概率期望与方差

一、期望

1、定义

对随机变量可能取值的加权平均，其中权重是每个可能取值的概率。用E表示，如x是随机变量，则该期望为EX

2、离散型随机变量的期望

对于离散随机变量 X ，其可能的取值为 x1,x2,…,xn，对应的概率为 E(X)=（ $p_i$ * $x_i$ ）的累计之和。

例如1：三个人的体重分别为150、165、180，求体重的期望值

EX = 1/3 * 150 + 1/3 * 165 +1/3 *180 = 165

例如2：学校举行歌唱比赛，假设给一个参赛选手打分，专业评委打分90，老师打分100，学生打分80，专业评委分数权重为0.9，老师权重为0.09，学生权重为0.01，求给该选手的打分期望值。

解：设x为打分值，则p(x) 为对应权重

则 EX=90*0.9 + 100*0.09+80*0.01 = 90.8

3、离散型随机变量函数的期望

同离散型随机变量的期望一样，将x取值变更为y的取值（即从x=1 变成y=3（y=3x）这样），EY=（ $p_i$ * $y_i$ ）的累计之和。

例如：假设X的概率分布表如下，Y=4X+1，求Y的期望：

X	0	1	2
P	0.1	0.6	0.3

解：EX=（4x+1）*p(x) = (4*0+1)*0.1 +(4*1+1)*0.6+(4*2+1)*0.3 = 0.1+3+2.7=5.8

4、连续型随机变量的期望

连续随机变量 X ，其概率密度函数为 f(x) ，则 X 的数学期望定义为：E(X)=∫ x*f(x) dx

例如：已知概率密度函数，求期望值

解：EX= ∫ x * 2x dx = 2/3 * $x^3$ $|_0^1$ =2/3

5、连续型随机变量函数的期望

同上面例子，EY=∫ Y*f(x) dx = ∫ g(x)*f(x) dx。

例如：假设密度函数，函数Y=4X+1，求Y的期望

解：带入公式 EY==∫ Y*f(x) dx = ∫ g(x)*f(x) dx = $\int_0^2$ (4X+1)*1/2 dx = $x^2$ +1/2*x $|_0^2$ = 5

6、二维离散型随机变量函数的期望

同（3）定义，令Z=g(X,Y) ，概率变为 P(X= $x_i$ ,Y= $y_j$ )= $p_{ij}$ ，那么期望公式就变成了 EZ=(g(x,y) * $p_{ij}$ )的累计之和。

例如：

假设X、Y联合概率分布表如下，求 Z= $X^2$ -Y 的期望

X\y	0	1	2
1	0.1	0.1	0.2
2	0.2	0.2	jie解：代入公式 EZ=(g(x,y) * $p_{ij}$ ++) = （ $X^2$ -Y） * $p$ = （11-0） 0.1 +（22-0） 0.2+（11-1） 0.1+（22-1） 0.2+（11-2） 0.2+（22-2） 0.2 =0.1+0.8+0+0.6-0.2+0.4=1.7

7、二维连续型随机变量函数的期望

同（5）定义，令Z=g(X,Y)，那么z的期望就是z的值乘上（x,y）的联合密度函数（概率）f(x,y)的累计之和，EZ=∫∫ z * f(x,y) dx dy = ∫∫ g(x,y) * f(x,y) dx dy

例如：假设X、Y的联合密度函数，求z=xy的期望

解：带入公式EZ=∫∫ z * f(x,y) dx dy = ∫∫ g(x,y) * f(x,y) dx dy = $\int_0^1$ $\int_0^1$ xy * (x+y) dx dy = $\int_0^1$ $x^2y^2/2$ + $xy^3/3$ $|_0^1$ dx = $\int_0^1$ $x^2/2$ + $x/3$ dx = ${(x^3+x^2)}/6$ $|_0^1$ = 1/3