监督学习之逻辑回归

逻辑回归（Logistic Regression）

逻辑回归是一种用于二分类（binary classification）问题的统计模型。尽管其名称中有“回归”二字，但逻辑回归实际上用于分类任务。它的核心思想是通过将线性回归的输出映射到一个概率值，以进行类别预测。

1. 模型概述

逻辑回归的基本公式为：

$\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$

其中：

( $P (y = 1∣ x$ ) ) 是给定特征 ( $x$ ) 时，因变量 ( $y$ ) 等于 1 的概率。
( $\beta_0$ + $\beta_1x_1$ + $\beta_2 x_2$ + $\ldots$ + $\beta_n x_n$ ) 是线性组合。
( $\sigma(z)$ ) 是 sigmoid 函数，将输出值映射到 $0$ 到 $1$ 之间。

2. Sigmoid 函数

Sigmoid 函数的形状如下：

$\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$

当 ( $z$ ) 为负时，函数输出接近于 $0$ ；当 ( $z$ ) 为正时，函数输出接近于 $1$ 。
这种特性使得 sigmoid 函数非常适合用于概率预测。

3. 损失函数

逻辑回归的损失函数为交叉熵损失（cross-entropy loss），用于衡量模型预测与实际标签之间的差异。其公式为：

$L(\beta) = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} [y_i \log(\hat{y}_i) + (1-y_i) \log(1-\hat{y}_i)]$

其中：

( $N$ ) 是样本数量。
( $y_i$ ) 是实际标签。
( $\hat{y}_i$ ) 是预测概率。

逻辑回归的损失函数求解通常通过 最大似然估计 和 梯度下降 等优化算法进行。逻辑回归模型中常用的损失函数是 交叉熵损失，目标是通过最小化损失函数来找到最佳的模型参数。

1. 逻辑回归中的损失函数

（1）损失函数

逻辑回归的损失函数基于交叉熵（Cross-Entropy Loss），用于衡量模型预测的概率分布与实际标签之间的差异。对于二分类问题，其形式为：

$L(\beta) = - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left[ y_i \log(\hat{y}_i) + (1 - y_i) \log(1 - \hat{y}_i) \right]$

其中：

( $N$ ) 是样本数量。
( $y_i$ ) 是第 ( $i$ ) 个样本的真实标签（ $0$ 或 $1$ ）。
( $\hat{y}_i = \sigma(z_i)$ ) 是第 ( $i$ ) 个样本的预测概率。
( $z_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \dots + \beta_n x_{in}$ ) 是线性组合。
( $\sigma(z)$ ) 是 sigmoid 函数，定义为：
$\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$
这将线性回归的输出 ( $z$ ) 映射到 ( ( $0$ , $1$ ) ) 之间，作为类别为 $1$ 的预测概率。

（2）如何求解损失函数

求解逻辑回归的损失函数通常使用 梯度下降 等优化方法。目标是找到使损失函数最小的参数 ( $\beta$ )，即 最小化交叉熵损失。求解过程可以概括为以下步骤：

** 计算梯度**

为了最小化损失函数，我们需要对每个参数 ( $\beta_j$ ) 计算损失函数的偏导数（即梯度），并通过优化算法（如梯度下降）进行更新。

对于交叉熵损失函数，梯度计算公式为：

$\frac{\partial L}{\partial \beta_j} = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - \hat{y}_i) x_{ij}$
其中：

( $x_{ij}$ ) 是第 ( $i$ ) 个样本的第 ( $j$ ) 个特征。
( $y_i$ ) 是第 ( $i$ ) 个样本的实际标签。
( $\hat{y}_i$ ) 是第 ( $i$ ) 个样本的预测概率。

使用梯度下降更新参数 ，梯度下降法通过以下公式迭代更新参数：

$\beta_j = \beta_j - \alpha \frac{\partial L}{\partial \beta_j}$

其中：

( $\alpha$ ) 是学习率（控制每次更新步长的大小）。
( $\frac{\partial L}{\partial \beta_j}$ ) 是损失函数对参数 ( $\beta_j$ ) 的梯度。

通过不断更新参数，使得损失函数逐渐减小，直到达到全局或局部最优解。

（3）代码示例：逻辑回归中的梯度下降

以下是使用 Python 实现逻辑回归梯度下降的示例：

import numpy as np

# Sigmoid 函数
def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

# 损失函数 (交叉熵)
def compute_loss(y, y_pred):
    return -np.mean(y * np.log(y_pred) + (1 - y) * np.log(1 - y_pred))

# 梯度下降算法
def gradient_descent(X, y, learning_rate=0.1, num_iterations=1000):
    m, n = X.shape
    beta = np.zeros(n)  # 初始化参数
    for i in range(num_iterations):
        z = np.dot(X, beta)
        y_pred = sigmoid(z)
        gradients = np.dot(X.T, (y_pred - y)) / m
        beta -= learning_rate * gradients
        if i % 100 == 0:
            loss = compute_loss(y, y_pred)
            print(f"Iteration {i}: Loss = {loss}")
    return beta

# 示例数据
X = np.array([[1, 2], [1, 3], [2, 2], [2, 3]])  # 样本数据
y = np.array([0, 0, 1, 1])  # 标签数据

# 在样本数据前面加一列 1 用于偏置项 (截距项)
X_bias = np.c_[np.ones(X.shape[0]), X]

# 运行梯度下降求解参数
beta = gradient_descent(X_bias, y)
print("求解得到的参数:", beta)

4. 优缺点

优点：

简单易懂：逻辑回归模型简单，易于实现和解释。
概率输出：模型输出的是预测的概率，可以用于更细致的决策。
适用于线性可分问题：在特征与目标变量之间存在线性关系时，表现良好。

缺点：

线性假设：假设特征与目标之间存在线性关系，不适用于复杂的非线性关系。辑回归假设特征和类别之间的关系是线性的，对于复杂非线性问题，表现不如其他模型（如决策树、神经网络）。
受特征选择影响：模型对输入特征敏感，需要合适的特征选择和处理。
容易过拟合：在特征数量较多时，可能会发生过拟合，特别是当样本量不足时。
无法解决多分类问题：标准的逻辑回归只适用于二分类问题，若要应用于多分类问题，需要使用 Softmax 回归或一对多策略。

5. 代码示例

以下是使用 Python 的 scikit-learn 库实现逻辑回归的示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix, classification_report

# 生成示例数据
X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=2, n_classes=2, n_informative=2, n_redundant=0, random_state=42)

# 拆分数据集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 创建逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 进行预测
y_pred = model.predict(X_test)

# 评估模型
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
conf_matrix = confusion_matrix(y_test, y_pred)
class_report = classification_report(y_test, y_pred)

print("准确率:", accuracy)
print("混淆矩阵:\n", conf_matrix)
print("分类报告:\n", class_report)

# 绘制决策边界
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap='coolwarm', edgecolors='k')
xlim = plt.gca().get_xlim()
ylim = plt.gca().get_ylim()

xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(xlim[0], xlim[1], 100), np.linspace(ylim[0], ylim[1], 100))
Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)

plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.3, cmap='coolwarm')
plt.title('逻辑回归决策边界')
plt.xlabel('特征1')
plt.ylabel('特征2')
plt.show()