11.梯度下降法的思想——举足轻重的模型优化算法

引言

优化算法在机器学习和人工智能中扮演者至关重要的角色。机器学习模型的训练过程本质上是一个优化问题，即通过调整模型参数来最小化损失函数。梯度下降法(Gradient Descent)在优化算法中占据着重要的地位，因其简单、有效且易于实现。

通过阅读本篇博客，你可以：

1.掌握梯度下降法的概念

2.了解如何设置学习率

一、梯度下降法的概念

1.梯度下降法的简述

梯度下降法(Gradient Descent)是一个算法。但不是像多元线性回归那样的一个具体做回归任务的算法，而是一个非常通用的优化算法。我们可以使用它来求解模型的最优解。所有优化算法的目的都是期望以最快的速度把模型参数 $\theta$ 求解出来，梯度下降法就是一种经典的常用的优化算法。

2.使用梯度下降法的原因

在之前的博客10.解析解方法推导线性回归——不容小觑的线性回归算法-CSDN博客中我们利用 $\theta$ 的解析解公式去求解MSE损失函数为凸函数的最优解。但如果我们机器学习的损失函数是非凸函数的话，设置梯度为0会得到很多个极值，甚至可能得到极大值！

换一个角度，我们之前利用的解析解公式 $\theta = (X^{T}X)^{-1}X^{T}y$ 来求解最优解。我们设 $X^{T}X$ 是一个 $n * n$ 的矩阵，考虑到 $X^{T}X$ 是一个对称正定矩阵，求逆可以使用矩阵分解来进行(可以使常数因子复杂度更低)，这样就能使求逆的复杂度为 $O(n^{3})$ 。整体的时间复杂度受求逆操作的影响，时间复杂度会高达 $O(n^{3})$ 。显而易见，这个方法整体的时间复杂度是相当高的。

从上述可以得出，使用 $\theta$ 的解析解公式求解并不是机器学习甚至是深度学习常用的手段。而我们在大部分情况下会使用梯度下降法去求解最优解。

3.梯度下降的思想

上图中，横轴代表 $\theta$ ，纵轴代表损失。我们要去寻找损失最低的点，就是 $\theta$ 的最优解。计算机会随机初始化一个 $\theta$ (这里的 $\theta$ 不是一个值，而是一个向量 $\omega _{0},...,\omega_{n}$ )，有了 $\theta$ 之后我们就可以根据公式计算出 $\hat{y}$ ( $\hat{y} = X \theta$ )。然后根据 $\hat{y}$ 与真实值 $y$ 之间的损失去算出MSE。最后调整 $\theta$ 再循环往复，一直到找到最优解为止。这就像我们问朋友工资是多少，他会说"你猜？"。我们肯定会随机说出一个数字，他就会告诉你猜低了或者猜高了，这样我们就可以奔着对方的方向一直猜下去，直到猜对了为止。梯度下降法就是这样的，只有得到了正确的反馈后继续猜才有意义。

4.梯度下降公式

梯度下降公式用于更新 $\theta$ ，以最小化目标函数，其基本形式为:

$W^{t+1}_{j} = W^{t}_j - \eta \cdot gradient_{j}$

这里的 $W^{t}_{j}$ 就是 $\theta$ 中的某一个，这里的 $\eta$ 就是下图的 Learning step(学习率Learning rate)，这个学习率我们就可以看作损失下降的步伐大小。

在大多数情况下，学习率都是正数。如果 $W$ 在最低点的左侧，则梯度是负数，那么我们的 $W$ 就会往大了调；如果 $W$ 在最低点的右侧，则梯度是正数，那么我们的 $W$ 就是往小了调。每次 $W$ 的调整幅度都是 $\eta \cdot graident$ ，就是在横轴上的移动距离。

算法的维度和特征越多，那么这个公式的调用次数就越多。由于 $W_{0}$ 的存在， $n$ 维的算法每次迭代要应用这个式子 $n+1$ 次。 $\theta$ 对应的是多个维度，每个维度都可以画一个与上述一样的图。

观察上图，我们可以发现不是某一个 $\theta_{0}$ 或 $\theta_{1}$ 找到最小值就是最优解，而是它们一起找到 $J$ 最小的时候才是最优解。

二、学习率的设置

1.学习率设置的原理

$W^{t+1}_{j} = W^{t}_j - \eta \cdot gradient_{j}$

根据上述梯度下降公式，我们知道 $\eta$ 是学习率，设置大的学习率 $W_{j}$ 每次调整的幅度就大，设置小的学习率 $W_{j}$ 每次调整的幅度就小。当然，步子迈的太大也会出现问题，正如俗话说:"步子太大容易扯着蛋"。设置的学习率太大就会导致下方右图的情况出现，在两边来回震荡。反之，设置的学习率太小就会一步步往前挪，使得整体的迭代次数增加。

下图中的图 $a$ ，是学习率设置的最理想情况，最佳步骤，只需要一步就可以得到最优解，当然，这在现实当中基本上是不可能实现的。图 $b$ 则是设置了较小的学习率，一次次迭代直到最优解。图 $c$ 是设置比较大的学习率，我们会发现它在最优解两端不断的震荡，向最优解靠近。图 $d$ 由于学习率设置的过大，迭代后梯度变大，梯度变大导致移动的步子更大，这样就会远离最优解，这也是我们最不愿意看到的情况。