Python Numpy 实现神经网络自动训练：反向传播与激活函数的应用详解

Python Numpy 实现神经网络自动训练：反向传播与激活函数的应用详解

这篇文章介绍了如何使用 Python 的 Numpy 库来实现神经网络的自动训练，重点展示了反向传播算法和激活函数的应用。反向传播是神经网络训练的核心，能够通过计算梯度来优化模型参数，使得预测更加精准。文中详细演示了如何使用 Numpy 进行神经网络的前向预测、反向传播更新、误差计算，并通过引入 ReLU 等激活函数提升模型的非线性拟合能力。最后，通过对比训练前后的结果，展示了加入激活函数后模型性能的显著提升，适合初学者和爱好者学习神经网络的基础原理与应用。

文章目录

  • Python Numpy 实现神经网络自动训练：反向传播与激活函数的应用详解
      • 一 简单介绍反向传播
      • 二 用 Numpy 来做神经网络
        • 没有训练
        • 开始训练
      • 三 加入激活函数
        • 常用激活函数
        • 非线性计算，不加激活函数
        • 非线性计算，加入激活函数
      • 四 完整代码示例
      • 五 源码地址

一 简单介绍反向传播

反向传播（Backpropagation）是训练神经网络的核心算法，用于通过计算损失函数相对于网络各个参数的梯度，逐步优化这些参数，从而使模型的预测结果更加准确。使用梯度反向更新规则做神经网络参数优化调整。
这段代码计算每一层神经层的更新幅度，让神经网络对数据拟合变好，不理解先当工具方法记住。

def backprop(dz, layer, layer_in, learning_rate=0.01):
    """
    进行反向传播，更新当前层的权重和偏置，并计算传递给前一层的梯度。

    参数:
    dz: 当前层输出的梯度（损失函数对激活输出的偏导数）
    layer: 当前层的参数字典，包含权重 "w" 和偏置 "b"
    layer_in: 输入到当前层的激活值
    learning_rate: 学习率，用于控制参数更新的步长，默认值为 0.01

    返回:
    new_dz: 传递给前一层的梯度
    """

    # 计算损失函数对权重的梯度，layer_in.T 是当前层输入的转置，dot(dz) 进行矩阵乘法
    gw = layer_in.T.dot(dz)
    
    # 计算损失函数对偏置的梯度，按列求和，保留维度，求得每个偏置的梯度
    gb = np.sum(dz, axis=0, keepdims=True)
    
    # 计算传递给前一层的梯度，使用当前层的权重转置与 dz 相乘
    new_dz = dz.dot(layer["w"].T)
    
    # 更新当前层的权重：使用学习率乘以权重梯度，然后加到原有的权重上（梯度上升）
    layer["w"] += learning_rate * gw
    
    # 更新当前层的偏置：同样使用学习率乘以偏置梯度，然后加到原有的偏置上
    layer["b"] += learning_rate * gb
    
    # 返回传递给前一层的梯度，以便继续进行反向传播
    return new_dz

二 用 Numpy 来做神经网络

没有训练
def predict(x, l1, l2):
    o1 = x.dot(l1["w"]) + l1["b"]
    o2 = o1.dot(l2["w"]) + l2["b"]
    return [o1, o2]


def predict01():
    # 数据
    x = np.linspace(-1, 1, 10)[:, None]  # shape [10, 1]
    y = np.random.normal(loc=0, scale=0.2, size=[10, 1]) + x  # shape [10, 1]

    # 搭建模型
    l1 = layer(1, 3)
    l2 = layer(3, 1)

    draw_line(x, predict(x, l1, l2)[-1])
    draw_scatter(x, y)

运行结果

在这里插入图片描述

可以看出在没有训练的时候，模型预测的结果与实际 y 值在数量级上存在较大差异。

开始训练
def predict02():
    # 数据
    x = np.linspace(-1, 1, 10)[:, None]  # shape [10, 1]
    y = np.random.normal(loc=0, scale=0.2, size=[10, 1]) + x  # shape [10, 1]
    l1 = layer(1, 3)
    l2 = layer(3, 1)

    # 训练 50 次
    learning_rate = 0.01
    for i in range(50):
        # 前向预测
        o1, o2 = predict(x, l1, l2)

        # 误差计算
        if i % 10 == 0:
            average_cost = np.mean(np.square(o2 - y))
            print(average_cost)

        # 反向传播，梯度更新
        dz2 = -2 * (o2 - y)  # 输出误差 (o2 - y)**2 的导数
        dz1 = backprop(dz2, l2, o1)
        _ = backprop(dz1, l1, x)

    # 画一个训练后的图，对比上文中有数值问题的线
    draw_line(x, predict(x, l1, l2)[-1])
    draw_scatter(x, y)

运行结果

在这里插入图片描述

三 加入激活函数

常用激活函数
# 激活函数
def relu(x):
    return np.maximum(0, x)


def relu_derivative(x):  # 导数
    return np.where(x > 0, np.ones_like(x), np.zeros_like(x))


def tanh(x):
    return np.tanh(x)


def tanh_derivative(x):  # 导数
    return 1 - np.square(np.tanh(x))


def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))


def sigmoid_derivative(x):  # 导数
    o = sigmoid(x)
    return o * (1 - o)
非线性计算，不加激活函数
def predict03():
    # 非线性计算
    x = np.linspace(-1, 1, 30)[:, None]  # shape [30, 1]
    y = np.random.normal(loc=0, scale=0.2, size=[30, 1]) + x ** 2  # shape [30, 1]

    # draw_scatter(x, y)
    # 搭建模型
    l1 = layer(1, 10)
    l2 = layer(10, 1)

    # 训练 300 次
    learning_rate = 0.01
    for i in range(300):
        # 前向预测
        o1, o2 = predict(x, l1, l2)

        # 误差计算
        if i % 10 == 0:
            average_cost = np.mean(np.square(o2 - y))
            print(average_cost)

        # 反向传播，梯度更新
        dz2 = -2 * (o2 - y)  # 输出误差 (o2 - y)**2 的导数
        dz1 = backprop(dz2, l2, o1)
        _ = backprop(dz1, l1, x)

    draw_line(x, predict(x, l1, l2)[-1])
    draw_scatter(x, y)

运行结果

在这里插入图片描述

模型训练结果在量级上出现较大差距，欠拟合。

非线性计算，加入激活函数
def predict04():
    # 非线性计算
    x = np.linspace(-1, 1, 30)[:, None]  # shape [30, 1]
    y = np.random.normal(loc=0, scale=0.2, size=[30, 1]) + x ** 2  # shape [30, 1]
    # 搭建模型
    l1 = layer(1, 10)
    l2 = layer(10, 1)
    # 训练 300 次
    learning_rate = 0.01
    for i in range(300):
        # 前向预测
        o1, a1, o2 = predictjihuo(x, l1, l2)

        # 误差计算
        if i % 10 == 0:
            average_cost = np.mean(np.square(o2 - y))
            print(average_cost)

        # 反向传播，梯度更新
        dz2 = -2 * (o2 - y)  # 输出误差 (o2 - y)**2 的导数
        dz1 = backprop(dz2, l2, a1)
        dz1 *= relu_derivative(o1)  # 这里要添加对应激活函数的反向传播
        _ = backprop(dz1, l1, x)

    draw_line(x, predictjihuo(x, l1, l2)[-1])
    draw_scatter(x, y)

运行结果

在这里插入图片描述

模型成功拟合了这些异常数据点，说明非线性激活函数确实非常有效。

四 完整代码示例

# This is a sample Python script.
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np


# Press ⌃R to execute it or replace it with your code.
# Press Double ⇧ to search everywhere for classes, files, tool windows, actions, and settings.
def draw_scatter(x, y):
    # 使用 matplotlib 的 scatter 方法来绘制散点图
    # x.ravel() 和 y.ravel() 将 x 和 y 的二维数组转换为一维数组，适合作为散点图的输入
    plt.scatter(x.ravel(), y.ravel())
    # 显示图表
    plt.show()


def draw_line(x, y):
    idx = np.argsort(x.ravel())
    plt.plot(x.ravel()[idx], y.ravel()[idx])
    # plt.show()


def layer(in_dim, out_dim):
    weights = np.random.normal(loc=0, scale=0.1, size=[in_dim, out_dim])
    bias = np.full([1, out_dim], 0.1)
    return {"w": weights, "b": bias}


# 激活函数
def relu(x):
    return np.maximum(0, x)


def relu_derivative(x):  # 导数
    return np.where(x > 0, np.ones_like(x), np.zeros_like(x))


def tanh(x):
    return np.tanh(x)


def tanh_derivative(x):  # 导数
    return 1 - np.square(np.tanh(x))


def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))


def sigmoid_derivative(x):  # 导数
    o = sigmoid(x)
    return o * (1 - o)


def backprop(dz, layer, layer_in, learning_rate=0.01):
    """
    进行反向传播，更新当前层的权重和偏置，并计算传递给前一层的梯度。

    参数:
    dz: 当前层输出的梯度（损失函数对激活输出的偏导数）
    layer: 当前层的参数字典，包含权重 "w" 和偏置 "b"
    layer_in: 输入到当前层的激活值
    learning_rate: 学习率，用于控制参数更新的步长，默认值为 0.01

    返回:
    new_dz: 传递给前一层的梯度
    """

    # 计算损失函数对权重的梯度，layer_in.T 是当前层输入的转置，dot(dz) 进行矩阵乘法
    gw = layer_in.T.dot(dz)

    # 计算损失函数对偏置的梯度，按列求和，保留维度，求得每个偏置的梯度
    gb = np.sum(dz, axis=0, keepdims=True)

    # 计算传递给前一层的梯度，使用当前层的权重转置与 dz 相乘
    new_dz = dz.dot(layer["w"].T)

    # 更新当前层的权重：使用学习率乘以权重梯度，然后加到原有的权重上（梯度上升）
    layer["w"] += learning_rate * gw

    # 更新当前层的偏置：同样使用学习率乘以偏置梯度，然后加到原有的偏置上
    layer["b"] += learning_rate * gb

    # 返回传递给前一层的梯度，以便继续进行反向传播
    return new_dz


def predictjihuo(x, l1, l2):
    o1 = x.dot(l1["w"]) + l1["b"]
    a1 = relu(o1)  # 这里我添加了一个激活函数
    o2 = a1.dot(l2["w"]) + l2["b"]
    return [o1, a1, o2]


def predict(x, l1, l2):
    """
    预测函数，执行前向传播，计算两层神经网络的输出。

    参数:
    x: 输入数据，形状为 [N, 输入特征数]，此处为 [10, 1]。
    l1: 第一层的参数字典，包含权重 "w" 和偏置 "b"。
    l2: 第二层的参数字典，包含权重 "w" 和偏置 "b"。

    返回:
    o1: 第一层的输出结果。
    o2: 第二层的输出结果（最终输出）。
    """
    # 第一层的输出，x.dot(l1["w"]) 是线性组合，+ l1["b"] 加上偏置
    o1 = x.dot(l1["w"]) + l1["b"]

    # 第二层的输出，o1.dot(l2["w"]) 是线性组合，+ l2["b"] 加上偏置
    o2 = o1.dot(l2["w"]) + l2["b"]

    # 返回两层的输出，o1 为第一层的输出，o2 为最终的输出
    return [o1, o2]


def predict01():
    """
    模拟预测和数据绘制函数，包含数据生成、模型搭建、前向预测和绘图。
    """
    # 生成输入数据 x，使用 np.linspace 生成从 -1 到 1 的 10 个均匀分布的点，并reshape为 [10, 1]
    x = np.linspace(-1, 1, 10)[:, None]  # 形状 [10, 1]

    # 生成目标值 y，基于 x 加上高斯噪声，模拟真实数据，形状为 [10, 1]
    y = np.random.normal(loc=0, scale=0.2, size=[10, 1]) + x  # 形状 [10, 1]

    # 搭建神经网络模型
    # 第一层：输入维度为 1，输出维度为 3（即3个神经元）
    l1 = layer(1, 3)

    # 第二层：输入维度为 3，输出维度为 1
    l2 = layer(3, 1)

    # 使用 predict 函数进行前向传播，绘制预测结果
    # 只提取第二层的输出 o2 来绘制预测的线
    draw_line(x, predict(x, l1, l2)[-1])

    # 绘制真实数据点的散点图
    draw_scatter(x, y)


def predict02():
    # 数据
    x = np.linspace(-1, 1, 10)[:, None]  # shape [10, 1]
    y = np.random.normal(loc=0, scale=0.2, size=[10, 1]) + x  # shape [10, 1]
    l1 = layer(1, 3)
    l2 = layer(3, 1)

    # 训练 50 次
    learning_rate = 0.01
    for i in range(50):
        # 前向预测
        o1, o2 = predict(x, l1, l2)

        # 误差计算
        if i % 10 == 0:
            average_cost = np.mean(np.square(o2 - y))
            print(average_cost)

        # 反向传播，梯度更新
        dz2 = -2 * (o2 - y)  # 输出误差 (o2 - y)**2 的导数
        dz1 = backprop(dz2, l2, o1)
        _ = backprop(dz1, l1, x)

    # 画一个训练后的图，对比上文中有数值问题的线
    draw_line(x, predict(x, l1, l2)[-1])
    draw_scatter(x, y)


def predict03():
    # 非线性计算
    x = np.linspace(-1, 1, 30)[:, None]  # shape [30, 1]
    y = np.random.normal(loc=0, scale=0.2, size=[30, 1]) + x ** 2  # shape [30, 1]

    # draw_scatter(x, y)
    # 搭建模型
    l1 = layer(1, 10)
    l2 = layer(10, 1)

    # 训练 300 次
    learning_rate = 0.01
    for i in range(300):
        # 前向预测
        o1, o2 = predict(x, l1, l2)

        # 误差计算
        if i % 10 == 0:
            average_cost = np.mean(np.square(o2 - y))
            print(average_cost)

        # 反向传播，梯度更新
        dz2 = -2 * (o2 - y)  # 输出误差 (o2 - y)**2 的导数
        dz1 = backprop(dz2, l2, o1)
        _ = backprop(dz1, l1, x)

    draw_line(x, predict(x, l1, l2)[-1])
    draw_scatter(x, y)


def predict04():
    # 非线性计算
    x = np.linspace(-1, 1, 30)[:, None]  # shape [30, 1]
    y = np.random.normal(loc=0, scale=0.2, size=[30, 1]) + x ** 2  # shape [30, 1]
    # 搭建模型
    l1 = layer(1, 10)
    l2 = layer(10, 1)
    # 训练 300 次
    learning_rate = 0.01
    for i in range(300):
        # 前向预测
        o1, a1, o2 = predictjihuo(x, l1, l2)

        # 误差计算
        if i % 10 == 0:
            average_cost = np.mean(np.square(o2 - y))
            print(average_cost)

        # 反向传播，梯度更新
        dz2 = -2 * (o2 - y)  # 输出误差 (o2 - y)**2 的导数
        dz1 = backprop(dz2, l2, a1)
        dz1 *= relu_derivative(o1)  # 这里要添加对应激活函数的反向传播
        _ = backprop(dz1, l1, x)

    draw_line(x, predictjihuo(x, l1, l2)[-1])
    draw_scatter(x, y)


def print_hi(name):
    # Use a breakpoint in the code line below to debug your script.
    print(f'Hi, {name}')  # Press ⌘F8 to toggle the breakpoint.
    # 模型前向预测
    # 数据
    x = np.linspace(-1, 1, 10)[:, None]  # shape [10, 1]
    y = np.random.normal(loc=0, scale=0.2, size=[10, 1]) + x  # shape [10, 1]
    # draw_scatter(x, y)
    # 模型
    l1 = layer(1, 3)
    l2 = layer(3, 1)

    # 计算
    o = x.dot(l1["w"]) + l1["b"]
    print("第一层出来后的 shape:", o.shape)

    o = o.dot(l2["w"]) + l2["b"]
    print("第二层出来后的 shape:", o.shape)

    print("output:", o)
    # draw_scatter(x, o)
    # 简单介绍反向传播
    # predict01()
    # predict02()
    # 加入激活函数
    # 非线性计算,没有激活函数的网络训练,量级上的差距大
    # predict03()
    # 非线性计算,加入激活函数
    predict04()


# Press the green button in the gutter to run the script.
if __name__ == '__main__':
    print_hi('神经网络-自动训练')

# See PyCharm help at https://www.jetbrains.com/help/pycharm/

复制粘贴并覆盖到你的 main.py 中运行，运行结果如下。

Hi, 神经网络-自动训练
第一层出来后的 shape: (10, 3)
第二层出来后的 shape: (10, 1)
output: [[0.08015376]
 [0.08221984]
 [0.08428592]
 [0.086352  ]
 [0.08841808]
 [0.09048416]
 [0.09255024]
 [0.09461632]
 [0.0966824 ]
 [0.09874848]]
0.2226335913018929
0.18084056623965614
0.17646520657891238
0.16955062165383475
0.15974897747454914
0.14609449775016456
0.12879398035319886
0.11000871768876343
0.09272999949822598
0.07986100731357502
0.07149628207512877
0.06657668787644673
0.06412748050655417
0.06308965708664192
0.06255298788129363
0.06233764319523034
0.06229224784095634
0.062220235356859256
0.06227320308423159
0.06227607241875045
0.06218961938206315
0.062183519685144004
0.06220136162617964
0.062260925337883535
0.06228186644083771
0.062212564435570314
0.06214763225225857
0.062190709318072676
0.06225667345334308
0.06227302776778138

五 源码地址

代码地址：

国内看 Gitee 之 numpy/神经网络-自动训练.py

国外看 GitHub 之 numpy/神经网络-自动训练.py

引用 莫烦 Python

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【MATLAB实例】批量提取.csv数据并根据变量名筛选

【MATLAB实例】批量提取.csv数据并根据变量名筛选 准备&#xff1a;数据说明MATLAB批量提取参考 准备&#xff1a;数据说明 .csv数据如下&#xff1a; 打开某表格数据&#xff0c;如下&#xff1a;&#xff08;需要说明的是此数据含表头&#xff09; 需求说明&#xff1a;需…
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升级Unity后产生的Objects内存泄露现象

升级Unity后产生的Objects内存泄露现象

1&#xff09;升级Unity后产生的Objects内存泄露现象 2&#xff09;能否使用OnDemandRendering API来显示帧率 3&#xff09;Unity闪退问题 4&#xff09;配置表堆内存如何优化 这是第405篇UWA技术知识分享的推送&#xff0c;精选了UWA社区的热门话题&#xff0c;涵盖了UWA问答…
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中航资本：大幅加仓！社保基金重仓股曝光

中航资本：大幅加仓！社保基金重仓股曝光

跟着上市公司三季报布满宣告&#xff0c;社保基金2024年三季度末重仓股及持股改变状况浮出水面。 Wind数据闪现&#xff0c;到10月21日&#xff0c;已有191家上市公司宣告了2024年三季报&#xff0c;其间有34家上市公司的前十大流通股东中呈现了社保基金的身影&#xff0c;社保…
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从零开始学PHP之变量作用域数据类型

从零开始学PHP之变量作用域数据类型

一、数据类型 上篇文章提到了数据类型&#xff0c;在PHP中支持以下几种类型 String &#xff08;字符串&#xff09;Integer&#xff08;整型&#xff09;Float &#xff08;浮点型&#xff09;Boolean&#xff08;布尔型&#xff09;Array&#xff08;数组&#xff09;Objec…
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天锐绿盾 vs Ping32：企业级加密软件大比拼

天锐绿盾 vs Ping32：企业级加密软件大比拼

在信息安全日益重要的今天&#xff0c;企业级加密软件成为了企业保护敏感数据的得力助手。在众多加密软件中&#xff0c;天锐绿盾与Ping32凭借各自的优势&#xff0c;赢得了市场的广泛认可。那么&#xff0c;这两款软件究竟有何异同&#xff1f;哪款更适合您的企业呢&#xff1…
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Java 输入与输出（I/O)流的装饰流【处理流】

Java 输入与输出（I/O)流的装饰流【处理流】

Java I/O流的装饰流 按照Java 输入与输出&#xff08;I/O)流的处理功能&#xff1a;I/O流可分为低级的节点流和高级的装饰流&#xff08;又称处理流&#xff09;。 节点流是直接从数据源&#xff08;数据源可以是文件、数组、内存或网络&#xff09;读/写数据的输入输出流&am…
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西南交通大学计算机软件专业上岸难度分析

西南交通大学计算机软件专业上岸难度分析

C哥专业提供——计软考研院校选择分析专业课备考指南规划 西南交通大学计算机科学与技术2024届考研难度整体呈现"稳中有升"的态势。学硕实际录取33人&#xff0c;复试分数线362分&#xff0c;复试录取率71.74%&#xff1b;专硕&#xff08;计算机技术&#xff09;实际…
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Mac M3安装VMWare Fusion

Mac M3安装VMWare Fusion

最近学习Spark需要下载VM Ware&#xff0c;但是我的电脑是MAC M3系列&#xff0c;百度说不能下载Workstation Pro&#xff0c;Workstation Pro 适用于Windows、Linux系统。而MAC M系列电脑需要下载Fusion Pro 。 Fusion Pro的下载页面很难找到。根据以下指引可正确下载&#x…
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OpenCV物体跟踪：使用CSRT算法实现实时跟踪

OpenCV物体跟踪：使用CSRT算法实现实时跟踪

目录 简介 CSRT算法简介 实现步骤 1. 初始化摄像头和跟踪器 2. 读取视频帧和初始化跟踪 3. 实时跟踪和显示结果 4. 显示和退出 5、结果展示 总结 简介 在计算机视觉和视频处理领域&#xff0c;物体跟踪是一项核心技术&#xff0c;它在监控、人机交互、运动分析等方面…
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纯前端实现语音合成并输出提示

纯前端实现语音合成并输出提示

<!DOCTYPE html> <html lang"zh-CN"> <head><meta charset"UTF-8"><meta name"viewport" content"widthdevice-width, initial-scale1.0"><title>语音合成</title><style>body {max-…
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解决mac ssh端终端只有黑白颜色的问题

解决mac ssh端终端只有黑白颜色的问题

主要是因为没有开启颜色配置。修改下文件即可 cd ~ vi .zshrc 内容如下 export LS_OPTIONS--colorauto export CLICOLORYes export LSCOLORSExgxcxdxcxegedabagGxGx 关闭终端后重登录&#xff0c;这下有颜色了好看了 配色&#xff1a;目录蓝 可执行绿 软链青 颜色配置 详…
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使用网络爬虫爬取豆瓣电影网站的数据

使用网络爬虫爬取豆瓣电影网站的数据

&#x1f468;‍&#x1f4bb;个人主页&#xff1a;开发者-曼亿点 &#x1f468;‍&#x1f4bb; hallo 欢迎 点赞&#x1f44d; 收藏⭐ 留言&#x1f4dd; 加关注✅! &#x1f468;‍&#x1f4bb; 本文由 曼亿点 原创 &#x1f468;‍&#x1f4bb; 收录于专栏&#xff1a…
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MySQL数据库操作——（4）

MySQL数据库操作——（4）

目录 8 视图 8.1 常见的数据库对象 8.2 视图概述 8.2.1 为什么使用视图&#xff1f; 8.2.2 视图的理解 8.3 创建视图 8.3.1 创建单表视图 8.3.2 创建多表联合视图 8.3.3 基于视图创建视图 8.4 查看视图 8.5 更新视图的数据 8.5.1 一般情况 8.6 修改、删除视图 8.…
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