考研数学【线性代数基础box（数二）】

本文是对数学二线性代数基础进行总结，一些及极其简单的被省略了，代数的概念稀碎，不如高数关联性高，所以本文仅供参考，做题请从中筛选！

本文为初稿，后面会根据刷题和自己的理解继续更新

第一章：行列式：

基本概念：

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求n阶行列式: $\sum _{j_{1}j_{2}...j_{n}} (-1)^{r(j_{1}j_{2}...j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{n j_{n}}$
余子式： $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 是除去i行、j列的其余项组成的行列式
代数余子式： $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
按某行展开： $|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$ ,元素乘其代数余子式，然后相加

记：

行列互换值不变
若某行元素全为0，行列式为0
k*行列式=对行列式的一行都乘k倍
某行元素是两个数之和，可以拆成两个行列式之和
行列式两行互换，行列式变号
行列式中某行的k倍加到另一行，行列式不变

重要行列式：

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主对角线行列式：无论上下都是主对角线的乘积（这个概念对于分块矩阵也成立，称为拉普拉斯展开式）
副对角线行列式 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}*$ 副对角线元素的乘积（分块阵： $(-1)^{mn}|A||B|$ ,AB为副对角线行列式乘积，m、n分别为A、B的阶数）
范德蒙德行列式：形如的行列式，其值为：

行列式计算：

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爪型行列式：利用斜爪消去竖爪或者横爪。然后展开
递推法：找规律，适用与宽对角类型的行列式行列式递推法1_哔哩哔哩_bilibili
抽象型行列式：性质、|AB|=|A||B|、将行列式拆分成两个行列式的乘积
余子式和代数余子式的线性组合：行列式按行（或按列）展开的“逆过程”。如：给|A|，和代数余子式的线性组合，把线性组合的系数换掉其按行展开的行，求出行列式就是代数余子式的和
求解n元非齐次方程组：克拉默法则：非齐次线性方程组的行列式（行列式不带等号右边的常数项），若不等于0，则方程组存在唯一解且解为 $x_{i}\frac{D_{i}}{D},i=1,2,3,...,n$ ， $D_{i}$ 是常数项（等号右边的值 $b_{i}$ ）替换第i列得到的行列式。

第二章：矩阵：

矩阵基本运算：

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不满足交换律 $AB\neq BA$
加法：每项相加；数乘：每项都乘
转置矩阵的性质： $(A^{T})^{T}=A,,,(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T},,,(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ $|kA|=k^{n}|A|,,,|A+B|\neq |A|+|B|,,,|AB|=|A||B|,,,|A^{T}|=|A|$ 相当重要

特殊矩阵：

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数量矩阵：k倍的单位矩阵
对称矩阵：满足条件 $A^{T}=A$ 的矩阵称为对称矩阵
反对称矩阵：满足条件 $A^{T}=-A$ ，对角线为0， $a_{ij}=-a_{ji}$
分块矩阵：比较特殊的就是分块矩阵的n次幂 $\begin{bmatrix} A & O\\ O & B \end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} A^{n} & O\\ O & B^{n} \end{bmatrix}$ 、求逆： $\begin{bmatrix} A & O\\ O & B \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} & O\\ O & B^{-1} \end{bmatrix}$ 、 $\begin{bmatrix} O & A\\ B & O \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} O & B^{-1}\\ A^{-1} & O \end{bmatrix}$
正交矩阵： $A^{T}A=E<=>A^{T}=A^{-1}<=>$ A的行（列）向量是规范正交基（正交的长度为单位1的向量）。

矩阵的逆

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本质：定义：AB=BA=E，则B为A的逆
可逆的充要条件是： $|A|\neq 0$
$(A^{-1})^{-1}=A$ ，可以把-1理解成负一次方： $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$ ，或者就是，把A做的变换反向变回去
重要性质： $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 、 $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$ 、 $|A^{-1}|=|A|^{-1}=\frac{1}{|A|}$
求逆矩阵：定义法（AB=BA=E， $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ）、用伴随矩阵、初等变换求逆矩阵

伴随矩阵

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本质:定义:由A的代数余子式构成的矩阵
$AA^{*}=A^{*}A=|A|E$ 、 $|A^{*}|=|A|^{n-1}$ 、 $|A^{T}|^{*}=(A^{*})^{T}$ 、 $(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$ $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ 、 $(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A$
求逆矩阵的公式： $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$
求伴随矩阵：定义法、用逆矩阵求伴随

初等矩阵：

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本质：对另一个矩阵进行初等变换，初等变换包括：数乘、互换、倍加
初等矩阵都可逆，逆矩阵也为初等矩阵（后面可以看一下初等变换逆前后对另一个矩阵的影响的变化）
可逆矩阵可表示为有限个初等矩阵的乘积。
对A作初等行变换，相当于左乘初等矩阵，列则是右。
初等变换求逆矩阵 $[A\vdots E]\rightarrow [E\vdots A^{-1}]$

矩阵方程：

$AX=B,X=A^{-1}B$ ,类似可自行推理

等价矩阵和等价标准型：

$PAQ=B$ ，P、Q为初等矩阵，也就是说，A通过初等变换可以变成B，则A和B等价。将其化为 $\begin{bmatrix} E_{r} & O\\ O& O \end{bmatrix}$ ,r为矩阵的秩。这个矩阵为等价标准型。
求可逆矩阵P：1、单个，把A化到B的过程每次行变换的矩阵相乘即可。2、求所有的可逆矩阵P：第四讲方程组求解再来看？？？？

矩阵的秩：

本质：定义：存在k阶子式子不为0，任意k+1阶子式全为0，矩阵的秩r(A)=k。
k是A的线性无关向量的个数；k个线性无关的向量，任意k+1个向量线性相关。
如何理解线性相关和线性无关：线性无关的向量撑起“整个空间”，线性相关的则是由这些线性无关向量表示，“躺平”在这个空间里。
重要式子： $0<r(A)<min{m,n}$ 、 $r(kA)=r(A)$ 、 $r(AB)\leq min ( r(A),r(B))$ 、 $r(A+B)\leq r(A)+r(B)$ 、 $r(A^{*})==\left\{\begin{matrix} n,&r(A)=n \\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)=n-1 \end{matrix}\right.$ 、 $r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$ 、 $A_{m*n}B_{n*s}=r(A)+r(B)\leq n$ 、 $r(A)=r(A^{T})=r(A^{T}A)=r(AA^{T})$

第三章：向量组：

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正交向量： $\alpha ^{T}\beta =0$ ,本质是垂直向量
向量的模： $||\alpha ||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}$ ,二维向量为例好记
标准正交基：本质就是相互垂直的单位向量组
线性无关：向量组中的每个向量都是“基础”的，它们独立存在，没有多余的部分
线性相关：向量组中有一些向量是“多余的”，可以由其他向量通过线性组合得到（存在不全为0的数，使 $k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+...+k_{n} \alpha_{n}=0$ 成立，其中k为0的就是多余的向量）

线性相关、线性无关

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判定线性相关的定理：

线性相关<=>向量组中，至少有一个向量可由其余的向量线性表示。（本质是存在非0的k），逆否命题：线性无关<=>向量中任何向量都不能由其余向量表示（本质不存在非0的k）
向量组a线性无关，a加一个向量 $\beta$ 后线性相关，则 $\beta$ 可由向量组a线性表示且唯一。（本质是引入了冗余向量）
大向量组b可由小a线性表示（大小体现在列），则向量组b线性相关。（本质：b 中所有向量实际上都“依赖”于 a）
m（m列）个n（行）维向量组线性相关<=>其所构成的齐次线性方程组=0，有非零解<=>构成的矩阵的秩<m（列数）（本质：把方程列出来化简之后就是线性相关的定义，若有非零解就是k不全为0；m-秩=自由度，存在自由度，使方程=0）等价就是：线性无关充要条件是齐次方程组只有零解
$\beta$ 可由向量组a表示<=>非齐次线性方程组= $\beta$ 有解<=>r([a, $\beta$ ])=r([a]) （本质： $\beta$ 在a的空间内，可由a表示）
如果向量组a一部分线性相关，则整个向量组线性相关，（小部分就能概括整个空间，则其余的都是多余向量）逆否命题：如果a向量无关，则任何一部分向量组都线性无关。
如果n维向量组a线性无关，则向量组添加m个分量得到的向量组(m+n)维也是线性无关。（添加的分量，是独立的信息，没有引入与原来a线性相关的冗余）逆否命题：a线性相关，去掉若干分类后也是线性相关。
总结：判断能不能线性表示，就看添加后是否多一维（秩），如果向量为撑起空间的向量，则不能被线性表示，如果向量不是撑起空间的向量，则可以被线性表示

记：

自由度：就是对秩展成的空间的约束

极大线性无关组

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本质：向量组中撑起空间的那几个向量的集合
求极大线性无关组用进行初等行变换，找出和矩阵秩相同的子矩阵就是（不唯一）
也就是说，求极大线性无关组可以作为空间的基向量，表示其他向量。那怎么表示其他向量呢：用矩阵乘法，基向量*倍数矩阵。

等价向量组：

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本质：两个向量组可以相互线性表示（同一个空间中的同一个子空间，只是使用的基向量不同），记为 $A\cong B$
等价向量组有传递性、对称性
若 $A\cong B$ <=>r(a)=r(B)=r(A,B)（三秩相同）

向量组的秩：

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三秩相等：r(A)=A的行秩=A的列秩
等价向量组=>秩相等
对A进行初等行变换后变为B，A、B的行向量是等价向量组
向量组A、B，若A中向的向量均可由B线性表示，则r(A)<=r(B)（A 的向量组实际上“依赖于” B 的向量组，说明 A 张成的子空间是 B 张成空间的子空间）
r(A+B)<=r(A,B)<=r(A)+r(B)

第四章：线性方程组：

齐次线性方程组：

r(A)=n，n为未知数的数量，此时有唯一0解，（此时，向量组为线性无关，只有x全为0的时候成立）
r(A)=r<n，有非零解（无穷多个），且有n-r个线性无关解（自由度）（基础空间r+约束(自由度)=总维度n，）。
求解方法：1、行变换化为行阶梯型矩阵（方便看秩）。2、找出一个秩为r的子矩阵，其余位置为自由变量（明确自由变量）。3、设基础解系个数为n-r。4、设解中自由变量的位置为任意值（方便解题就行，一般是0或1），然后用A的每非0行和基础解系相乘，求出基础解系所有项。5、k*基础解系然后相加即可。
基础解系的理解：秩组成了基本的空间，如三维，自由项就是在三维上开辟一个二维的子空间（通过原点的线性子空间），这个子空间由基础解系描述

非齐次线性方程组：

$AX=B,\begin{bmatrix} A \vdots B \end{bmatrix}$ 为A的增广矩阵。
$r(A)\neq r([A\vdots B])$ ,方程无解（说明增广矩阵引入了新的独立方向，B不在A的空间内）
$r(A)= r([A\vdots B])=n$ 方程有唯一解（B在A内，没有自由项，所以解空间被完全限制，只要一个）
$r(A)= r([A\vdots B])=r<n$ ,方程有无穷多解
基础解系的理解：与非齐次的相同，但其描述的是偏移的线性子空间，与一阶的通过原点的不同。
求解方法：1、求出齐次方程通解，2、求出特解（设一个特解，选出秩相同的子矩阵，令自由变量全为0，带入行求出其他值）3、解=通解+特解

公共解：

A与B的公共解： $\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix}x=0$ ，其实就是求通解的公共部分

同解方程组：

A与B有完全相同的解
$r(A)=r(B)=r(\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix})$ （三秩相同）

第五章：特征值与特征向量

矩阵的特征值和特征向量：

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本质：矩阵A对这个特殊的向量的变换就是λ，而这个特殊的向量就是特征向量
$(\lambda E-A)\xi =0$ ， $\lambda$ 为特征值<=>方程有非零解<=>所以 $|\lambda E-A|=0$ （这个叫做特征方程，可求出 $\lambda$ 的n个解）。（求这个 $\lambda$ 需要做多项式除法）
若 $\lambda_{1} \lambda_{2}... \lambda_{n}$ 为A的n个特征值， $|A|=\lambda_{1} \lambda_{2}... \lambda_{n}$ ， $tr(A)=\lambda_{1}+ \lambda_{2}+...+\lambda_{n}$
$\xi$ 是A的属于 $\lambda _{0}$ 的特征向量<=> $\xi$ 是 $(\lambda E-A)x =0$ 的解
k重特征值 $\lambda _{0}$ 至多只有k个线性无关的特征向量（k重特征值，是A对多个不同的k个特征向量有相同的作用效果）（特征值的“重数”表示矩阵 A 对某些方向（特征向量）的作用是重复的，但这些方向独立的最大数量（几何自由度）由重数 k 限制）其实跟没说一样，就是说当k个重复特征值的时候，仍可以有k个线性无关向量，只是提供一个上限，提示一下比k少的可以有。
若n个特征向量是A的属于不同特征值的特征向量，则这n个特征向量线性无关（线性相关的特征向量，A的特征值一定相同，而线性无关的可以相同也可以不同）
若 $\xi _{1},\xi _{2}$ 为A的属于同一（不同）特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 $k_{1}\xi _{1}+k_{2}\xi _{2}$ 仍是（不是）A的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量（线性子空间的任意线性组合仍然属于这个子空间）
常规矩阵的特征值和特征向量

相似矩阵：

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$P^{-1}AP=B$ ,则AB相似记为A~B，这个相似有传递性
相似矩阵的必要性：|A|=|B|、r(A)=r(B)、tr(A)=tr(B)、 $\lambda _{A}=\lambda _{B}$ 、 $r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$ 、A，B的各阶主子式之和分别相等
A~B则 $f(A)\sim f(B)$ 、 $A^{-1}\sim B^{-1},f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$ 、 $A^{*}\sim B^{*}$ 。以上结论A到B的手段与其变化后A到B的手段相同； $A^{T}\sim B^{T}$ 。
若A~C，B~D则 $\begin{bmatrix} A &O \\ O&B \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} C &O \\ O&D \end{bmatrix}$
如何求相似：定义、传递性、必要性反正不相似

相似对角化：

本质： $P^{-1}AP=\Lambda$ , $\Lambda$ 为对角矩阵，则A可相似对角化， $\Lambda$ 是A的相似标准型
可相似对角化的充要条件：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。（A对应每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量）
可相似对角化的充分条件：n阶矩阵有n个不同的特征值；n阶矩阵为实对称矩阵（满秩）
计算：
求可逆阵P：1、求特征值，2、求特征向量，3、把向量按列排就是P
由特征值、特征向量反推A： $A=P\Lambda P^{-1}$

实对称矩阵的相似对角化：

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对称阵A的不同特征值的特征向量相互正交
利用 $P^{T}=P^{-1}$ 的性质推出： $Q^{T}AQ=Q^{-1}AQ=\begin{bmatrix} \lambda _{1}& & \\ & \lambda _{2}...& \\ & & \lambda _{n} \end{bmatrix}$
求实对称矩阵的相似对角化的基本步骤是：1、求特征值，2、求特征向量，3、将特征向量正交化（why:因为要求正交矩阵Q），4、按列排就是Q
施密特正交化公式（将非正交积化为正交积）：

第六章：二次型：

二次型的定义：

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本质：就是个二元齐次多项式f(x)，写成的形式，用矩阵A表示。A为f(x)的二次型矩阵。

合同变换：

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本质：把x换成y，把一个二次型（ $f(x)=x^{T}Ax$ ）通过线性变换化为另一个二次型( $g(x)=y^{T}By$ )，A和B的关系 .若存在可逆矩阵C使 $C^{T}AC=B$ 。则 $A\simeq B$ 。（从表达式A表示，到表达式B表示（换系））
合同必等价、对称矩阵合同也是对称矩阵
合同标准型：没有交叉项，只有平方项
规范型：把标准型的系数都化为1,0,-1
定理：1、任何实对称矩阵A(任何二次型)，必存在可逆矩阵C，使得： $C^{T}AC=\Lambda$ （对角阵，且为规范型）2、扩展到正交变换Q， $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$ 。
惯性定理：正系数（正惯性指数）和负系数（负惯性指数）的个数是不变的。合同变换下的不变量就是惯性指数
秩r=正惯性指数+负惯性指数
合同的充要条件：有相同的正负惯性指数；
在对称条件下，相似一定合同
合同和相似的区别：？？
配方法化二次型：1、把二次型化成 $(x_{1}+x_{2}+..)^{2}+...(x_{a}+x_{b}+...)^{2}$ 的形式，2、令y1,y2,y3等于平方项内的x的和，3、解出x=y1+...，也就是x=Cy，4、然后换元带入，把二次型变为y的标准型，5、求出|C|不为0则可以做可逆线性变换。