量化投资基础（二）之CAPM模型

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资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model,CAPM）是由美国经济学家 威廉·夏普（William Sharpe）于20世纪60年代基于 马科维茨 现代投资组合理论（均值-方差模型）率先提出来的。后来经过了 林特纳（John Lintner）、特雷诺（Jack Treynor）和莫辛（Jan Mossin）等人发展而逐步形成的研究 证券市场 中资产的 预期收益 和 风险 之间关系的理论体系，是现代金融市场价格理论的支柱，广泛应用于 投资决策 和 公司理财 等领域。

在资本资产定价模型中，所谓资本资产主要指的是股票资产，而定价则是试图解释资本市场如何决定股票收益率，进而决定股票价格。

1. 模型假设

CAPM 模型是建立在一系列假设基础上的，其中主要包括：

（1）所有投资者均追求单期财富的期望效用最大化，并以各备选组合的期望收益和标准差为基础进行组合选择。
（2）所有投资者均可以无风险利率无限制地借入或贷出资金。
（3）所有投资者拥有同样预期，即对所有资产收益的均值、方差和协方差等，投资者均有完全相同的主观估计。
（4）所有资产均可被完全细分，拥有充分的流动性。
（5）所有投资者均没有交易成本、没有税金。
（6）所有投资者均为价格接受者，即任何一个投资者的买卖行为都不会对股票价格产生影响。
（7）所有资产的数量是给定的和固定不变的。

2. CAPM 模型

2.1 传统的CAPM模型

$E(R_q)−R_f=\beta_{qm}[E(R_m)−R_f]$

其中：

$R_m$ 是市场投资组合的收益率。它的作用是作为一个基准，评估目标投资组合相对于基准的提升量。在实际应用中，常选取大盘指数。
$R_q$ 代表投资组合的收益率。
$R_f$ 代表无风险资产收益率，比如国债等固收资产。
$\beta_{q m}=\frac{\sigma\left(R_{q}, R_{m}\right)}{\sigma^{2}\left(R_{m}\right)}$ 是投资组合 $q$ 的 $\beta$ 值。
- $|\beta|$ 大于1，代表投资组合比大盘的波动更剧烈；
- $|\beta|$ 小于1，代表投资组合的波动小于大盘的波动；
- $\beta$ 值等于1，代表投资组合的波动与大盘的波动相当；
- $\beta$ 为负值，代表投资组合与大盘的波动方向相反。
$E(R_q)−R_f$ 是风险投资组合 $q$ 比无风险资产高出的期望收益率（风险溢酬）。

2.2 流行的CAPM模型

$E(R_i)= R_f + \beta_{i}[E(R_m)−R_f]$
其中， $\beta_{i}=\frac{\sigma\left(R_{i}, R_{m}\right)}{\sigma^{2}\left(R_{m}\right)}$ 可以反映出单个股票的系统风险水平。

CAPM 模型表明：单个股票的期望收益是无风险收益和系统性风险溢酬之和，而非系统风险可以通过分散化投资消除。

3. CAPM 模型的应用

Jensen（1968）在研究共同基金表现时，将CAPM模型写成如下形式：

$R_{it} - R_{ft} = \alpha_i + \beta_i(R_{mt} - R_{ft}) + \epsilon_{it}$

常见的分析方法

基本面分析
通过研究公司的财务状况判别公司是否具有价值

经济环境分析
产业分析
公司分析

技术面分析

基本信仰：“历史重演”
分析市场价格判别股价走势

消息面分析

分析股票价格是否受消息面的影响

$\mathbf{Alpha}$ 策略

出发点：CAPM 模型
核心思想：构建投资组合对冲系统风险，获得Alpha超额收益。

3.1 单资产之Python实现

$R_i$ ：新安股份（600596.SH）
$R_m$ ：中证流通指数（000902.SH）
$R_f$ ：无风险利率（一年期国债利率）

数据集：“Index_data.csv” + “xinan_data.csv”

# 读取数据集
import pandas as pd

df = pd.read_csv('datas\Index_data.csv',index_col='Trddt')
df.index = pd.to_datetime(df.index)

df.head(2)

# 获取指数数据：R_m
df_mkt = df[df.Indexcd==902]
df_mkt.head(2)

省略代码详见资源包！

# 画出散点图
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['simhei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

plt.figure(figsize=(8,4))

plt.scatter(Rets_rf.values[:,0],Rets_rf.values[:,1])
plt.title('图1 新安股份和中正物流指数日收益率',loc='center')

plt.show()

在这里插入图片描述
接下来，利用上述数据集拟合CAPM模型！

不含截距项情形下

省略代码详见资源包！

CAPM模型（不含截距项）为：
$R_i - R_f = 1.1096(R_m - R_f) + \epsilon_i$
结论：beta值表明新安股份的波动率大于对应的大盘指数（版块指数）。Beta值表示大盘波动带来的收益。

含截距项情形下

CAPM模型（含截距项）为：
$R_i - R_f = -0.0017 + 1.1293(R_m - R_f) + \epsilon_i$
结论：Alpha值并不显著地异于0，且Beta值表明新安股份的波动率大于对应的大盘指数（版块指数）。Alpha值表示自身价值的收益；Beta值表示大盘波动带来的收益。

3.2 多资产之Python实现

$R_p$ ：多个资产的投资组合收益率
$R_m$ ：中证流通指数（000902.SH）
$R_f$ ：无风险利率（一年期国债利率）

提示：首先，根据均值–方差模型构建多个资产的投资组合模型；其次，把投资组合收益率看成单个资产类似上述方法建立模型即可！

4. CAPM模型的评价

CAPM 模型形式上简单明了、思想上易于理解，它把任何一种风险证券的价格都划分为三个因素：无风险收益率、风险的价格和风险的计算单位，并把这三个因素有机结合在一起。CAPM 简单的线性结构令其在学术界和业界被广泛使用，并成为现代金融市场价格理论的基础。

CAPM 建立在 Markowitz 投资组合模型基础之上，也建立在 Markowitz 模型的假设之上。总结起来，CAPM模型需要满足如下假设：

（1）投资者希望财富越多越好，效用是财富的函数，财富又是投资收益率的函数，因此可以认为效用为收益率的函数；
（2）投资者能事先知道投资未来收益率的概率分布为正态分布，且所有投资者对资产未来收益率概率分布的看法是一致的；
（3）投资风险用投资收益率的方差或标准差度量，影响投资决策的主要因素为期望收益率和风险两项；
（4）所有投资者具有相同的投资期限；
（5）所有的证券投资可以无限制地细分，在任何一个投资组合里都可以含有非整数股份；
（6）投资者都遵守占优准则（Dominance Rule），即在同一风险水平下选择收益率较高的证券，在同一收益率水平下选择风险较低的证券；
（7）可以在无风险折现率的水平下无限制地借入或贷出资金，买卖证券时没有税负及交易成本；
（8）所有投资者可以及时免费获得充分的市场信息；
（9）不存在通货膨胀，且折现率不变。

上述假设表明再次要求投资者是理性的，且严格按照马科威茨模型的规则进行多样化的投资，并将从有效边界的某处选择投资组合；此外，资本市场是完全有效的市场，没有任何磨擦阻碍投资。可以看出，CAPM 的假设前提是难以实现的，不过与任何理论模型相似，只要理论模型重点强调的内容可以代表现实，其他部分用假设来简化是无伤大雅的。不过，CAPM 中的 Beta 值是非常不确定的，相同股票在不同时期估计 Beta 值会得到截然不同的结果，特别是现在几乎都在用历史数据进行计算 Beta 值，这样的 Beta 对投资的指导意义并不是很大。