个人专栏—塑性力学

1.1 塑性力学基本概念 塑性力学基本概念
1.2 弹塑性材料的三杆桁架分析 弹塑性材料的三杆桁架分析
1.3 加载路径对桁架的影响 加载路径对桁架的影响
2.1 塑性力学——应力分析基本概念 应力分析基本概念
2.2 塑性力学——主应力、主方向、不变量 主应力、主方向、不变量

目录

• 个人专栏—塑性力学
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  • $等倾面上的应力、应变状态参数$
  • $应用示例$

$等倾面上的应力、应变状态参数$

• 研究塑性状态时，采用应力张量不变量可减少表示应力状态所必须的参量，采用八面体上的应力可达到同样的目的，因为其与应力张量不变量密切相关

• 等倾面：法线与三个应力主轴夹角相等的平面，由于等斜面体有8个，等斜面体也称为八面体面，如图所示

• 等倾面的法线方向余弦满足下列等式：
  $$\begin{array}{c}{l}_1^2+l_2^2+l_3^2=1\\ l_1=l_2=l_3=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ arccos|l|=54^{\circ }44^{{}^{\prime }}\end{array}$$

• 等倾面上的应力

由力的平衡条件可得
$$\begin{array}{c}\text{八面体合力为}{F}_8=\sqrt{({\sigma }_1{l}_1{)}^2+({\sigma }_2{l}_2{)}^2+({\sigma }_3{l}_3{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2}\\ {\sigma }_8={\sigma }_1{l}_1^2+{\sigma }_2{l}_2^2+{\sigma }_3{l}_3^2=\frac{1}{3}({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3)={\sigma }_m=\frac{J_1}{3}\\ {\tau }_8=\sqrt{|F_8{|}^2-{\sigma }_8^2}=\frac{1}{3}\sqrt{({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2}=\frac{2J_2^{{}^{\prime }}}{3}\end{array}$$
如图所示，$\pi$平面上 $\vec{S}$为八面体剪应力${\tau }_8$方向向量，$\vec{N}$为八面体正应力${\sigma }_8$方向向量，$P$为八面体合力$F_8$方向向量。

• $等效应力$

  • 等效应力作用是将复杂的应力状态化作一个具有相同“效应”的单向应力状态，从而可对不同应力状态的强度做出定量的描述和比较

  • 可以用于预测材料的失效和破坏、评估材料的强度特性以及研究材料的塑性变形行为。

• 单向拉伸试验： ${\sigma }_1=\sigma ,{\sigma }_2={\sigma }_3=0,J_2^{{}^{\prime }}=\frac{{\sigma }^2}{3}$
  $$\begin{array}{c}\text{定义等效正应力}\bar{\sigma }\equiv \sqrt{3J_2^{{}^{\prime }}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2}=\frac{3}{\sqrt{2}}{\tau }_8\end{array}$$

• $\bar{\sigma }$的特点：

  • 不表示作用于那个面上的应力
  • 与坐标轴方向无关
  • 与应力球张量无关
  • 各正应力减少或增加相同数值时，其值不变
  • 主应力全部变号时，其值不变

• 纯剪切 ${\sigma }_1=\tau ,{\sigma }_2=0,{\sigma }_3=-\tau$

$$\begin{array}{c}{J}_2^{{}^{\prime }}={\tau }^2\\ \text{定义等效剪应力}\bar{\tau }=\sqrt{J_2^{{}^{\prime }}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{({\sigma }_1{l}_1{)}^2+({\sigma }_2{l}_2{)}^2+({\sigma }_3{l}_3{)}^2}\end{array}$$

• 由等效正应力和等效剪应力可得：
  $$\{\begin{array}{l}{\tau }_8=\frac{\sqrt{2}}{3}\bar{\sigma }=\sqrt{\frac{2}{3}}\bar{\tau }=\sqrt{\frac{2}{3}{J}_2^{{}^{\prime }}}\\ \bar{\sigma }=\frac{3}{\sqrt{2}}{\tau }_8=\sqrt{3}\bar{\tau }=\sqrt{3J_2^{{}^{\prime }}}\\ \bar{\tau }=\frac{\sqrt{3}}{3}\bar{\sigma }=\sqrt{\frac{3}{2}}{\tau }_8=\sqrt{J_2^{{}^{\prime }}}\end{array}$$

$应用示例$

已知某点的应力状态$\begin{array}{rl}{S}_x& =50,S_y=-10,{\sigma }_m=50,\\ {\tau }_{xy}& =0,{\tau }_{yz}=20,{\tau }_{zx}=0\end{array}$,求主应力、八面体应力和应力强度。
$$\begin{array}{c}\text{由应力偏张量第一不变量可知}\\ J_1^{{}^{\prime }}=S_{11}+S_{22}+S_{33}={\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3-3{\sigma }_m=0\\ S_x+S_y+S_z=0\to S_z=-40\\ {\sigma }_x={\sigma }_m+S_x=100{\sigma }_y={\sigma }_m+S_y=40{\sigma }_z={\sigma }_m+S_z=10\\ {\sigma }^3-J_1{\sigma }^2+J_2\sigma -J_3=0\\ J_1={\sigma }_x+{\sigma }_y+{\sigma }_z=150\\ J_2={\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_y{\sigma }_z+{\sigma }_z{\sigma }_x-{\tau }_{xy}^2-{\tau }_{yz}^2-{\tau }_{zx}^2=5000\\ J_3={\sigma }_x{\sigma }_y{\sigma }_z+2{\tau }_{xy}{\tau }_{yz}{\tau }_{zx}-{\sigma }_x{\tau }_{yz}^2-{\sigma }_y{\tau }_{zx}^2-{\sigma }_z{\tau }_{xy}^2=0\\ \to {\sigma }^3-150{\sigma }^2+5000\sigma =0\\ \to {\sigma }_1=100,{\sigma }_2=50,{\sigma }_3=0\\ {\sigma }_8=\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3}{3}=50\\ {\tau }_8=\frac{1}{3}\sqrt{({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2}=40.28\\ \bar{\sigma }=\sqrt{\frac{1}{2}[({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2]}=86.59\end{array}$$