看文献过程中不断发现有太多不懂的基础知识，故长期更新这类blog不断补充在这过程中学到的知识。由于这些内容与我的研究方向并不一定强相关，故记录不会很深入请见谅。

一、Zadoff-Chu 序列

Zadoff-Chu序列（Zadoff-Chu sequence）是一种复指数序列，由于该序列具备恒定包络、理想自相关和互相关特性，它在现代无线通信系统中被广泛采用，特别是在同步、信道估计和随机接入等场景中。其优异的抗干扰能力和对多用户信号的有效区分能力，使其成为提高系统性能的关键技术之一。

1.1 Zadoff-Chu 序列的定义

Zadoff-Chu序列是一种复数序列，通常可以表示为以下形式：
$$x(n)=\exp \left(-j\frac{\pi rn(n+1)}{N}\right),n=0,1,2,...,N-1$$
其中：

• $x(n)$ 是Zadoff-Chu序列的第 $n$ 个元素。
• $j$ 是虚数单位，即 $j=\sqrt{-1}$。
• $r$ 是序列的根序数（root index），可以是任意与 $N$ 互质的整数（即 $\gcd (r,N)=1$）。
• $N$ 是序列的长度。

1.1.1 如何理解根序数 $r$（root index）

根序数 $r$ 是用于控制Zadoff-Chu序列调制的整数参数。每一个不同的 $r$ 值都会产生不同的Zadoff-Chu序列，根序数影响了序列的相位变化模式。这种特性保证了多用户系统中的序列正交性，即不同用户的序列互相关为零或接近零。

1.1.1.1 为什么 $r$ 和 $N$ 需要互质？

只有当 $r$ 与 $N$ 互质（即最大公约数为1）时，Zadoff-Chu序列才能保证其良好的自相关和互相关特性。如果 $r$ 和 $N$ 不是互质的，序列可能会出现周期性重复，导致相关特性变差，影响通信中的性能。

1.1.1.2 举例说明

1.2 Zadoff-Chu 序列的特性

1. 恒定包络
   Zadoff-Chu序列的每一个元素的幅度都相同，通常为1。也就是说，对于所有 ( n ) 都满足 ( |x(n)| = 1 )。这种恒定包络的特性在无线通信中非常重要，因为它有助于降低信号的峰均功率比（PAPR）。
2. 理想自相关
   Zadoff-Chu序列具有理想的自相关特性，即当序列与其自身进行循环移位的相关时，除非移位为零，相关结果总是为零：
   $$R_{xx}(\tau )=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)x^{\ast }(n-\tau )=\delta (\tau )$$
   这意味着Zadoff-Chu序列对时延具有良好的抗干扰能力，非常适合用于同步和检测任务。
3. 理想互相关
   不同根序数 (r) 生成的Zadoff-Chu序列在循环移位时具有理想的互相关特性，即两个不同的Zadoff-Chu序列的互相关为零或接近零。该特性使其能够在多用户环境中有效地区分不同的用户信号。

1.3 Zadoff-Chu 序列的应用

1. 随机接入
   在LTE和5G中，Zadoff-Chu序列被用作随机接入前导序列（preamble），帮助用户设备（UE）与基站（eNodeB或gNodeB）同步并进行连接。
2. 信道估计
   由于Zadoff-Chu序列的理想相关特性，它们也被用于信道估计过程，有助于提高估计的精度。
3. 信号同步
   Zadoff-Chu序列的自相关特性使其在接收端易于检测，常被用于时间和频率同步。

二、如何计算Cramér-Rao下界 (CRLB)

Cramér-Rao下界（CRLB，Cramér-Rao Lower Bound）在参数估计问题中定义了任何无偏估计器方差的理论下界，这个下限是由观测数据和噪声的统计特性决定的，CRLB在估计问题中提供了一个“最佳性能”的衡量标准。接下来将通过一个简单的信道估计例子，展示如何计算CRLB。

2.1 示例：估计无线信道增益 $h$ 的CRLB

假设一个简单的无线通信信道模型如下：
$$y=h\cdot x+n$$
其中：

• $y$ 是接收到的信号，
• $h$ 是我们要估计的未知信道增益，
• $x$ 是已知的发射信号，
• $n$ 是加性白高斯噪声（AWGN），且 $n\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$。

2.1.1 步骤1：定义似然函数

首先，我们需要写出观测数据的似然函数 $p(y|h)$。假设噪声 $n$ 是零均值的高斯白噪声，且具有方差 ${\sigma }^2$，那么对于给定的参数 $h$，接收信号 $y$ 的概率密度函数是一个高斯分布：
$$p(y|h)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(y-h\cdot x{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

2.1.2 步骤2：计算对数似然函数

为了计算Fisher信息，我们首先需要求解对数似然函数 $\ell (h)$：

$$\ell (h)=\log p(y|h)=-\frac{1}{2}\log (2\pi {\sigma }^2)-\frac{(y-h\cdot x{)}^2}{2{\sigma }^2}$$

2.1.3 步骤3：计算对参数 $h$ 的一阶导数

接下来，我们对 $h$ 求对数似然函数的导数（称为得分函数）：
$$\frac{\partial \ell (h)}{\partial h}=\frac{x\cdot (y-h\cdot x)}{{\sigma }^2}$$

2.1.4 步骤4：计算Fisher信息

Fisher信息 $I(h)$ 是对数似然函数的一阶导数平方的期望值，定义为：
$$I(h)=\mathbb{E}\left[{\left(\frac{\partial \ell (h)}{\partial h}\right)}^2\right]$$
首先，将一阶导数平方：
$${\left(\frac{\partial \ell (h)}{\partial h}\right)}^2=\frac{x^2\cdot (y-h\cdot x{)}^2}{{\sigma }^4}$$
由于噪声 $n$ 服从 $\mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$，我们有 $\mathbb{E}[(y-h\cdot x{)}^2]={\sigma }^2$。因此，Fisher信息为：
$$I(h)=\frac{x^2}{{\sigma }^2}$$

2.1.5 步骤5：计算CRLB

CRLB是Fisher信息的倒数，对于参数 $h$ 的估计，CRLB为：

$$\text{CRLB}(h)=\frac{1}{I(h)}=\frac{{\sigma }^2}{x^2}$$

2.1.6 总结

在这个简单的例子中，信道增益 $h$ 的CRLB是 $\frac{{\sigma }^2}{x^2}$，这意味着任何无偏估计算法的方差不能低于这个值。通过以下步骤，我们计算了CRLB：

1. 写出似然函数或概率密度函数 $p(y|h)$。
2. 计算对数似然函数 $\ell (h)$。
3. 求出对未知参数 $h$ 的导数。
4. 计算Fisher信息矩阵。
5. 通过Fisher信息矩阵的倒数得到CRLB。

CRLB在信道估计中的作用非常重要，它为各种算法的估计性能提供了一个理论下界，帮助我们衡量算法的优劣。

三、介绍哈达玛矩阵

3.1. 什么是哈达玛矩阵？

哈达玛矩阵（Hadamard Matrix）是一种特殊的正交矩阵，矩阵的元素只有 +1 和 -1。它具有优良的正交性和自相关特性，因此广泛应用于信号处理、通信系统、量子计算等领域。

3.1.1 定义

哈达玛矩阵 $H_n$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，并满足以下条件：

1. 元素取值：矩阵的每个元素要么是 +1，要么是 -1。
2. 正交性：矩阵的行（或列）是两两正交的，也就是说，任意两行或两列的内积为零。数学上：
   $$H_n\cdot H_n^T=n{I}_n$$
   其中 $H_n^T$ 是 $H_n$ 的转置矩阵，$I_n$ 是 $n\times n$ 的单位矩阵。

3.1.2 存在性条件

哈达玛矩阵的阶数 $n$ 必须是 1 或 4 的倍数。虽然并不是所有的 4 的倍数阶数都有哈达玛矩阵，但确实存在许多特殊阶数的哈达玛矩阵。

3.2. 哈达玛矩阵的构造方法

3.2.1 Sylvester 构造法

Sylvester 构造法是构造哈达玛矩阵的常用方法。其递归公式如下：

1. 当 $n=1$ 时：
   $$H_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$
2. 当 $n=2^k$ 时，$H_{2n}$ 可以通过以下递归公式得到：
   $$H_{2n}=\left[\begin{array}{cc}{H}_n& H_n\\ H_n& -H_n\end{array}\right]$$

3.2.2 举例：

• 对于 $n=2$，我们有：
  $$H_2=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$
• 对于 $n=4$，根据递归公式构造得到：
  $$H_4=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$$

3.3. 哈达玛矩阵的性质

哈达玛矩阵具有以下重要性质：

1. 正交性
   哈达玛矩阵的行和列之间两两正交，因此可以用作正交编码或扩频码，减少信号之间的干扰。

2. 最大行列式
   对于给定阶数的矩阵，哈达玛矩阵的行列式的绝对值是所有矩阵中最大的。

3. 符号对称性
   哈达玛矩阵的所有元素都是 +1 或 -1，具有很强的符号对称性，易于实现和应用。

3.4. 哈达玛矩阵的应用

3.4.1 在通信系统中的应用

在CDMA（码分多址）系统中，哈达玛矩阵的行常用作正交码，用于区分多个用户的信号。这种正交性确保了同时发送的信号互不干扰。

3.4.2 在量子计算中的应用

哈达玛门（Hadamard Gate）是量子计算中非常重要的量子门，它能够将量子比特从经典状态转换为叠加态。哈达玛矩阵是量子态叠加与干涉的重要工具。

3.4.3 在图像处理中的应用

哈达玛变换是图像处理中的一种离散变换，它类似于离散傅里叶变换（DFT），在图像压缩和处理中的快速编码算法中得到了广泛应用。

3.5. 哈达玛矩阵的例子

3.5.1 4阶哈达玛矩阵

$$H_4=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$$

3.5.2 8阶哈达玛矩阵

$$H_8=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1& 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1& 1\\ 1& 1& 1& 1& -1& -1& -1& -1\\ 1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& 1\\ 1& 1& -1& -1& -1& -1& 1& 1\\ 1& -1& -1& 1& -1& 1& 1& -1\end{array}\right]$$

3.6. 生成代码并验证其正交和互相关特性（matlab）

% 指定生成哈达玛矩阵的阶数
n = 4;  % 可修改为其他2的幂，如8, 16等

% 验证 n 是否为 1 或 2 的幂
if mod(log2(n), 1) ~= 0
    error('n 必须是 1 或 2 的幂，且至少为 1。');
end

% 递归构造哈达玛矩阵
H = 1;  % 初始哈达玛矩阵 H_1

while size(H, 1) < n
    H = [H, H; H, -H];  % 递归扩展
end
% 输出生成的哈达玛矩阵
disp('生成的哈达玛矩阵:');
disp(H);
% 验证正交性
disp('验证正交性:');
% H * H' 应该等于 n * I_n
orthogonality_test = H * H';
disp(orthogonality_test);
% 检查正交性是否满足 n * I_n
if isequal(orthogonality_test, n * eye(n))
    disp('正交性验证通过');
else
    disp('正交性验证失败');
end
% 验证互相关性
disp('验证互相关性:');
% 两个不同的行向量或列向量的点积应为零
cross_correlation_matrix = H' * H / n;
disp('互相关矩阵:');
disp(cross_correlation_matrix);

% 检查是否是单位矩阵，意味着只有对角线元素为1，其余为0
if all(all(abs(cross_correlation_matrix - eye(n)) < 1e-10))
    disp('互相关性验证通过');
else
    disp('互相关性验证失败');
end

总结
哈达玛矩阵由于其良好的正交性、低复杂度以及符号对称性，广泛应用于信号处理、通信系统以及量子计算等领域。通过递归构造法，我们能够方便地构造出不同阶数的哈达玛矩阵，并将其应用于实际系统中。