本文配图 取自哔哩哔哩机器人学视频 林沛群老师的PPT

机械臂几何直观描述

首先要知道DH表中四个参数的含义：

对于$a、\alpha 、d、{\theta }_i$ 四个参数，上图采用MDH的方式，对于一个轴的这四个参数，都是在对应轴上定义的

• 对于两轴之间，用 $a$ 和 $\alpha$ 可定义二者之间的关系

  • $a$ ：连杆长度——两轴线之间的公垂线长度

  • $\alpha$ ：扭转角——两轴线的夹角

• 对于多轴串联，需引入另外两个参数： $d_i$ 、 ${\theta }_i$

  • $d$ ：连杆偏移——两公垂线在一条轴上的交点之间的偏移量、距离
  • ${\theta }_i$ ：关节角——两公垂线在一条轴上的夹角

机械臂坐标系建立

• 在每个轴处建立坐标系的步骤：

  • 首先根据转轴设置Z坐标指向（方向凭喜好选）

  • 然后根据公垂线设置X坐标指向（方向凭喜好选）

    若两个 $Z$ 轴相交，则X轴指向两个 $Z$ 轴组成平面的垂直方向

  • 最后根据右手定则设置Y坐标指向

• 每个关节的运动描述

  每个关节的运动在其前一个轴的坐标系下进行描述，即每个关节所设置的坐标系，都是由前一个坐标系变换来的

• 第一个关节的运动描述

  实际上，每个轴对应了一个关节

  由于第一个轴前面没有关节了，我们设置一个特殊的轴，即地轴，

  地轴的坐标系与第一个关节对应轴的坐标系，当变量（如$\theta 、d$）取0时一致，规定第一个轴的运动相对于地轴坐标系描述

• 最后一个关节的坐标系建立

  根据前述的坐标系建立规则，由于最后一个关节对应的轴后面没有轴线了，因此无法按前述方式确定X轴

  规定最后一个关节对应的X轴的方向与前一个坐标系的X轴方向相同

另一种方式认识DH表四个参数

前面建立了坐标系之后，像轴线、公垂线这种描述就可以更数学化来表示了

• ${\alpha }_{i-1}$ ：$Z_{i-1}$ 与 $Z_i$ 之间的夹角（方向以$X_{i-1}$轴方向看）
• $a_{i-1}$：$Z_{i-1}$ 与 $Z_i$ 之间距离（方向以$X_{i-1}$轴方向看）
• ${\theta }_i$：$X_{i-1}$ 与 $X_i$ 之间的夹角（方向以$Z_i$轴方向看）
• $d_i$：$X_{i-1}$ 到 $X_i$ 之间的距离（方向以$Z_i$轴方向看）

转换矩阵的计算方式

对于MDH，由于坐标系0和第一个轴（关节）对应的坐标系1的零位是重合的，该轴的运动体现在该轴处的坐标系1

对于SDH，坐标系0就是第一个轴（关节）对应得坐标系，但该轴的运动体现在下一个轴处的坐标系，即坐标系1

不管哪种DH表示，坐标系0都是不变的

MDH和SDH转换矩阵的差异

• 对于MDH，第一个转换矩阵的形式可能为

  

• 对于SDH，第一个转换矩阵的形式可能为

  

这种差异来源于$a、\alpha 、d、{\theta }_i$ 四个参数定义方式的不同，因为对于SDH，其考虑了第一段连杆的长度$a$ ，而MDH的这个转换矩阵中是没有第一段连杆长度$a$的

感兴趣可自行了解SDH定义方法

MDH和SDH末端转换矩阵的含义

• MDH

  

  对于MDH的末端转换矩阵，根据递推关系也可以知道，其代表最后一个轴（最后一个关节）在地轴（与第一个关节的零位重合）坐标系下的表述。

  对于机械臂末端的一个点，如上图（该例为平面、三轴）中的 $P$ 点，其在最后一个轴的坐标系下的位置为 { L 3 , 0 , 0 } \{L_3, 0, 0\} {L3​,0,0} ，因此要算 $P$ 点在机器人基座标系下（这里为地轴坐标系）的坐标，需要对机器人末端转换矩阵再右乘一个转换矩阵，即：

  

• SDH

  

  对于SDH的末端转换矩阵，由于其确定四个参数时坐标系的建立方式与MDH有差异，若最后一个坐标系就建立在点 $P$ 处，那么转换矩阵在机器人基座标系下（这里为第一个轴（关节）的坐标系）的坐标就是这个转换矩阵的值。

  当然，如果这个 $P$ 点和最后一个轴（关节）的坐标系原点重合，那么得到的转换矩阵就和MDH是一致的

MDH和SDH对应的DH表的关系

继续上面平面三轴的例子：

• 对于MDH

  

• 对于SDH

  

• 二者关系

  MDH表在SDH表的基础上，将 $a、\alpha$ 两列向下移动了一行，最后一列放到第一列

  若我们将 $L_3$ 取值为0，可以发现上面的例子符合这一规律

UR5机械臂DH表举例

Universal Robots - DH Parameters for calculations of kinematics and dynamics

官方UR5机械臂的坐标系建立与前面《机械臂坐标系建立》小结吻合

官方提供了UR5的SDH表

		SDH
$\theta$	$a$	$d$	$\alpha$	$offset$
0	0	0.089159	$\pi /2$	0
0	-0.425	0	0	$-\pi /2$
0	-0.39225	0	0	0
0	0	0.10915	$\pi /2$	$-\pi /2$
0	0	0.09465	$-\pi /2$	0
0	0	0.0823	0	0

根据前述的规则，我们容易得到对应的MDH为：

MDH表在SDH表的基础上，将 $a、\alpha$ 两列向下移动了一行，最后一列放到第一列

		MDH
$\theta$	$a$	$d$	$\alpha$	$offset$
0	0	0.089159	0	0
0	0	0	$\pi /2$	$-\pi /2$
0	-0.425	0	0	0
0	-0.39225	0.10915	0	$-\pi /2$
0	0	0.09465	$\pi /2$	0
0	0	0.0823	$-\pi /2$	0