贷款模型中的具体应用。

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一、什么是基底 (Basis)?

1.1 基底的定义

在 $n$ 维空间中，如果一个向量集合 ( { a 1 , a 2 , … , a n } \{a_1, a_2, \dots, a_n\} {a1​,a2​,…,an​}) 满足以下两个条件，则称其为基底：

1. 向量线性无关；
2. 向量数量为 $n$（即与空间的维度相等）。

对于一个 $n$ 维向量 ($b$)，如果 ( { a 1 , a 2 , … , a n } \{a_1, a_2, \dots, a_n\} {a1​,a2​,…,an​}) 是其空间的一组基底，那么 ($b$) 可以唯一地表示为基底的线性组合：
$$b={\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2+\cdots +{\alpha }_n{a}_n,$$
其中 (${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$) 为线性组合的系数。

1.2 基底的性质

1. 唯一性：
   每个向量在给定基底下的表示是唯一的。即，对于任意 n 维向量 ($b$)，对应的系数 ( { α 1 , α 2 , … , α n } \{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\} {α1​,α2​,…,αn​}) 是唯一的。

2. 基底与线性无关性：
   基底中的向量必须是线性无关的。如果存在系数 (${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$) 不全为零，使得：
   $${\beta }_1{a}_1+{\beta }_2{a}_2+\cdots +{\beta }_n{a}_n=0,$$
   则这组向量不是基底。

3. 基底的扩展性：
   给定一个 n 维空间，如果已经有 n-1 个线性无关的向量，那么再添加一个与前 n-1 个向量线性无关的向量，就可以构成一个基底。

1.3 基底的线性组合与展开

当一个向量 ($b$) 用基底表示时，称之为在该基底下的展开（Expansion）：
$$b={\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2+\cdots +{\alpha }_n{a}_n,$$
其中系数 (${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$) 被称为展开系数。

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二、基底的实际应用：现金流与单期贷款模型

在金融学中，现金流模型和贷款建模是核心问题之一。通过线性代数中的基底概念，我们可以对现金流的特性进行数学描述，并通过单期贷款模型实现现金流的线性重构。

2.1 现金流与单期贷款模型的描述

假设一个投资者的现金流可以用一个 n 维向量 ($c=[c_1,c_2,\dots ,c_n]$) 表示，其中：

• ($c_i>0$)：表示第 ($i$) 个时间段的收入；
• ($c_i<0$)：表示第 ($i$) 个时间段的支出；
• ($c_i=0$)：表示第 ($i$) 个时间段没有现金流动。

对于一个现金流模型，单期贷款的现金流向量定义如下：关于这部分，可以移步文末的附录
$$l_i=\left[\begin{array}{c}{0}_{i-1}\\ 1\\ -(1+r)\\ 0_{n-i-1}\end{array}\right],i=1,\dots ,n-1,$$
其中：

• ($r\ge 0$) 是每期的利率；
• ($l_i$) 表示在第 ($i$) 期借款 1 单位，并在第 ($i+1$) 期偿还（包括利息）。

此外，第一个基底向量 ($e_1$) 表示在第 1 期收到 1 单位收入：
$$e_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right].$$

基底： 在现金流建模中，向量 ( { e 1 , l 1 , l 2 , … , l n − 1 } \{e_1, l_1, l_2, \dots, l_{n-1}\} {e1​,l1​,l2​,…,ln−1​}) 组成一个基底，能够表示任意一个 n 维现金流向量 ($c$)。

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2.2 单期贷款基底的线性无关性证明

为了验证 ( { e 1 , l 1 , … , l n − 1 } \{e_1, l_1, \dots, l_{n-1}\} {e1​,l1​,…,ln−1​}) 是一个基底，需要证明它们是线性无关的。

假设存在系数 (${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$)，使得：
$${\beta }_1{e}_1+{\beta }_2{l}_1+\cdots +{\beta }_n{l}_{n-1}=0。$$
展开后可以写为：
$$\left[\begin{array}{c}{\beta }_1+{\beta }_2\\ {\beta }_3-(1+r){\beta }_2\\ ⋮\\ {\beta }_n-(1+r){\beta }_{n-1}\\ -(1+r){\beta }_n\end{array}\right]=0。$$
由最后一行 ($-(1+r){\beta }_n=0$) 可得 (${\beta }_n=0$)（因 ($1+r>0$)）。递归推导可得：
$${\beta }_{n-1}={\beta }_{n-2}=\cdots ={\beta }_2=0。$$
最后，由 (${\beta }_1+{\beta }_2=0$) 可知 (${\beta }_1=0$)。因此，( { e 1 , l 1 , … , l n − 1 } \{e_1, l_1, \dots, l_{n-1}\} {e1​,l1​,…,ln−1​}) 是线性无关的，构成一个基底。

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2.3 现金流的线性重构与净现值 (NPV)

对于任意一个现金流向量 ($c=[c_1,c_2,\dots ,c_n]$)，可以用单期贷款基底表示为：
$$c={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{l}_1+\cdots +{\alpha }_n{l}_{n-1}，$$
其中最重要的系数 (${\alpha }_1$) 对应于现金流的净现值（NPV, Net Present Value）：
$${\alpha }_1=c_1+\frac{c_2}{1+r}+\frac{c_3}{(1+r{)}^2}+\cdots +\frac{c_n}{(1+r{)}^{n-1}}。$$

净现值的解释：

• 经济意义： (${\alpha }_1$) 表示在第 1 期一次性收到的等效现金，等价于未来所有现金流的现值之和。
• 实际应用： 投资者可以用 NPV 指标评估一个投资项目的价值。如果 (${\alpha }_1>0$)，说明项目能够盈利；若 (${\alpha }_1<0$)，则项目不可取。

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2.4 应用实例

假设某项目的现金流为 ($c=[100,-110,0]$)，利率 ($r=10\%(0.1)$)。将 ($c$) 表示为基底的线性组合：

1. 计算净现值：
   $${\alpha }_1=100+\frac{-110}{1.1}=100-100=0。$$

2. 表示为基底：
   $$c={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{l}_1+{\alpha }_3{l}_2。$$
   通过计算得到 (${\alpha }_1=0$)，(${\alpha }_2=100$)，(${\alpha }_3=0$)，即：
   $$c=0\cdot e_1+100\cdot l_1+0\cdot l_2。$$

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三、总结

基底在金融领域的应用非常广泛，其核心是通过线性代数工具将复杂的现金流问题转化为简单的线性组合问题。本文通过单期贷款模型，展示了基底在现金流建模和净现值计算中的重要性。掌握这些概念，能够帮助投资者更好地理解现金流的本质，并制定更科学的投资决策。

英文版

Linear Algebra Fundamentals and Applications: Basis and Cash Flow in Single-Period Loan Models

In linear algebra, the concept of a basis is crucial and has widespread applications in signal processing, financial modeling, and scientific computation. This article integrates theory with practical applications to provide a detailed explanation of the definition and properties of a basis and its specific use in cash flow and single-period loan models.

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I. What Is a Basis?

1.1 Definition of Basis

In an $n$-dimensional space, a set of vectors { a 1 , a 2 , … , a n } \{a_1, a_2, \dots, a_n\} {a1​,a2​,…,an​} is called a basis if it satisfies the following two conditions:

1. The vectors are linearly independent.
2. The number of vectors equals the dimension of the space, $n$.

For any $n$-dimensional vector $b$, if { a 1 , a 2 , … , a n } \{a_1, a_2, \dots, a_n\} {a1​,a2​,…,an​} is a basis for the space, then $b$ can be uniquely expressed as a linear combination of the basis:
$$b={\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2+\cdots +{\alpha }_n{a}_n,$$
where ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ are the coefficients of the linear combination.

1.2 Properties of Basis

1. Uniqueness:
   Every vector in the space has a unique representation in terms of the basis. That is, for any vector $b$, the corresponding coefficients { α 1 , α 2 , … , α n } \{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\} {α1​,α2​,…,αn​} are unique.

2. Linear Independence:
   The vectors in a basis must be linearly independent. If there exist coefficients ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$, not all zero, such that:
   $${\beta }_1{a}_1+{\beta }_2{a}_2+\cdots +{\beta }_n{a}_n=0,$$
   then the set { a 1 , a 2 , … , a n } \{a_1, a_2, \dots, a_n\} {a1​,a2​,…,an​} is not a basis.

3. Extendibility:
   In an $n$-dimensional space, if $n-1$ linearly independent vectors are given, adding one more vector that is linearly independent of the others will form a basis.

1.3 Linear Combination and Expansion

When a vector $b$ is represented using a basis, it is called the expansion of $b$ in that basis:
$$b={\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2+\cdots +{\alpha }_n{a}_n,$$
where the coefficients ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ are called the expansion coefficients.

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II. Application of Basis: Cash Flow and Single-Period Loan Models

In finance, cash flow modeling and loan modeling are core problems. Using the concept of basis in linear algebra, we can mathematically describe the characteristics of cash flows and reconstruct them linearly using single-period loan models.

2.1 Cash Flow and Single-Period Loan Model

Suppose the cash flow of an investor is represented by an $n$-dimensional vector $c=[c_1,c_2,\dots ,c_n]$, where:

• $c_i>0$: indicates income during the $i$-th time period.
• $c_i<0$: indicates expenditure during the $i$-th time period.
• $c_i=0$: indicates no cash flow during the $i$-th time period.

In a cash flow model, the cash flow vector of a single-period loan is defined as:
$$l_i=\left[\begin{array}{c}{0}_{i-1}\\ 1\\ -(1+r)\\ 0_{n-i-1}\end{array}\right],i=1,\dots ,n-1,$$
where:

• $r\ge 0$ is the interest rate per period;
• $l_i$ represents borrowing 1 unit of cash in the $i$-th period and repaying it (including interest) in the $(i+1)$-th period.

Additionally, the first basis vector $e_1$ represents receiving 1 unit of income in the first period:
$$e_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right].$$

Basis: In cash flow modeling, the set of vectors { e 1 , l 1 , l 2 , … , l n − 1 } \{e_1, l_1, l_2, \dots, l_{n-1}\} {e1​,l1​,l2​,…,ln−1​} forms a basis that can represent any $n$-dimensional cash flow vector $c$.

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2.2 Linear Independence of the Single-Period Loan Basis

To verify that { e 1 , l 1 , … , l n − 1 } \{e_1, l_1, \dots, l_{n-1}\} {e1​,l1​,…,ln−1​} forms a basis, we need to prove that these vectors are linearly independent.

Suppose there exist coefficients ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ such that:
$${\beta }_1{e}_1+{\beta }_2{l}_1+\cdots +{\beta }_n{l}_{n-1}=0.$$
Expanding this expression gives:
$$\left[\begin{array}{c}{\beta }_1+{\beta }_2\\ {\beta }_3-(1+r){\beta }_2\\ ⋮\\ {\beta }_n-(1+r){\beta }_{n-1}\\ -(1+r){\beta }_n\end{array}\right]=0.$$
From the last row $-(1+r){\beta }_n=0$, we deduce ${\beta }_n=0$ (since $1+r>0$). By recursive substitution, we obtain:
$${\beta }_{n-1}={\beta }_{n-2}=\cdots ={\beta }_2=0.$$
Finally, from ${\beta }_1+{\beta }_2=0$, we find ${\beta }_1=0$. Therefore, { e 1 , l 1 , … , l n − 1 } \{e_1, l_1, \dots, l_{n-1}\} {e1​,l1​,…,ln−1​} is linearly independent and forms a basis.

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2.3 Linear Reconstruction of Cash Flow and Net Present Value (NPV)

For any cash flow vector $c=[c_1,c_2,\dots ,c_n]$, it can be expressed as a linear combination of the single-period loan basis:
$$c={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{l}_1+\cdots +{\alpha }_n{l}_{n-1},$$
where the most important coefficient ${\alpha }_1$ corresponds to the Net Present Value (NPV) of the cash flow:
$${\alpha }_1=c_1+\frac{c_2}{1+r}+\frac{c_3}{(1+r{)}^2}+\cdots +\frac{c_n}{(1+r{)}^{n-1}}.$$

Interpretation of Net Present Value:

• Economic Meaning: ${\alpha }_1$ represents the equivalent cash received in the first period, equivalent to the sum of the present values of all future cash flows.
• Practical Application: Investors use the NPV indicator to evaluate the value of an investment project. If ${\alpha }_1>0$, the project is profitable; if ${\alpha }_1<0$, the project is not viable.

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2.4 Application Example

Suppose a project’s cash flow is $c=[100,-110,0]$, and the interest rate is $r=10\%(0.1)$. Represent $c$ as a linear combination of the basis:

1. Compute NPV:
   $${\alpha }_1=100+\frac{-110}{1.1}=100-100=0.$$

2. Represent with the basis:
   $$c={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{l}_1+{\alpha }_3{l}_2.$$
   From calculations, we find ${\alpha }_1=0$, ${\alpha }_2=100$, and ${\alpha }_3=0$. Thus:
   $$c=0\cdot e_1+100\cdot l_1+0\cdot l_2.$$

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III. Conclusion

The concept of basis is widely applicable in finance. Its essence lies in using linear algebra tools to transform complex cash flow problems into simple linear combination problems. Through the single-period loan model, we demonstrated the importance of basis in cash flow modeling and NPV calculations. Mastering these concepts can help investors better understand the nature of cash flows and make more informed investment decisions.

附录

解释一下这个单期贷款的现金流向量定义怎么来的，为什么它是4维 vector，它和e1的维度不匹配啊

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单期贷款现金流向量 ( $l_i$ ) 的定义

单期贷款的现金流向量 ( $l_i$ ) 定义为：

$$l_i=\left[\begin{array}{c}{0}_{i-1}\\ 1\\ -(1+r)\\ 0_{n-i-1}\end{array}\right],i=1,2,\dots ,n-1$$

其中：

1. ( $r\ge 0$ ) 是每期的利率。
2. ( $0_k$ ) 表示一个长度为 ( $k$ ) 的零向量，维度为 ( $k$ )。
3. ( $l_i$ ) 是一个 ( $n$ )-维向量，表示在第 ( $i$ ) 期借款 1 单位，在第 ( $i+1$ ) 期偿还（本金和利息）。

现金流解释

• 借款：在第 ( $i$ ) 期借入 1 单位资金，因此在 ( $i$ ) 期现金流中体现为 +1。
• 偿还：在第 ( $i+1$ ) 期需要偿还本金和利息，共 ( $-(1+r)$ )，因此现金流在 ( $i+1$ ) 期体现为 -(1+r)。
• 其他时间点：由于贷款只涉及第 ( $i$ ) 和 ( $i+1$ ) 两个时间点，其余时间点现金流均为 0。

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向量 ( $l_i$ ) 是 ( $n$ )-维的证明

向量 ( $l_i$ ) 是 ( $n$ )-维的，这是因为整个现金流模型中，我们假设有 ( $n$ ) 个时间周期，因此每个现金流向量（包括 ( $e_1$ ) 和 ( $l_i$ )）的长度都是 ( $n$ )，表示整个时间范围内的现金流分布。

例如：

• 当 ( $n=4$ ) 时（4个时间周期）：
  • ( $l_1=[1,-(1+r),0,0{]}^T$ )
  • ( $l_2=[0,1,-(1+r),0{]}^T$ )
  • ( $l_3=[0,0,1,-(1+r){]}^T$ )

可以看到，每个 ( $l_i$ ) 的长度是 4，与 ( $e_1$ ) 的长度一致。

• 向量 ( $e_1$ ) 的定义：
  $$e_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
  ( $e_1$ ) 的维度同样是 ( $n$ )，表示在第 1 期收到 1 单位的收入，其他时间点无收入。

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为什么 ( $l_i$ ) 的定义是这样？

这个定义基于单期贷款的特点：

1. 借款发生在某一个具体的时间点（第 ( $i$ ) 期），即 ( $+1$ )。
2. 偿还则发生在下一个具体时间点（第 ( $i+1$ ) 期），包含本金和利息，因此现金流为 ( $-(1+r)$ )。
3. 其他时间点与贷款无关，因此现金流为 ( $0$ )。

通过这种定义，可以精确表示贷款在整个 ( $n$ ) 个时间周期中的流动情况，并在数学上为建模提供便利。

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关于基底的问题：为什么 ( $e_1,l_1,\dots ,l_{n-1}$ ) 是一个基底？

基底的定义是：一组向量是基底，当且仅当它们是线性独立的，且可以张成整个向量空间。

• 线性独立性：
  假设存在系数 ( ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ )，使得：
  $${\beta }_1{e}_1+{\beta }_2{l}_1+\cdots +{\beta }_n{l}_{n-1}=0$$
  通过数学推导可以证明（见前文），所有系数 ( ${\beta }_i=0$ )，因此它们是线性独立的。

• 张成整个空间：
  任意一个 ( $n$ )-维现金流向量 ( $c$ ) 都可以表示为 ( $e_1,l_1,\dots ,l_{n-1}$ ) 的线性组合：
  $$c={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{l}_1+\cdots +{\alpha }_n{l}_{n-1}.$$
  这说明它们可以张成整个 ( $n$ )-维向量空间。

因此，( $e_1,l_1,\dots ,l_{n-1}$ ) 构成了一个 ( $n$ )-维向量空间的基底。

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总结

1. 单期贷款现金流向量 ( $l_i$ ) 的定义基于贷款的本质：某期借款，次期偿还（包括利息）。它的形式非常直观地描述了这种现金流模式。
2. 向量 ( $l_i$ ) 的维度和 ( $e_1$ ) 一样，都是 ( $n$ )-维的，表示整个时间周期内的现金流分布情况。
3. 向量 ( $e_1,l_1,\dots ,l_{n-1}$ ) 构成一个基底，可以唯一表示任意一个 ( $n$ )-维现金流向量。

后记

2024年12月19日19点17分于上海，在GPT4o的辅助下完成。