本文概述了在GeoGebra中如何使用笛卡尔或极坐标系输入点和向量。用户可以通过指令栏输入数字和角度，使用工具或指令创建点和向量。在笛卡尔坐标系中，示例如“P=(1,0)”；在极坐标系中，示例如“P=(1;0)”或“v=(5;90°)”。文章还介绍了点和向量的运算，如中点计算和向量模的求解，以及向量积的应用。

一、点和向量

在数学中，点和向量是基本的几何概念，用于描述空间中的位置和方向。

1. 点

点是几何空间中的基本元素之一，用来表示特定位置或位置的集合。在笛卡尔坐标系中，点可以用一对有序数对 (x,y)(x,y) 来表示，其中 xx
表示点在 x 轴上的坐标，yy 表示点在 y 轴上的坐标；例如，点 A可以表示为 A=(1,2)。在极坐标系中，点由极径r 和极角 θ 描述，例如，P=(1,45∘) 表示到原点距离为1，与正 x 轴夹角为45度的点。

2. 向量

向量是具有大小和方向的量，在数学和物理中用来表示从一个点到另一个点的箭头或位移。在笛卡尔坐标系中，向量可以用两点之间的差来表示，例如
向量AB=向量B−向量A，表示从点 A 到点 B 的位移向量。在极坐标系中，向量同样由极径和极角来表示，例如 向量v=(r,θ)，表示长度为
r ，方向与极角 θ 相同的向量。

二、GeoGebra中输入点和向量

1. 点的输入

点的输入可以分为笛卡尔坐标系输入、极坐标输入、工具输入三种方式：

（1）笛卡尔坐标系输入

这种输入唯一需要注意的就是标签要大写，因为在最新版本的GeoGebra中，如果是小写的点就变成了向量，大写的点才是点；

（2）极坐标输入

若需要输入极坐标，建议先切换到极坐标系中。

极坐标的输入可以用下边这几种方式进行：

P=(1; 0)
p=(1; 90°)
q=(1; ((π)/(4)))

1. 注意中间的是分号；
2. 注意如果是角度要写度数；
3. 注意，没有写度数GeoGebra默认是弧度；
4. 注意，可以写弧度，π的敲法是直接输入pi就可以了；

（3）工具栏输入

这个就没什么讲的哈，太简单，可以参考下文章：《004-GeoGebra基础篇-GeoGebra的点》

2. 向量的输入

点的输入可以分为笛卡尔坐标系输入、极坐标输入、工具输入三种方式：

（1）笛卡尔坐标系输入

若在笛卡尔坐标系输入向量，和输入点是一样的，只不过将大写换成小写就可以了。

p=(1,1)

如果我从算式输入行直接复制，会变成这样（说明系统建议这么输入）：

p={{1},{1}}

还有一种方式是两点构成一个向量，这种输入方法为：

Vector[(1, 2), (3, 4)]

（2）极坐标系输入

大写的字母输入出来是极坐标点，小写的字母输入后就是极坐标向量了。

q=(2; ((π)/(6)))

当然，上边的向量是基于原点，非基于原点的向量创建如下所示：

A = (r1; θ1)
B = (r2; θ2)
u = Vector[A, B]

（3）工具栏输入

注意，如果是极坐标的向量，不建议使用工具输入，因为输入的向量本质是笛卡尔坐标系的内容，我们一起看下算式栏的内容（这可能不是大家想要的）：

如果是笛卡尔坐标系的向量，倒是可以采用这种方式，但需要注意，系统默认给我们设置了点，并使用了Vector向量

A=Intersect(xAxis,yAxis)
B=(0.6,0.4)
u=Vector(A,B)

三、GeoGebra中点、向量的计算

1. 点的运算

（1）在笛卡尔坐标系中点的运算

，点的运算目前主要集中在加、减、乘、除之上，可以研究下这几句算式：

A=(0,0)
B=(6,0)
M1=A+B //(6,0)
M2=A-B //(-6,0)
M3=A+(2,2)	// (2,2)
M4=M3/2	//(1,1)

汇总来看，在GeoGebra中，点可以直接加减，十分方便。

另外需要注意，在GeoGebra中可以使用预留的函数x()、y()，这个在作图过程中非常实用，比如x(M4)=1

（2）在极坐标系中点的运算

在极坐标系中，点的运算也主要集中在加、减、乘、除之上：

P=(2; ((π)/(4)))
Q=(3; ((π)/(3)))
N1=P+Q
N2=P-Q
N3=Q-P
N4=P*2

（3）在极坐标系中点运算的含义

关于相加

在极坐标系中，两个极坐标点相加的含义是将它们表示的向量相加。每个极坐标点可以用一个长度（模）和一个方向角（角度或弧度）来描述。

具体地说，如果有两个极坐标点$(r_1,{\theta }_1)$和$(r_2,{\theta }_2)$，它们分别表示长度为$r_1$和$r_2$，方向角为${\theta }_1$和${\theta }_2$的向量。
将这两个向量相加得到的结果向量的极坐标可以通过以下公式计算：
$$(r_1,{\theta }_1)+(r_2,{\theta }_2)=\left(\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)},{\theta }_1+{\tan }^{-1}\left(\frac{r_2\sin ({\theta }_2-{\theta }_1)}{r_1+r_2\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)}\right)\right)$$

这里，$\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)}$是结果向量的长度，${\theta }_1+{\tan }^{-1}\left(\frac{r_2\sin ({\theta }_2-{\theta }_1)}{r_1+r_2\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)}\right)$是结果向量的方向角。

因此，两个极坐标点相加的含义是将它们表示的两个向量进行向量加法，得到一个新的向量，其长度和方向角是根据上述公式计算得到的。

关于相减

极坐标系统中点的表示法是用极径（半径$r$）和极角（角度$\theta$）来描述的。在极坐标中，点的相减运算通常指的是将两个极坐标点相减并得到一个新的向量或极坐标点，这涉及到向量运算的转换。我们需要将极坐标转换为笛卡尔坐标进行运算，然后再将结果转换回极坐标。

具体步骤如下：

将极坐标点转换为笛卡尔坐标：
对于点$A$$($$r_1,{\theta }_1$)，对应的笛卡尔坐标为：$$A_x=r_1\cos {\theta }_1,A_y=r_1\sin {\theta }_1$$对于点$B$$($$r_2,{\theta }_2$)，对应的笛卡尔坐标为：$$B_x=r_2\cos {\theta }_2,B_y=r_2\sin {\theta }_2$$进行点的相减运算（笛卡尔坐标系中）：
新点$C$的坐标为：$$C_x=A_x-B_x,C_y=A_y-B_y$$ 将结果转换回极坐标：
新点$C$的极径$r_c$和极角${\theta }_c$计算如下：$$r_c=\sqrt{C_x^2+C_y^2},{\theta }_c=\arctan 2(C_y,C_x)$$因此，极坐标点相减的运算实际上是通过笛卡尔坐标系中的向量减法来实现的，并且结果也是一个向量，表示从一个点指向另一个点的方向和距离。

通过这种方式，你可以理解为极坐标点的相减运算在几何上是表示从一个点到另一个点的向量。

2. 向量的运算

（1）在笛卡尔坐标系中向量的运算

在GeoGebra中，笛卡尔坐标系下向量的运算可以通过图形界面和命令行两种方式进行，因为图形界面过于简单（直接拖动出一个向量或者是新建俩点再拖向量）这里就不过多赘述了，主要讲一下如何通过命令行方式进行操作。

接下来向量的运算以这个为基础。

加、减、标量乘法

u=p+q
v=p-q
w=q*2

点积

理论上需要这么输入

a=Dot(p,q)

实际上只需要这么输入就可以了（默认是点积）

a=pq

叉乘（只适用于三维向量，这里不作举例）

Cross[u, v]

向量的长度

a=Length(p)

向量的单位化

u=UnitVector(p)

（2）在极坐标系中向量的运算

尽管GeoGebra主要以笛卡尔坐标系操作为主，但我们可以使用一些方法在极坐标系中进行向量运算。假设我们有两个极坐标系中的向量：向量$\mathbf{A}$的极坐标是$(r_1,{\theta }_1)$$=$$(5,45^{\circ })$ 向量$\mathbf{B}$的极坐标是$(r_2,{\theta }_2)$$=$$(3,120^{\circ })$

1. 将极坐标转换为笛卡尔坐标：
   $$A_x=r_1\cdot \cos ({\theta }_1)$$$$A_y=r_1\cdot \sin ({\theta }_1)$$$$B_x=r_2\cdot \cos ({\theta }_2)$$$$B_y=r_2\cdot \sin ({\theta }_2)$$计算：
   $${\theta }_1=45^{\circ }=\frac{\pi }{4}弧度$$
   $${\theta }_2=120^{\circ }=\frac{2\pi }{3}弧度$$
   对于向量$\mathbf{A}$
   $$A_x=5\cdot \cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 3.54$$$$A_y=5\cdot \sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 3.54$$
   对于向量$\mathbf{B}$：
   $$B_x=3\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)=3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1.5$$$$B_y=3\cdot \sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 2.598$$
2. 计算向量和的笛卡尔坐标
   将两个向量的笛卡尔坐标相加：
   $$C_x=A_x+B_x=3.54-1.5=2.04$$$$C_y=A_y+B_y=3.54+2.598=6.138$$
3. 将结果转换回极坐标
   计算新的极径$r$和极角$\theta$$：$$$r=\sqrt{C_x^2+C_y^2}=\sqrt{2.04^2+6.138^2}\approx \sqrt{4.16+37.66}\approx \sqrt{41.82}\approx 6.46$$$$\theta =\arctan 2(C_y,C_x)=\arctan 2(6.138,2.04)\approx 71.6^{\circ }$$
4. 结果
   因此，两个向量在极坐标系中的和为$(r,\theta )$$\approx$$(6.46,71.6^{\circ })$$。$

五、文章最后

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