第十二章 学习笔记（Rotation About a Point）

上一章是绕定轴转动，这章是绕定点转动。这一章明显上难度了。

12.1 Tensor of Inertia

在正式的公式推导之前，我们先复习一个矢量公式，下面推导时会用到这个公式：
$$\mathbf{A}\times (\mathbf{B}\times \mathbf{C})=(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C})\mathbf{B}-(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B})\mathbf{C}$$

首先计算刚体绕定点转动时的角动量。
$$\begin{array}{rl}\mathbf{L}& =\sum m_i({\mathbf{r}}_i\times {\mathbf{v}}_i)\\ & =\sum m_i({\mathbf{r}}_i\times (\omega \times {\mathbf{r}}_i))\\ & =\sum m_i\left(({\mathbf{r}}_i\cdot {\mathbf{r}}_i)\omega -({\mathbf{r}}_i\cdot \omega ){\mathbf{r}}_i\right)\\ & =\sum m_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2)\left(\begin{array}{c}{\omega }_x\\ {\omega }_y\\ {\omega }_z\end{array}\right)-(x_i{\omega }_x+y_i{\omega }_y+z_i{\omega }_z)\left(\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right)\end{array}$$
写成分量形式：
$$\begin{array}{rl}{L}_x& =\sum m_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2){\omega }_x-(x_i{\omega }_x+y_i{\omega }_y+z_i{\omega }_z)x_i\\ & =\sum m_i(y_i^2+z_i^2){\omega }_x-x_i{y}_i{\omega }_y-x_i{z}_i{\omega }_z\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{L}_y& =\sum m_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2){\omega }_y-(x_i{\omega }_x+y_i{\omega }_y+z_i{\omega }_z)y_i\\ & =\sum m_i(x_i^2+z_i^2){\omega }_y-y_i{x}_i{\omega }_x-y_i{z}_i{\omega }_z\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{L}_z& =\sum m_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2){\omega }_z-(x_i{\omega }_x+y_i{\omega }_y+z_i{\omega }_z)z_i\\ & =\sum m_i(x_i^2+y_i^2){\omega }_z-x_i{z}_i{\omega }_x-y_i{z}_i{\omega }_y\end{array}$$

写成矩阵形式：
$$\begin{gathered} \Theta =\left(\begin{array}{ccc}\sum m_i(y_i^2+z_i^2)& -\sum m_i{x}_i{y}_i& -\sum m_i{x}_i{z}_i\\ -\sum m_i{x}_i{y}_i& \sum m_i(x_i^2+z_i^2)& -\sum m_i{y}_i{z}_i\\ -\sum m_i{x}_i{z}_i& -\sum m_i{y}_i{z}_i& \sum m_i(x_i^2+y_i^2)\end{array}\right) \\ \mathbf{L}=\hat{\Theta }\cdot \omega \end{gathered}$$
上面式子中的 $\hat{\Theta }$ 就是这章的主角 惯性张量。

12.2 Kinetic Energy of a Rotating Rigid Body

这里推导定轴转动时的转动能。首先还是先补充一个矢量公式：
$$\mathbf{A}\cdot (\mathbf{B}\times \mathbf{C})=\mathbf{B}\cdot (\mathbf{C}\times \mathbf{A})=\mathbf{C}\cdot (\mathbf{A}\times \mathbf{B})$$
有了这个矢量公式就可以开始下面的推导了。
$$\begin{array}{rl}T& =\frac{1}{2}\sum m_i{\mathbf{v}}_i^2\\ & =\frac{1}{2}\sum m_i({\mathbf{v}}_i\cdot (\omega \times {\mathbf{r}}_i))\\ & =\frac{1}{2}\sum m_i(\omega \cdot ({\mathbf{r}}_i\times {\mathbf{v}}_i))\\ & =\frac{1}{2}\omega \cdot \sum m_i({\mathbf{r}}_i\times {\mathbf{v}}_i)\\ & =\frac{1}{2}\omega \cdot \mathbf{L}\\ & =\frac{1}{2}{\omega }^T\cdot \hat{\Theta }\cdot \omega \end{array}$$

12.3 The Principal Axes of Inertia （惯量主轴）

12.4 Existence and Orthogonality of the Principal Axes

12.5 Transformation of the Tensor of Inertia

这三个小节 Greiner 写作顺序不太好。个人认为应该先讲 12.5 节，然后是12.3 最后是12.4。另外，现在的大学生都学过线性代数，对矩阵的相似变换有足够的了解。利用矩阵可以简化推导过程。

下面就按照我自己的理解来推导。

通过选取合适的坐标系，我们可以让转动惯量张量成为对角矩阵。

首先回忆一下坐标变换。在一个坐标系下的单位矢量记为 $({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3)$。相对坐标原点做一个旋转之后单位矢量变为 $({\mathbf{e}}_1^{\prime },{\mathbf{e}}_2^{\prime },{\mathbf{e}}_3^{\prime })$。 两套坐标系的关系可以用下面的式子来表示。
$$\begin{gathered} {\mathbf{e}}_1^{\prime }=a_{11}{\mathbf{e}}_1+a_{12}{\mathbf{e}}_2+a_{13}{\mathbf{e}}_3 \\ {\mathbf{e}}_2^{\prime }=a_{21}{\mathbf{e}}_1+a_{22}{\mathbf{e}}_2+a_{23}{\mathbf{e}}_3 \\ {\mathbf{e}}_3^{\prime }=a_{31}{\mathbf{e}}_1+a_{32}{\mathbf{e}}_2+a_{33}{\mathbf{e}}_3 \end{gathered}$$
或者写为矩阵形式：
$$\left(\begin{array}{c}{\mathbf{e}}_1^{\prime }\\ {\mathbf{e}}_2^{\prime }\\ {\mathbf{e}}_3^{\prime }\end{array}\right)=\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{\mathbf{e}}_1\\ {\mathbf{e}}_2\\ {\mathbf{e}}_3\end{array}\right)$$
一个矢量 $x$ ，在 $\mathbf{e}$ 坐标系下的分量为 $(x_1,x_2,x_3)$，在 ${\mathbf{e}}^{\prime }$ 坐标系下的分量为 $(x_1^{\prime },x{’}_2,x_3^{\prime })$。
$$\begin{array}{rl}\mathbf{x}& =x_1{\mathbf{e}}_1+x_2{\mathbf{e}}_2+x_3{\mathbf{e}}_3\\ & =x_1^{\prime }{\mathbf{e}}_1^{\prime }+x_2^{\prime }{\mathbf{e}}_2^{\prime }+x_3^{\prime }{\mathbf{e}}_3^{\prime }\\ & =x_1^{\prime }(a_{11}{\mathbf{e}}_1+a_{12}{\mathbf{e}}_2+a_{13}{\mathbf{e}}_3)+x_2^{\prime }(a_{21}{\mathbf{e}}_1+a_{22}{\mathbf{e}}_2+a_{23}{\mathbf{e}}_3)+x_3^{\prime }(a_{31}{\mathbf{e}}_1+a_{32}{\mathbf{e}}_2+a_{33}{\mathbf{e}}_3)\\ & =(x_1^{\prime }{a}_{11}+x_2^{\prime }{a}_{21}+x_3^{\prime }{a}_{31}){\mathbf{e}}_1+(x_1^{\prime }{a}_{12}+x_2^{\prime }{a}_{22}+x_3^{\prime }{a}_{32}){\mathbf{e}}_2+(x_1^{\prime }{a}_{13}+x_2^{\prime }{a}_{23}+x_3^{\prime }{a}_{33}){\mathbf{e}}_3\end{array}$$
写成矩阵形式：
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{21}& a_{31}\\ a_{12}& a_{22}& a_{32}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ x_3^{\prime }\end{array}\right)$$
和上面比较一下，可以看出：
$$\begin{gathered} \mathbf{x}={\mathbf{A}}^T{\mathbf{x}}^{\prime } \\ {\mathbf{x}}^{\prime }=\mathbf{Ax} \end{gathered}$$
可以看出，坐标变换矩阵和基矢的变换矩阵是相同的。另外我们还知道 $\mathbf{A}$ 是实对称矩阵，$|\mathbf{A}|=1,{\mathbf{A}}^T={\mathbf{A}}^{-1}$。关于 $\mathbf{A}$ 的这些特性在随便一本线性代数的教科书里都有，这里就不详细推导了。

$\mathbf{L}=\hat{\Theta }\cdot \omega$ 这个公式在一个坐标系下成立，对这个坐标系做个旋转之后也必须成立。在旋转后的坐标系下，$\omega ，\mathbf{L}$ 成为了 ${\omega }^{\prime }，{\mathbf{L}}^{\prime }$。他们之间的关系如下：
$$\begin{gathered} \omega ={\mathbf{A}}^T\cdot {\omega }^{\prime } \\ \mathbf{L}={\mathbf{A}}^T\cdot {\mathbf{L}}^{\prime } \end{gathered}$$
带入角动量的公式：
$$\begin{gathered} \mathbf{L}=\hat{\Theta }\cdot \omega \\ {\mathbf{A}}^T\cdot {\mathbf{L}}^{\prime }=\hat{\Theta }{\mathbf{A}}^T\cdot {\omega }^{\prime } \\ {\mathbf{L}}^{\prime }=\mathbf{A}\hat{\Theta }{\mathbf{A}}^T\cdot {\omega }^{\prime }=\mathbf{A}\hat{\Theta }{\mathbf{A}}^{-1}\cdot {\omega }^{\prime } \end{gathered}$$
因此我们就推导出了二阶张量的坐标变换公式：
$${\hat{\Theta }}^{\prime }=\mathbf{A}\hat{\Theta }{\mathbf{A}}^{-1}$$
上面这个变换公式在线性代数教科书里称为相似变换。通过相似变换我们可以把一个实对称矩阵化为对角矩阵。也就是
$${\hat{\Theta }}^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}{\Theta }_1& 0& 0\\ 0& {\Theta }_2& 0\\ 0& 0& {\Theta }_3\end{array}\right)$$
那么角动量和转动动能的表达式都会变得很简单:
$$\left(\begin{array}{c}{L}_1\\ L_2\\ L_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\Theta }_1{\omega }_1\\ {\Theta }_2{\omega }_2\\ {\Theta }_3{\omega }_3\end{array}\right)$$

$$T=\frac{1}{2}{\omega }^T\cdot {\hat{\Theta }}^{\prime }\cdot \omega =\frac{1}{2}({\Theta }_1{\omega }_1^2+{\Theta }_2{\omega }_2^2+{\Theta }_3{\omega }_3^2)$$

另外，我们还知道 ${\Theta }_i$ 其实就是矩阵 $\hat{\Theta }$ 的三个特征值。
$$\begin{gathered} \hat{\Theta }\cdot \omega =\lambda \omega \\ (\hat{\Theta }-\lambda \mathbf{I})\omega =0 \end{gathered}$$
12.4 节就是在证明$\hat{\Theta }$ 有三个实数的特征向量。书上给的证明有点繁琐，其实用矩阵运算，利用 $\hat{\Theta }$ 是实对称矩阵这么一个条件，可以很容易证明出来。下面的证明中，我们用 $\bar{A}$ 表示对 $A$ 取复共轭。
$$\begin{array}{rl}{\overline{\omega }}^T\cdot \hat{\Theta }\cdot \omega & ={\overline{\omega }}^T\cdot \hat{\Theta }\cdot \omega \\ & ={\overline{\omega }}^T\cdot \overline{{\hat{\Theta }}^T}\cdot \omega \\ & =\overline{{\omega }^T\cdot {\hat{\Theta }}^T}\cdot \omega \\ & =\overline{(\hat{\Theta }\cdot \omega {)}^T}\cdot \omega \\ & =\overline{(\lambda \cdot \omega {)}^T}\cdot \omega \\ & =\overline{\lambda }\cdot \overline{{\omega }^T}\cdot \omega \end{array}$$
另一方面：
$$\begin{array}{rl}{\overline{\omega }}^T\cdot \hat{\Theta }\cdot \omega & ={\overline{\omega }}^T\cdot \lambda \cdot \omega \\ & =\lambda \cdot \overline{{\omega }^T}\cdot \omega \end{array}$$
所以有：
$$\begin{gathered} \overline{\lambda }\cdot \overline{{\omega }^T}\cdot \omega =\lambda \cdot \overline{{\omega }^T}\cdot \omega \\ (\overline{\lambda }-\lambda )\overline{{\omega }^T}\cdot \omega =0 \\ \overline{\lambda }-\lambda =0 \end{gathered}$$
上面这个证明要比书上写的简单一些。至少是没有那么多让人眼花缭乱的上标、下标了。

至此，本章还剩下最后一个问题。就是我们已知 $\hat{\Theta }$ 之后如何去求某个方向上的转动惯量。

设单位方向向量为 $\mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3)$。那么这个方向上的角速度可以表示为：
$$\begin{gathered} \vec{\omega }=\omega \cdot \mathbf{n} \\ \mathbf{L}=\omega \hat{\Theta }\cdot \mathbf{n} \\ {\mathbf{L}}_n={\mathbf{n}}^T\cdot \mathbf{L}=\omega {\mathbf{n}}^T\cdot \hat{\Theta }\cdot \mathbf{n} \end{gathered}$$
从上面的式子我们就能看出来某个方向$\mathbf{n}$上的 转动惯量为 ${\Theta }_n={\mathbf{n}}^T\cdot \hat{\Theta }\cdot \mathbf{n}$。

12.7 Ellipsoid of Inertia

从上面我们已经知道：
$${\Theta }_n={\mathbf{n}}^T\cdot \hat{\Theta }\cdot \mathbf{n}$$
这个其实就是线性代数里面讨论的二次型问题。3维空间上的二次型就是个椭球体。

设 $\varrho =\mathbf{n}/\sqrt{{\Theta }_n}$，那么有 $\mathbf{n}=\sqrt{{\Theta }_n}\varrho$。
$${\Theta }_n=\sqrt{{\Theta }_n}\left(\begin{array}{ccc}{\varrho }_x& {\varrho }_y& {\varrho }_z\end{array}\right)\cdot \Theta \cdot \sqrt{{\Theta }_n}\left(\begin{array}{c}{\varrho }_x\\ {\varrho }_y\\ {\varrho }_z\end{array}\right)$$
也就是：
$$1=\left(\begin{array}{ccc}{\varrho }_x& {\varrho }_y& {\varrho }_z\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}{\Theta }_{xx}& {\Theta }_{xy}& {\Theta }_{xz}\\ {\Theta }_{yx}& {\Theta }_{yy}& {\Theta }_{yz}\\ {\Theta }_{zx}& {\Theta }_{zy}& {\Theta }_{zz}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\varrho }_x\\ {\varrho }_y\\ {\varrho }_z\end{array}\right)$$
展开之后得到：
$${\Theta }_{xx}{\varrho }_x^2+{\Theta }_{yy}{\varrho }_y^2+{\Theta }_{zz}{\varrho }_z^2+2{\Theta }_{xy}{\varrho }_x{\varrho }_y+2{\Theta }_{yz}{\varrho }_y{\varrho }_z+2{\Theta }_{xz}{\varrho }_x{\varrho }_z=1$$
至此，这章的知识点就全都写完了。下一章将讨论各种陀螺问题，脱落问题算是古典力学最有趣的问题吧。