参考：
ChatGPT
(加上个人理解，如有错误，欢迎指正）

一、蒙特卡洛算法（Monte Carlo, MC）

1、概述

• 蒙特卡洛方法主要用于给定策略下，估计每个状态或每个状态-动作对的值函数
• 核心思想是通过大量随机采样来逼近某个期望值或概率分布

2、使用场景

• 无法精确建模环境或不知道环境动态特性(如状态转移概率和奖励函数)时，可以通过反复采样得到估计的累积回报
• 无法使用动态规划时，即环境过于复杂、状态空间过于庞大甚至是连续时
• 需要学习迟到的奖励时，尤其是回合制事件，一个回合结束后才能获得奖励
• 需要处理无法提前终止的探索任务时

3、关键步骤

• 采样多个轨迹：智能体按照当前策略在环境中进行多次完整的采样实验，即从某个状态开始，执行一系列动作，直到到达终止状态。这一系列状态-动作-奖励的序列称为一个轨迹（episode）
• 计算轨迹：对于每条轨迹，计算每个状态或动作的累积回报（Return）
• 更新值函数：将多次轨迹的回报进行平均，作为该状态或动作的值函数估计。随着轨迹数目的增多，估计值会逐渐接近真实值

二、优势回归算法（Advantage-Weighted Regression, AWR）

1、优势函数Advantage Function

• 优势函数$A(s,a)$表示在状态$s$下采取动作$a$相较于在该状态平均表现(即状态价值$V(s)$)的“相对好坏”
• $A(s,a)=Q(s,a)-V(s)$
• 如果$A(s,a)>0$，意味着该动作比平均表现更好(优势)
• 如果$A(s,a)<0$，意味着该动作比平均表现更差(劣势)

2、简介

• AWR是一种基于回归的离线强化学习算法，它更像是一种行为克隆（Behavior Cloning）的变体
• 通过优势函数来加权过往的经验，并使用这些加权的经验进行回归来优化策略，而不是通过梯度直接优化策略
• 适合离线强化学习场景，智能体通过已收集的数据进行学习

3、关键步骤

• 采集离线数据：预先收集一批经验数据$(s,a,r,s^{\prime })$，包括状态$s$、动作$a$、奖励$r$和执行动作$a$后转移到的下一状态$s^{\prime }$
• 计算优势函数：$A(s,a)=r_t+\gamma V(s^{\prime })-V(s)$

不使用$A(s,a)=Q(s,a)-V(s)$的原因：

• 简化计算：一般计算$Q(s,a)$需要更多估计步骤和计算资源，用$r_t+\gamma V(s^{\prime })$来近似$Q(s,a)$可简化计算量
• 降低方差：直接使用$Q(s,a)-V(s)$可能导致高方差，导致波动不稳定
• 离线数据的局限性：由于离线数据，准确估计$Q(s,a)$更加困难

• 通过加权回归更新策略：优势加权的软策略更新，${\pi }_{\text{new }}(a\mid s)\propto {\pi }_{\text{old }}(a\mid s)\exp (\beta A(s,a))$，使更新后的策略${\pi }_{\text{new }}$倾向于选择优势较大的动作

• 执行行为克隆回归：通过最大化加权回归的方式来更新策略

  • 当策略是参数化模型时，通过最小化损失函数、梯度更新来实现回归过程

  AWR损失函数的两种形式：
  ①$\mathcal{L}=-{\sum }_s{\sum }_a{\pi }_{\text{old }}(a\mid s)\exp (\beta A(s,a))\log {\pi }_{\text{new }}(a\mid s)$

  • ${\pi }_{\text{old }}(a\mid s)$意味着是从旧策略采集的数据中得到了状态-动作对
  • $exp(\beta A(s,a))\log {\pi }_{\text{new }}(a\mid s)$是加权后的关于新策略${\pi }_{\text{new}}$的对数似然，不仅模仿专家，而且使得更优的动作在新策略中有更高的选择概率

  ②$\mathcal{L}=-{\sum }_{(s,a)expert}\exp (\beta A(s,a))\log {\pi }_{\text{new }}(a\mid s)$

  • ${\sum }_{(s,a)expert}$表示状态-动作对来自专家的演示数据，而不是智能体自己的旧策略${\pi }_{\text{old}}$收集的数据

  • 当策略不是一个参数化模型，比如一个字典(表格时)，通过优势加权实现回归过程

  • 旧策略表：在表格形式中，旧策略${\pi }_{\text{old}}$是直接存储的，表示在状态$s$下选择动作$a$的概率
  • 优势加权：对于每个状态，可以根据采样得到的经验数据，使用优势函数计算每个动作的加权概率，然后更新策略表
    ${\pi }_{\text{new }}(a\mid s)=\frac{{\pi }_{\text{old }}(a\mid s)\exp (\beta A(s,a))}{{\sum }_{a^{\prime }}{\pi }_{\text{old }}\left(a^{\prime }\mid s\right)\exp \left(\beta A\left(s,a^{\prime }\right)\right)}$