简单线性回归分析-基于R语言

本题中，在不含截距的简单线性回归中，用零假设 $H_{0}:\beta=0$ 对 $t$ 统计量进行假设检验。首先，我们使用下面方法生成预测变量x和响应变量y。

set.seed(1)
x <- rnorm(100)
y <- 2*x+rnorm(100)

（a）不含截距的线性回归模型 $y=\beta x+\epsilon$ 构建。

（1）建立y关于x的不含截距项的简单线性回归。估计系数 $\hat{\beta}$ 及其标准差、t 统计量和与零假设相关的p值。分析这些结果。

这里我们使用下面代码实现没有截距的简单线性回归。

lm(y~x+0)

代码如下：

set.seed(1)
x = rnorm(100)
y = 2*x + rnorm(100)

lm.fit = lm(y~x+0)
summary(lm.fit)

输出结果：

Call:
lm(formula = y ~ x + 0)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.9154 -0.6472 -0.1771  0.5056  2.3109 

Coefficients:
  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
x   1.9939     0.1065   18.73   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.9586 on 99 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7798,	Adjusted R-squared:  0.7776 
F-statistic: 350.7 on 1 and 99 DF,  p-value: < 2.2e-16

由输出结果得出：

简单线性回归方程：

$\hat{y}=1.9939x$

其中：

$\hat{\beta}=1.9939$

$SE=0.1065$

$t\,value=18.73$

其中：t 统计量的 p 值接近于零，因此拒绝原假设。

（b）参数估计。

（2）建立x关于y的不含截距项的简单线性回归。估计系数 $\hat{\beta}$ 及其标准差、t 统计量和与零假设相关的p值。分析这些结果。

lm.fit = lm(x~y+0)
summary(lm.fit)

输出结果：

Call:
lm(formula = x ~ y + 0)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-0.8699 -0.2368  0.1030  0.2858  0.8938 

Coefficients:
  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
y  0.39111    0.02089   18.73   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.4246 on 99 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7798,	Adjusted R-squared:  0.7776 
F-statistic: 350.7 on 1 and 99 DF,  p-value: < 2.2e-16

由输出结果得出：

简单线性回归方程：

$\hat{x}=0.3911y$

其中：

$\hat{\beta}=0.3911$

$SE=0.0209$

$t\,value=18.73$

其中： t 统计量的 p 值接近于零，因此拒绝原假设。

（c）模型结果分析。

（3）（1）和（2）所得到的结果有什么关系？

（1）和（2）的结果反映了同一个线性关系模型， $y = 2x + \epsilon$ 和 $x = 0.5 * (y - \epsilon)$ 在一定程度上是等价的线性关系模型，他们的 t 值都等于 18.73。

（d）t 统计量检验证明。

（4）对于y对x的不含截距的简单线性回归，零假设： $H_{0}:\beta=0$ 的 t 统计量具有 $\frac{\hat{\beta}}{SE(\hat{\beta})}$ 的形式，其中 $\hat{\beta}$ 由下式给出，其中：

$SE(\hat{\beta}) = \sqrt{\frac {\sum{(y_i - x_i \hat{\beta})^2}} {(n-1) \sum{x_i^2}}}$

用代数的方法证明上面式子可以写成如下形式，并在R中进行确认。

证明：

$\begin{array}{cc} t = \hat{\beta} / SE(\hat{\beta}) \\ \\ \hat{\beta} = \frac {\sum{x_i y_i}} {\sum{x_i^2}} \\ \\ SE(\hat{\beta}) = \sqrt{\frac {\sum{(y_i - x_i \hat{\beta})^2}} {(n-1) \sum{x_i^2}}} \\ \\ t = {\frac {\sum{x_i y_i}} {\sum{x_i^2}}} {\sqrt{\frac {(n-1) \sum{x_i^2}} {\sum{(y_i - x_i \hat{\beta})^2}}}} \\ \\ = \frac {\sqrt{n-1} \sum{x_i y_i}} {\sqrt{\sum{x_i^2} \sum{(y_i - x_i \hat{\beta})^2}}} \\ \\ = \frac {\sqrt{n-1} \sum{x_i y_i}} {\sqrt{\sum{x_i^2} \sum{(y_i^2 - 2 \hat{\beta} x_i y_i + x_i^2 \hat{\beta}^2)}}} \\ \\ = \frac {\sqrt{n-1} \sum{x_i y_i}} {\sqrt{\sum{x_i^2} \sum{y_i^2} - \sum{x_i^2} \hat{\beta} (2 \sum{x_i y_i} - \hat{\beta} \sum{x_i^2})}} \\ \\ = \frac {\sqrt{n-1} \sum{x_i y_i}} {\sqrt{\sum{x_i^2} \sum{y_i^2} - \sum{x_i y_i} (2 \sum{x_i y_i} - \sum{x_i y_i})}} \\ \\ t = \frac {\sqrt{n-1} \sum{x_i y_i}} {\sqrt{\sum{x_i^2} \sum{y_i^2} - (\sum{x_i y_i})^2 }} \end{array}$

R语言验证：

sqrt(length(x)-1) * sum(x*y)) / (sqrt(sum(x*x) * sum(y*y) - (sum(x*y))^2)

[1] 18.72593

由输出结果得出：这与上面显示的 t 统计量相同。

（e）简单线性回归中y对x回归与x对y回归的 t 统计量相等。

（f1）无截距情况证明：

（5）用（4）的结果证明y对x回归与x对y回归的 t 统计量相等。

如果你把 t（x，y）换成 t（y，x），那么你会发现 t（x，y） = t（y，x）。

$t(x,y) = \frac {\sqrt{n-1} \sum{x_i y_i}} {\sqrt{\sum{x_i^2} \sum{y_i^2} - (\sum{x_i y_i})^2 }}=t(y,x)$

（f2）有截距情况 $y=\beta_{1} x+\beta_{0}+ \epsilon$ 证明：

(6）在R中证明在截距的回归中，零假设： $H_{0}:\beta_{1}=0$ 的 t 统计量在y对x的回归中和x对y的回归中是一样的。

代码如下：

lm.fit = lm(y~x)
lm.fit2 = lm(x~y)

summary(lm.fit)

输出:

Call:
lm(formula = y ~ x)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.8768 -0.6138 -0.1395  0.5394  2.3462 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.03769    0.09699  -0.389    0.698    
x            1.99894    0.10773  18.556   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.9628 on 98 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7784,	Adjusted R-squared:  0.7762 
F-statistic: 344.3 on 1 and 98 DF,  p-value: < 2.2e-16

summary(lm.fit2)

输出：

Call:
lm(formula = x ~ y)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.90848 -0.28101  0.06274  0.24570  0.85736 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  0.03880    0.04266    0.91    0.365    
y            0.38942    0.02099   18.56   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.4249 on 98 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7784,	Adjusted R-squared:  0.7762 
F-statistic: 344.3 on 1 and 98 DF,  p-value: < 2.2e-16

由表格结果，零假设： $H_{0}:\beta_{1}=0$ 的 t 统计量在y对x的回归中为18.556，在x对y的回归中为18.56，说明在截距的回归中，零假设： $H_{0}:\beta_{1}=0$ 的 t 统计量在y对x的回归中和x对y的回归中是一样的。

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