【常微分方程讲义1.1】方程的种类发展与完备

方程在数学历史中不断发展，逐步趋于完备。从最初的简单代数方程到包含函数、算子甚至泛函的更复杂方程，数学家通过不断的扩展和深化，逐渐建立起更为丰富和多元的方程类型体系。方程的种类之所以不断演变，部分是因为解决实际问题的需要，部分是为了应对更复杂的数学结构和现象。

初学者常常对于微分方程的归属充满疑惑，像是“腾空出世”，莫名其妙将导数加入了方程体系中。本文将作为方程发展历程的介绍，以便学生可以理清微分方程在数学体系中的位置。

1. 起源：代数方程

最早的方程类型是代数方程，它是数学的基础。在古代，代数方程通常涉及到未知数的求解，通过代数运算（如加、减、乘、除和求幂）来得到解。这类方程为数值计算奠定了基础，代数方程的解决方法经过长期的发展，逐步形成了解决方程的一整套理论体系，包括方程的解法、解的存在性和唯一性等问题。

代数方程定义

代数方程（代数方程组）：代数方程指的是含有代数运算（加、减、乘、除、幂）的等式。例如，一元n次代数方程，它描述了一个未知数x和已知数之间的代数关系。

随着对方程的理解深入，数学家开始探索代数方程的不同解法，如代数方程组的解法和根的理论。代数方程的解法演变为利用代数结构（如群、环、域等）解决更复杂的方程。

2. 新挑战：超越方程出现

随着科学和技术的进步，人们逐渐意识到自然界中的一些现象无法通过简单的代数方程来描述。这些复杂的现象通常涉及指数增长、周期波动或对数变化等特性，因此需要使用包含超越函数(指数函数、对数函数、三角函数）的方程来建模。这些方程的解通常无法通过代数运算得到。

一个经典的超越方程的应用来自天文学。根据开普勒定律，行星的运动与其轨道和速度之间的关系可以通过包含三角函数和指数函数的方程来描述。例如，描述行星在太阳引力作用下的运动轨迹时，我们会得到类似如下的超越方程：

$r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e \cos(\theta)}$ ，

其中，r 是行星到太阳的距离，a 是轨道的半长轴，e 是轨道的偏心率，θ 是行星的角度。这种方程涉及三角函数和指数函数，不能用代数方法直接求解。

为什么不能通过代数方法解超越方程？

1.超越函数的复杂性

直观上，超越函数（如 $e^x, \sin(x), \ln(x)$ ）并不像代数函数那样可以通过简单的运算来表示。例如，指数函数 $e^x$ 会随着 x 的增大而快速增长，而三角函数 $\sin(x)$ 则是一个波动的函数，总是随着 x 变化而不断变化。这些函数的变化方式非常复杂，不能像代数函数那样用加法、乘法等简单方法来处理。

举个例子，方程 $e^x = 2$ 里， $e^x$ 的解并不能用简单的加减乘除方法表示出来。为了求解这个方程，我们需要用对数函数，但这个对数解并不是一个简单的代数数，而是一个超越数，请看下文如何解释超越数。

2.解是超越数

有些超越方程的解是“超越数”，这些数不能通过任何代数方程（有理系数的多项式方程）来表示。比如 $\pi$ 和 e 就是超越数，因为它们不是像普通有理数那样通过代数运算得到，而是使用极限运算获得的。这也意味着超越方程的解通常不是简单的数字，而是无法通过代数计算得到的复杂数值。

超越数一定是无理数吗？

所有的超越数都是无理数，但并非所有的无理数都是超越数。这个关系可以这样理解：

超越数：它是既不有理数也不是代数数的数。例如，π 和 e 是超越数，因为它们无法满足任何有理数系数的多项式方程。
无理数：是指不能表示为有理数之比的数。无理数分为两类：
代数无理数：它是无理数，但可以是某个代数方程的解。例如， $\sqrt{2}$ 是代数无理数，因为它是方程 $x^2 - 2 = 0$ 的解。
超越数：它是无理数，并且不满足任何代数方程。

所以，超越数是无理数的一种特殊类型，所有超越数都是无理数，但并不是所有无理数都是超越数。换句话说，超越数是无理数，但无理数可能是代数无理数，也可能是超越数。

3.无法使用代数公式

代数方程通常可以通过一些固定的公式来求解（比如二次方程的求根公式），而超越方程没有类似的简便公式。例如，方程 $\sin(x) = 0$ 的解是 $\pi, 2\pi, \dots$ ，但我们无法通过简单的代数步骤来列出所有解，因为它们是无穷的。

对于更复杂的超越方程，如 $e^x + \sin(x) = 0$ ，即使我们知道解存在，也无法像解代数方程那样通过几步简单的代数运算得到解。

我们必须依赖数值方法，通过计算机或其他方法来近似找到解，这就是为什么Matlab等一众数值分析软件风靡的原因。

超越方程的出现，标志着方程解法的扩展，进入了更复杂的数学分析领域，数学家开始研究如何在这些方程中寻找解的存在性与性质。

3. 深化：函数方程

随着科学的发展，微积分和数学分析的函数发明，人们发现许多问题无法用一个固定的数字来描述，而是需要一个规律或模式，函数就是描述这种规律的模式。为了描述这些规律，数学引入了函数方程。

函数方程之所以必要，是因为现实中的很多问题并不是单一的数值结果能够回答的，而是需要探索整体规律。例如：

例子 1：递归增长

$f(x+1) = 2f(x), \quad f(0) = 1$

这个方程要求找到一个函数 f(x)f(x)f(x)，它描述了一种倍增的规律。解法为 $f(x) = 2^x$ ，这是一种通用模式，能够描述：

细菌的繁殖：每隔一个时间单位，数量翻倍；
复利增长：本金和利息以指数形式增加。

在这个例子中，如果仅仅关注一个时刻的数值（如 $x = 3$ 时的 $f(x) = 8$ ），我们无法捕捉倍增的全局规律。因此，研究函数方程的意义在于找出一种全局的映射规则。

例子 2：周期性现象

函数方程还可以描述周期性现象。例如：

$f(f(x)) = \sin(x)$ .

这里，函数 $f(x)$ 可能有多个形式满足方程。例如，某些周期性信号的变化规律，可以通过复合函数方程来研究。如果仅把 x 作为自变量而不研究 f(x) 的性质，我们无法理解这些周期现象背后的本质。
同时，在这个方程中，函数 f(x) 同时作为未知量和自变量，描述的是函数自身的复合关系。这种结构在数学理论和工程问题中非常重要，例如加密算法和函数迭代分析。

3. 泛函方程：函数关系的进一步扩展

从单个函数到函数族

函数方程的研究可以进一步扩展到更高阶的问题：泛函方程。在泛函方程中，我们的目标不再是找到一个特定的函数，而是寻找一个函数集合，使其满足某些条件。

什么是泛函方程？

泛函方程研究的是“函数的函数”，即函数如何在更大的函数空间中交互。例如：

$\mathcal{T}[f](x) = g(x)$

这里， $\mathcal{T}$ 是一个“算子”，它作用在函数 f(x) 上，得到另一个函数 g(x)。解泛函方程的目标是找到一组函数 f(x)，使它们满足这个算子关系。

更进一步，泛函方程作为函数方程的扩展，考虑了在更广泛的函数空间内寻求解的可能。泛函方程的解不仅仅是某个具体的函数，而是某种满足约束条件的函数族。泛函方程广泛应用于物理学、经济学等领域中，例如描述量子力学中某些算子与状态之间关系的方程。

泛函方程：方程 $Ff = g(x)$ ，其中 $F$ 是一个作用于函数 $f$ 的算子， $g(x)$ 是已知的函数。这里，解是一个函数族，它们在某些条件下满足这个方程。

4. 动态性更强的泛函方程：微分方程

随着科学研究的深入，特别是物理学和天文学的发展，人们发现许多自然现象可以通过微分方程来描述。微分方程涉及到未知函数及其导数，广泛应用于描述物体运动、热传导、电磁场等物理现象。

微分方程的发明：微分方程的理论源于牛顿和莱布尼茨等人对物理现象变化规律的研究。例如，牛顿通过第二定律引入了加速度的概念：这个方程描述了物体在受力情况下如何随时间变化。

为什么牛顿第二定律需要引入微分方程？

虽然在初高中我们知道，牛顿的第二定律通常写成 $F = ma$ ，这意味着物体所受的力（F）等于物体的质量（m）乘以它的加速度（a）。这是一个简单、直接的公式，用来描述力和加速度之间的关系。然而，这个公式本身并不能完全告诉我们物体是如何随着时间变化而运动的，特别是当我们想要预测物体未来的运动时。为了解决这个问题，我们引入了微分方程，它可以帮助我们描述物体的运动过程，特别是在复杂的情况中。下面是一些原因，解释为什么我们需要微分方程。

复习：加速度是位置的变化率

牛顿第二定律中提到的加速度 a 是物体的位置随时间变化的速率变化。也就是说，加速度是物体位置的“变化速度”，而位置本身是随时间变化的。为了准确描述物体的运动，我们需要通过加速度的表达式来描述位置的变化。

在数学推导上，加速度 a 实际上是位置 $x(t)$ 对时间 $t$ 的二阶导数（也就是说，位置变化率的变化）。简单来说，位置是随时间变化的，速度是位置变化的速率，而加速度是速度变化的速率。

$F = m \frac{d^2x}{dt^2}$

这里 $\frac{d^2x}{dt^2}$ 是位置 x 关于时间的二阶导数，也就是加速度。所以，牛顿第二定律本身已经是一个描述物体运动的微分方程。

但是为什么一定需要呢？

微分方程描述动态变化

微分方程的一个重要作用是描述物体如何随着时间变化。假设我们知道了作用在物体上的力 F，微分方程可以告诉我们物体在任何时刻的位置和速度。F = ma 是一个即时的关系，它告诉我们物体在某一时刻的加速度（即瞬时变化速率），但是要知道物体在未来某个时刻的位置和速度，我们就需要微分方程的帮助。

例如，如果力是一个随时间变化的函数（比如空气阻力随物体的速度变化），我们就无法直接通过 F=ma 得到物体未来的运动状态，这时我们必须使用微分方程来解决问题。

3. 力可能依赖于位置或速度

在许多实际的物理问题中，物体所受的力不仅与时间有关，还与物体的位置或速度有关。例如，空气阻力是与物体的速度成正比的，摩擦力也是与物体的速度相关的。在这种情况下，我们不能简单地使用 F=ma 来表示力，因为力的大小不是一个常数，而是一个变化的量。我们需要微分方程来表示力和运动之间的关系。

例如，如果一个物体在空气中运动，力 F 可能不仅仅是一个常数，它可能与物体的速度 $v = \frac{dx}{dt}$ 有关。此时，牛顿第二定律变成：

$\frac{d^2x}{dt^2} = - \gamma \frac{dx}{dt} + F_{\text{external}}(x,t)$

这里 $\gamma$ 是阻力系数， $F_{\text{external}}(x,t)$ 是外部作用力。通过微分方程，我们可以准确描述这些力如何影响物体的运动。

4. 预测物体的未来位置和速度

通过求解微分方程，我们不仅能知道物体的当前状态，还能预测它未来的运动。比如，给定初始条件（物体的初始位置和初始速度）和已知的力，我们可以通过解微分方程计算出物体在未来任何时刻的位置和速度。

这种能力在很多实际应用中非常重要，例如预测天体的运动、计算飞机的飞行轨迹、分析弹簧的振动等等。所有这些问题都需要用到微分方程来进行描述和求解。

5. 微分方程精确描述连续变化

通过3、4两点说明，我们可以知道微分方程的优势在于它能够描述连续的变化过程。简单的公式如 F=ma 很难表达连续变化的过程，而微分方程可以帮助我们详细地描述物体如何随时间逐渐改变它的位置和速度。例如，假设我们知道物体在某一时刻的位置和速度，微分方程能够告诉我们物体在未来时刻的状态，甚至能够描述在不同时间间隔内物体的运动细节，或者是可以“预知”“确定”物体整个时间轴上的运动状态。

5. 扩展：方程种类的完备性与高阶结构

随着数学的不断发展，方程的种类逐渐趋于完备，数学家逐步扩展了方程的形式与应用领域。从最初的代数方程，到包含函数、算子、甚至泛函的方程类型，方程体系已经变得极其丰富。

根据未知量的类型：方程的种类按照未知量的不同可以分为数值方程（代数方程、超越方程）、函数方程（常微分方程、偏微分方程、泛函方程）以及算子方程（例如谱理论中的算子方程）。
根据方程的形式：方程还可以根据是否包含非线性关系进行分类，如线性方程和非线性方程；又如有限维方程和无限维方程，代数方程通常是有限维的，而泛函方程通常是无限维的。
根据应用领域：方程的应用领域非常广泛。代数方程多用于数论、代数几何等领域；微分方程用于物理、力学等动态变化的描述；偏微分方程用于描述空间中的多变量变化现象，如热传导、流体力学等。

通过这些分类，数学家能够清晰地识别出不同类型的方程，并为其提供相应的解法和理论支持。

总结

方程的种类从代数方程起步，随着科学、技术与数学理论的不断发展，逐渐扩展到超越方程、函数方程、泛函方程以及微分方程等多个领域。每一个新的方程类型的出现，都意味着数学家们在寻找解的过程中拓展了思路，逐步完善了方程体系。如今，通过对方程种类的完备性总结，我们不仅能够理解方程在数学中的地位，还能更好地将其应用于不同领域，解决复杂的现实问题。