【高等数学学习记录】高阶导数

一、知识点

（一）高阶导数

导数的导数叫做二阶导数，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数， $\cdots$ ， $(n - 1)$ 阶导数的导数叫做 $n$ 阶导数.
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.

（二）莱布尼茨公式

$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC^k_nu^{(n-k)}v^{(k)}$

二、练习题

求下列函数的二阶导数：

(1) $y=2x^2+lnx$

$y'=4x+\frac{1}{x}$

$y''=4-\frac{1}{x^2}$
(2) $y=e^{2x-1}$

$y'=2\cdot e^{2x-1}$

$y''=4\cdot e^{2x-1}$
(3) $y = x cos x$

$y^{'} = cos x - x s in x$

$y^{''} = - s in x - s in x - x cos x$
$= - 2 s in x - x cos x$
(4) $y=e^{-t}sint$

$y'=-e^{-t}sint+e^{-t}cost$
$e^{-t}cost-e^{-t}sint$

$y''=-e^{-t}cost-e^{-t}sint-(-e^{-t}sint+e^{-t}cost)$

$e^{-t}cost$
(5) $y=\sqrt{a^2-x^2}$

$y'=\frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}$
$=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}$

$y''=\frac{-\sqrt{a^2-x^2}-(-x)(-\frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}})}{a^2-x^2}$
$=-\frac{a^2}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}$
(6) $y=ln(1-x^2)$

$y'=\frac{-2x}{1-x^2}$

$y''=\frac{-2(1-x^2)+2x(-2x)}{(1-x^2)^2}$

$=-\frac{2(1-x^2)-2x(-2x)}{(1-x^2)^2}$

$=-\frac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}$
(7) $y = t an x$

$y'=\frac{1}{sec^2x}$

$y''=(cos^{-2}x)'$

$2cos^{-3}x(-sinx)$

$=2tanx\cdot sec^2x$
（8） $y=\frac{1}{x^3+1}$
$y’=\frac{-3x^2}{(x^3+1)^2}$
$y’’=\frac{-6x(x^3+1)^2+3x^2\cdot 2(x^3+1)\cdot 3x^2}{(x^3+1)^4}$
$=\frac{-6x(x^3+1)^2+18x^4(x^3+1)}{(x^3+1)^4}$
$=\frac{18x^4-6x(x^3+1)}{(x^3+1)^3}$
$=\frac{12x^4-6x}{(x^3+1)^3}$
(9) $y=(1+x^2)arctanx$

$y'=(1+x^2)'arctanx+(1+x^2)(arctanx)'$

$=2xarctanx+\frac{1+x^2}{1+x^2}$

$=2x\cdot arctanx+1$

$y^{''} = (2 x)^{'} a rc t an x + 2 x (a rc t an x)^{'}$

$=2arctanx+\frac{2x}{1+x^2}$
(10) $y=\frac{e^x}{x}$

$y'=\frac{(e^x)'x-e^x(x)'}{x^2}$

$=\frac{xe^x-e^x}{x^2}$

$y''=\frac{(xe^x-e^x)'x^2-(xe^x-e^x)(x^2)'}{x^4}$

$=\frac{(e^x+xe^x-e^x)x^2-2x(xe^x-e^x)}{x^4}$

$=\frac{x^3e^x-2x^2e^x+2xe^x}{x^4}$

$=\frac{e^x(x^3-2x^2+2x)}{x^4}$

$=\frac{e^x(x^2-2x+2)}{x^3}$
(11) $y=xe^{x^2}$

$y'=e^{x^2}+xe^{x^2}\cdot 2x$

$e^{x^2}(1+2x^2)$

$y''=(e^{x^2})'(1+2x^2)+e^{x^2}(1+2x^2)'$

$2xe^{x^2}(1+2x^2)+4xe^{x^2}$

$2xe^{x^2}(1+2x^2+2)$

$2xe^{x^2}(3+2x^2)$
(12) $y=ln(x+\sqrt{1+x^2})$

$y'=\frac{(x+\sqrt{1+x^2})'}{x+\sqrt{1+x^2}}$

$=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot (1+\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}})$
$=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$y''=[(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}]'$

$=-\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x$

$=-x(x^2+1)^{-\frac{3}{2}}$

设 $f(x)=(x+10)^6$ ，求 $f^{'''} (2)$

解：

$f'(x)=[(x+10)^6]'=6(x+10)^5$

$f''(x)=30(x+10)^4$

$f'''(x)=120(x+10)^3$

$f'''(2)=120\cdot (2+10)^3=207360$

设 $f^{''} (x)$ 存在，求下列函数的二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$ .

(1) $y=f(x^2)$

$\frac{dy}{dx}=f'(x^2)\frac{dx^2}{dx}$

$2xf'(x^2)$

$\frac{d^2y}{dx^2}=2f'(x^2)+2x\frac{df'(x^2)}{dx}$

$2f'(x^2)+2xf''(x^2)2x$

$2f'(x^2)+4x^2f''(x^2)$
(2) $y = l n [f (x)]$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{f''(x)f(x)-f'(x)f'(x)}{f^2(x)}$

试从 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y'}$ 导出：

(1) $\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{y''}{(y')^3}$
证明：

$\frac{d^2x}{dy^2}=\frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy})$

$=\frac{d(\frac{1}{y'})}{dy}$

$=\frac{d(\frac{1}{y'})}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}$

$=\frac{-y''}{(y')^2}\cdot \frac{1}{y'}$

$=-\frac{y''}{(y')^3}$
(2) $\frac{d^3x}{dy^3}=\frac{3(y'')^2-y'y'''}{(y')^5}$
证明：

$\frac{d}{dy}(\frac{d^2x}{dy^2})=\frac{d(-\frac{y''}{(y')^3})}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}$

$=-\frac{y'''(y')^3-y''\cdot 3(y')^2\cdot y''}{(y')6}\cdot \frac{1}{y'}$

$=\frac{3(y'')^2-y'y'''}{(y')^5}$

已知物体的运动规律为 $s=Asin\omega t$ （ $A$ 、 $\omega$ 是常数），求物体运动的加速度，并验证： $\frac{d^2s}{dt^2}+\omega^2s=0$ .
- 证明：
  
  $\frac{ds}{dt}=Acos\omega t \cdot\omega$
  
  $\frac{d^2s}{dt^2}=(A\omega cos\omega t)'$
  
  $=A\omega (-sin\omega t)\omega$
  
  $=-\omega ^2\cdot Asin\omega t$
  
  $=-\omega^2s$
  
  $\therefore \frac{d^2s}{dt^2}+\omega^2s=0$
密度大的陨星进入大气层时，当它离地心为 $s$ 千米时的速度与 $\sqrt{s}$ 成反比. 试证陨星的加速度与 $s^2$ 成反比.

证明：

$v=\frac{ds}{dt}=\frac{k}{\sqrt{s}}$ （ $k$ 为比例系数）

加速度 $a=\frac{d^2s}{dt^2}$

$=\frac{d(\frac{k}{\sqrt{s}})}{ds}\cdot \frac{ds}{dt}$

$=-\frac{1}{2}ks^{-\frac{3}{2}}\cdot ks^{-\frac{1}{2}}$

$=-\frac{k^2}{2s^2}$

$\therefore$ 陨星的加速度与 $s^2$ 成反比.

假设质点沿 $x$ 轴运行的速度为 $\frac{dx}{dt}=f(x)$ ，试求质点运动的加速度.

解：

加速度 $a=\frac{d^2x}{dt^2}$

$=\frac{d(\frac{dx}{dt})}{dt}$

$=\frac{df(x)}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$

$= f^{'} (x) f (x)$

验证函数 $y=C_1e^{\lambda x}+C_2e^{-\lambda x}$ （ $\lambda$ 、 $C_1$ 、 $C_2$ 是常数）满足关系式 $y''-\lambda ^2y=0$ .

解：

$y'=C_1\lambda e^{\lambda x}-C_2\lambda e^{-\lambda x}$

$y''=C_1\lambda ^2e^{\lambda x}+C_2\lambda ^2e^{-\lambda x}$

$y''-\lambda y$

$=C_1\lambda ^2e^{\lambda x}+C_2\lambda ^2e^{-\lambda x}-C_1\lambda ^2e^{\lambda x}-C_2\lambda ^2e^{-\lambda x}$

$= 0$

验证函数 $y=e^xsinx$ 满足关系式 $y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = 0$ .

解：

$y'=e^xsinx+e^xcosx$

$y''=e^xsinx+e^xcosx+e^xcosx-e^xsinx$

$2e^xcosx$

$y^{''} - 2 y^{'} + 2 y$

$2e^xcosx-2e^xsinx-2e^xcosx+2e^xsinx$

$= 0$

求下列函数所指定的阶的导数：

(1) $y=e^xcosx$ ，求 $y^{(4)}$

(2) $y=x^2sin2x$ ，求 $y^{(50)}$

解 (1)：

根据莱布尼茨公式可得：

$y^{(4)}=C_4^0(e^x)^{(4)}(cosx)^{(0)}+C_4^1(e^x)^{(3)}(cosx)^{(1)}+C_4^2(e^x)^{(2)}(cosx)^{(2)}+C_4^3(e^x)^{(1)}(cosx)^{(3)}+C_4^4(e^x)^{(0)}(cosx)^{4}$

$e^xcosx+4e^x(-sinx)+6e^x(-cosx)+4e^xsinx+e^xcosx$

$4e^xcosx$
解 (2)：

根据莱布尼茨公式可得：

$y^{(50)}=(x^2sin2x)^{(50)}$

$=C_{50}^0(x^2)^{(0)}(sin2x)^{(50)}+C_{50}^1(x^2)^{(1)}(sin2x)^{(49)}+C_{50}^2(x^2)^{(2)}(sin2x)^{(48)}+0+\cdots + 0$

$=x^2\cdot 2^{50}\cdot sin(2x+\frac{50\pi}{2})+50\cdot 2x\cdot 2^{49}\cdot sin(2x+\frac{49\pi}{2})+1225\cdot 2\cdot 2^{48}\cdot sin(2x+\frac{48\pi}{2})$

$=-2^{50}x^2sin2x+50\cdot 2^{50}xcos2x+2450\cdot 2^{48}sin2x$

求下列函数的 $n$ 阶导数的一般表达式：

(1) $y=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$

$y^{(n)}=(x^n)^{(n)}+0\cdots + 0$

$=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$

$= n!$
(2) $y=sin^2x$

$y^{'} = 2 s in x cos x = s in 2 x$

根据第10(2)题的规律：

$y^{(n)}=2^{n-1}sin[2x+\frac{(n-1)\pi}{2}]$
(3) $y = x l n x$

根据莱布尼茨公式可得：

$y^{(n)}=C_n^0x^{(0)}(lnx)^{(n)}+C_n^1x^{(1)}(lnx)^{(n-1)}+0+\cdots +0$

$x(lnx)^{(n)}+n(lnx)^{(n-1)}$

$\because (lnx)^{(1)}=\frac{1}{x}$

$(lnx)^{(2)}=-\frac{1}{x^2}$

$(lnx)^{(3)}=\frac{2}{x^3}$

$\therefore (lnx)^{(n)}=(-1)^{n+1}\frac{(n-1)!}{x^n}$

$\therefore y^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^{n-1}}+(-1)^{n-2}\frac{(n-2)!n}{x^{n-1}}$

$=\frac{(-1)^n(n-2)!}{x^{n-1}}(n\geq 2)$

$\therefore y^{(n)}=\begin{cases} lnx+1, &n=1\\\frac{(-1)^n(n-2)!}{x^{n-1}}, &n>1\end{cases}$
(4) $y=xe^x$

根据莱布尼茨公式可得：

$y^{(n)}=(xe^x)^{(n)}=C_n^0(x)^{(0)}(e^x)^{n}+C_n^1(x)^{(1)}(e^x)^{49}+0+\cdots +0$

$xe^x+ne^x$

求函数 $f(x)=x^2ln(1+x)$ 在 $x = 0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)(0)}(n\geq 3)$ .

解：

根据莱布尼茨公式可得：

$f^{(n)}(x)=C_n^0(x^2)^{(0)}[ln(1+x)]^{(n)}+C_n^1(x^2)^{(1)}[ln(1+x)]^{(n-1)}+C_n^2(x^2)^{(2)}[ln(1+x)]^{(n-2)}+0+\cdots +0$

根据第11(3)题的规律可得：

$f^{(n)}(x)=x^2(-1)^{n+1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}+n\cdot 2x\frac{(-1)^n(n-2)!}{(1+x)^{n-1}}+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2\cdot \frac{(-1)^{n-1}(n-3)!}{(1+x)^{n-2}}(n\geq 3)$

$f^{(n)}(0)=\frac{(-1)^{n-1}n!}{n-2}(n\geq 3)$