1、前言

什么是振动抑制？对于一个需要精确定位的系统，比如机械臂、塔吊、码头集装箱等，一般由于模型中存在着振荡模态，所以当其到达期望的位置时，并不能立刻停下来，而是会进行一段时间逐渐衰减的摆动，也就是我们所说的残留振动。
抑制振动的方法有很多，有通过增大零部件刚度、阻尼等通过改变系统模型而达到减小振动的被动控制的方法；有通过引入传感器形成闭环的反馈控制的方法；有开环控制方法，输入整形的方法便是开环控制的一种。
输入整形优点：只需要对输入指令进行整形就可以消除减少震动，不需要反馈传感器，避免了增加阻尼、提高刚度而引起的结构质量增加，成本低、结构简单、容易实现。
输入整形缺点：引入时间延时，产生滞后。
在引入振动抑制方法前，我们首先了解一下电机-负载双惯量系统模型，分析定位末端抖动的本质原因。

2、双惯量系统

3、输入整形

输入整形器的实现

3.1 ZV整形器

3.2 ZVD整形器

3.3 EI整形器

4、伺服系统位置环控制模型

5、仿真

模型：

模型下载地址： 永磁同步电机末端振动抑制（输入整形）simulink仿真模型，包含ZV，ZVD，EI整形

wn=2*pi*36;%35.66
xi=0.0171;%0.4471
J1=1.1e-5;
J2=20.8e-5;
Kt=1;
K=20;
V=0.1;
Curr_Kp=3.7699;
Curr_Ki=1615.7;
spd_kp=0.0579;
spd_ki=15.633;
Pos_kp=100;%3827.1524

1）$w_n=36Hz,\xi =0.4471$

2）$w_n=36Hz,\xi =0.6471$

3）$w_n=36Hz,\xi =0.2471$

5）$w_n=36Hz,\xi =0.0471$

6）$w_n=36Hz,\xi =0.0171$

从整形结果来看，可得看到振荡变小，达到消除一定的残留振动的目的。但阻尼比小于系统阻尼比的效果好很多，这里可能有点问题，留作遗留项。欢迎纠错。

5.1 快速性分析

5.2 鲁棒性分析

% ****************************************
% 输入整形器分析：时域分析和残余振动分析 
% ****************************************
 
clc;
clear;
close all;
%% 系统传递函数参数
W = 36;      % 系统固有频率
Z = 0.4417;    % 系统阻尼比
%% 输入整形器时域分析
InputShper_W = 36;
InputShper_Z = 0.4417;
 
%% 输入整形器参数配置
format long
pi      = pi;
df      = sqrt(1 - InputShper_Z*InputShper_Z);
K       = exp(-(InputShper_Z*pi) / df);
T       = 2*pi / (InputShper_W*df);
V_tol   = 0.05;
%% ZV整形器参数
D = 1 + K;
ZV_A1 = 1 / D;
ZV_A2 = K / D;
 
ZV_T2 = 1/2 * T;
 
IS_ZV = [[ZV_A1, ZV_A2];
         [0,     ZV_T2]];
%% ZVD整形器参数
D = 1 + 2*K + K^2;
ZVD_A1 = 1 / D;
ZVD_A2 = 2*K / D;
ZVD_A3 = K^2 / D;
 
ZVD_T2 = 1/2 * T;
ZVD_T3 = T;
 
IS_ZVD = [[ZVD_A1, ZVD_A2, ZVD_A3];
          [0,      ZVD_T2, ZVD_T3]];

%% EI整形器参数
EI_A1 = (1 + V_tol) / 4;
EI_A2 = (1 - V_tol) / 2;
EI_A3 = (1 + V_tol) / 4;
 
EI_T2 = 1/2 * T;
EI_T3 = T;
 
IS_EI = [[EI_A1, EI_A2, EI_A3];
         [0,     EI_T2, EI_T3]];

%% 残余振动画图
% 基于频率的灵敏度曲线图
% RV_W = 0:1:100;
% RV_Z = InputShper_Z;
% 基于阻尼比的灵敏度曲线图
RV_W = InputShper_W;
RV_Z = 0:0.001:0.8;
 
RV_ZV             = CalResidualVibration(IS_ZV,             2, RV_W, RV_Z);    
RV_ZVD            = CalResidualVibration(IS_ZVD,            3, RV_W, RV_Z);      
RV_EI             = CalResidualVibration(IS_EI,             3, RV_W, RV_Z);    
 
figure(1);
% plot( RV_W, RV_ZV, RV_W, RV_ZVD, RV_W, RV_EI);
% legend('ZV','ZVD','EI');
% ylabel('残余振动');
% xlabel('频率');
% title('基于频率的输入整形器灵敏度分析')

plot( RV_Z, RV_ZV, RV_Z, RV_ZVD, RV_Z, RV_EI);
legend('ZV','ZVD','EI');
ylabel('残余振动');
xlabel('阻尼比');
title('基于阻尼比的输入整形器灵敏度分析')
 
%% 计算整形器残余振动，输入参数：输入整形器矩阵ARR，整形器脉冲数N，频率W，阻尼比Z
function RV = CalResidualVibration( ARR, N, W, Z)
    C = 0;
    S = 0;
    df = sqrt(1 - Z.*Z);
    Tn = ARR(2,N);
    for i = 1:N
        Ai = ARR(1,i);
        Ti = ARR(2,i);
        C_TEMP = Ai .* exp(Z.*W.*Ti) .* cos(W.*df.*Ti);
        S_TEMP = Ai .* exp(Z.*W.*Ti) .* sin(W.*df.*Ti);
        C = C + C_TEMP;
        S = S + S_TEMP;
    end
    RV = exp(-Z.*W.*Tn).*sqrt(C.*C+S.*S);
end

假设频率变化范围在$[0，100]$内，将频率 $w_n$ 作为横坐标，将残留振动 $V$作为纵坐标，根据残留振动表达式(3-9)可以画出基于频率的灵敏度曲线。

假设阻尼比变化范围在$[0，1]$内，将频率 $\xi$ 作为横坐标，将残留振动 $V$作为纵坐标，根据残留振动表达式(3-9)可以画出基于阻尼比的灵敏度曲线。

总体来说$EI$鲁棒性最好。

参考

【1】陈天航.永磁同步伺服驱动系统高响应控制及振动抑制策略研究[D].华中科技大学,2021.DOI:10.27157/d.cnki.ghzku.2021.006514.
【2】孙永平.伺服系统高品质位置控制关键技术研究[D].哈尔滨工业大学,2022.DOI:10.27061/d.cnki.ghgdu.2022.005091.
【3】[1]郭小强.电动汽车用开关磁阻电机振动产生机理及抑制策略研究[D].东南大学,2019.DOI:10.27014/d.cnki.gdnau.2019.003817.
【4】杨明,曹佳,徐殿国.基于输入整形技术的交流伺服系统抖动抑制[J].电工技术学报,2018,33(21):4979-4986.DOI:10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.L80595.
【5】邓辉.基于输入整形技术的机器人柔性机械臂振动抑制研究[D].深圳大学,2016.
【6】输入整形(Input Shaping)：https://zhuanlan.zhihu.com/p/402291172
【7】振动抑制——输入整形（Input Shaping）：https://blog.csdn.net/weixin_41276397/article/details/138393849
【8】 拉普拉斯变换 https://cdn.bridge619.com/pdf/%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E5%8F%98%E6%8D%A2.pdf