力矩电机的建模、仿真与选择

1 力矩电机建模

图1中 ${e_i}\left( t \right)$ 为电机输入电压， ${L_a}$ 为电枢电感， ${R_a}$ 为电枢电阻， ${e_m}\left( t \right)$ 为电机工作时产生的反电动势， ${i_a}\left( t \right)$ 为回路电流， $T\left( t \right)$ 为电机输出转矩， ${\theta _0}\left( t \right)$ 为电机输出转角， ${J_e}$ 为系统及负载在电机轴的等效转动惯量， ${M_c}\left( t \right)$ 为作用在电机轴空载转矩、负载转矩和摩擦力矩的总负载转矩。

由Kirchhoff定律及电磁感应定律有：
$\begin{align} & {{e}_{i}}\left( t \right)={{R}_{a}}{{i}_{a}}\left( t \right)+{{L}_{a}}\frac{d{{i}_{a}}\left( t \right)}{dt}+{{e}_{m}}\left( t \right) \\ & {{e}_{m}}\left( t \right)={{K}_{e}}\frac{d{{\theta }_{0}}\left( t \right)}{dt} \\ \end{align}$
其中， ${{K}_{e}}$ 电机反电动势系数。
根据力矩平衡方程以及Lorentz电磁定律有：
$\begin{align} & T\left( t \right)-{{M}_{c}}\left( t \right)={{J}_{e}}\frac{{{d}^{2}}{{\theta }_{0}}\left( t \right)}{d{{t}^{2}}} \\ & T\left( t \right)={{K}_{t}}{{i}_{a}}\left( t \right) \\ & {{M}_{c}}\left( t \right)={{T}_{0}}+{{T}_{L}}+{{D}_{m}}\frac{d{{\theta }_{0}}\left( t \right)}{dt} \\ \end{align}$
其中： ${{K}_{t}}$ 为电动机力矩系数； ${{T}_{0}}$ 为空载转矩； ${{T}_{L}}$ 为负载转矩； ${{D}_{m}}$ 为系统在电机轴上的等效粘滞阻尼系数； ${{D}_{m}}\frac{d{{\theta }_{0}}\left( t \right)}{dt}$ 表示摩擦力矩。
联立上述公式(1)(2)(3)(4)并进行Laplace变换可得:
$\begin{align} {{\Theta }_{0}}\left( s \right)=\frac{{{K}_{t}}{{E}_{i}}\left( s \right)-\left( {{L}_{a}}s+{{R}_{a}} \right){{M}_{c}}\left( s \right)}{{{L}_{a}}{{J}_{e}}{{s}^{3}}+{{R}_{a}}{{J}_{e}}{{s}^{2}}+{{K}_{t}}{{K}_{e}}s} \end{align}$
由式(6)可得电机系统模型框图如图2所示，由式(6)不难看出，电机输出角度取决于 ${{E}_{i}}\left( s \right)$ 与 ${{M}_{c}}\left( s \right)$ 两部分系统输入，2个输入变量与输出分别构成单输入-单输出系统，且2个系统均为典型的二阶振荡系统。

基于线性系统的叠加性原理，将 ${{M}_{c}}\left( s \right)$ 视为系统的扰动，可得电机输入电压到电机输出转角的传递函数为：
$\begin{align} \frac{\Theta \left( s \right)}{{{E}_{i}}\left( s \right)}=\frac{{{K}_{t}}}{{{L}_{a}}{{J}_{e}}{{s}^{3}}+{{R}_{a}}{{J}_{e}}{{s}^{2}}+{{K}_{t}}{{K}_{e}}s} \end{align}$
电机总负载转矩到电机输出转角的传递函数为：
$\begin{align} \frac{{{\Theta }_{d}}\left( s \right)}{{{M}_{c}}\left( s \right)}=\frac{-\left( {{L}_{a}}s+{{R}_{a}} \right)}{{{L}_{a}}{{J}_{e}}{{s}^{3}}+{{R}_{a}}{{J}_{e}}{{s}^{2}}+{{K}_{t}}{{K}_{e}}s} \end{align}$
${{\Theta }_{d}}\left( s \right)$ 表示由电机负载所产生的扰动角度。
定义两个时间常数：
$\begin{align} {{T}_{e}}=\frac{{{L}_{a}}}{{{R}_{a}}} ---电枢电路电磁时间常数 \end{align}$

$\begin{align} {{T}_{m}}=\frac{{{J}_{e}}{{R}_{a}}}{{{K}_{t}}{{K}_{e}}} ---电机机电时间常数 \end{align}$

将公式(9)(10)带入(7)，可进一步化简为：
$\begin{align} & \frac{\Theta \left( s \right)}{{{E}_{i}}\left( s \right)}=\frac{{1}/{{{K}_{e}}}\;}{s\left( {{T}_{m}}{{T}_{e}}{{s}^{2}}+{{T}_{m}}s+1 \right)} \end{align}$
由于 ${{T}_{m}}\gg {{T}_{e}}$ ,而且 ${{T}_{e}}$ 很小可忽略，因此常会有一个近似，就是给公式(11)的分母添加一项 ${{T}_{e}}s$ ,即
$\begin{align} \frac{\Theta \left( s \right)}{{{E}_{i}}\left( s \right)}\approx \frac{{1}/{{{K}_{e}}}\;}{s\left( {{T}_{m}}{{T}_{e}}{{s}^{2}}+{{T}_{m}}s+{{T}_{e}}s+1 \right)}=\frac{{1}/{{{K}_{e}}}\;}{s\left( {{T}_{m}}s+1 \right)\left( {{T}_{e}}s+1 \right)} \end{align}$

本文的推导参考
书《惯性器件及应用实验技术》（作者：郭立东等人）的第3.1.2小节；
书《光电成像系统》（作者：张秉华）的第4.3.2小节；
论文《采用力矩电机直驱的数控机床进给系统伺服刚度优化》的第1.1小节。

根据公式(9)(10)(12)可知，要对一个力矩电机系统建模需要知道以下参数：
${{K}_{e}}$ 电机反电动势系数 = ${{{U}_{f}}}/{{{n}_{0}}}\;$ (峰值堵转电压 / 最大空载转速)
${{K}_{t}}$ 电动机力矩系数 = ${{{M}_{n}}}/{{{I}_{n}}}\;$ ((连续堵转转矩 / 连续堵转电流)
${{L}_{a}}$ 电枢电感和 ${{R}_{a}}$ 电枢电阻
${{J}_{e}}$ 为系统及负载在电机轴的等效转动惯量（一般可用 $\frac{1}{2}m{{r}^{2}}$ 近似）

2 力矩电机仿真

以河北宇捷电机科技有限公司的DDSM79-03A电机拖动质量为120kg，半径为0.35m的负载为例进行Matlab建模分析，由于电机厂家并未提供电枢电阻和电枢电感。因此以市面上具有类似参数的电机的电枢电阻和电枢电感代替（或者找厂家实测）。

Matlab代码如下：

clear all; close all; clc;

%--------------------------------
Uf =28;         %峰值堵转电压
n0 = 110;       % r/min最大空载转速
%n0 = n0 * 6;    % deg/s
Ke = Uf / n0;   % 电机反电动势系数
%--------------------------------

%--------------------------------
Mn =21;         % 连续堵转转矩
In = 9.2;       % 连续堵转电流
Kt = Mn / In;   % 电动机力矩系数
%--------------------------------

%--------------------------------
La = 13*10^(-3);% 电枢电感 H
Ra = 3.39;      % 电枢电阻 Ohms
Te = La / Ra;   % 电动机力矩系数
%--------------------------------

%--------------------------------
m = 120;        % kg负载重量
r = 0.35;       % m 负载半径
Je = 0.5 * m * r^2;   % 负载转动惯量
%--------------------------------

%--------------------------------
Tm = Je * Ra / (Kt * Ke);
%--------------------------------

s = tf('s');
k = 1/Ke;
G = 1 / s / (Tm*s+1) / (Te*s + 1);

% 被控对象
figure(1);
p = bodeoptions;
p.FreqUnits = 'Hz';
bode(G,p);grid on; hold on;

C = 1;
Phi = C*G/(1+C*G);
bode(Phi,p);grid on; hold on;
legend('被控对象','闭环传函');

3 力矩电机选择

电机的选择主要依赖的是输出力矩平衡方程，如式(13)所示
$\begin{align} T={{M}_{0}}+{{M}_{L}}+{{M}_{f}}+{{M}_{d}}+J\cdot a \end{align}$
其中 ${{M}_{0}}$ 指空载力矩， ${{M}_{L}}$ 指负载力矩， ${{M}_{f}}$ 指摩擦力矩， ${{M}_{d}}$ 指风阻力矩, $J\cdot a$ 指惯性力矩，J指转动惯量，a指角加速度（rad/s)，不考虑空载力矩、负载力矩、风阻力矩， ${{M}_{f}}+J\cdot a$

假设对系统的要求2s内调转180°，不限制系统角速度。即系统会经历一个最大加速度加速度过程与最大减速度减速过程，没有最大角速度匀速的过程。假设最大加速度和减速度相等，有。
$2\times \frac{1}{2}\times a\times {{1}^{2}}=180\Rightarrow a={{180}^{o}}/{{s}^{2}}$ ，考虑留有足够的裕量，乘以1.5倍， ${a}'=a\times 1.5={{270}^{o}}/{{s}^{2}}=4.71rad/{{s}^{2}}$ 。

假设电机要拖动负载是质量为120kg，半径为0.35m圆柱体。则
$\begin{align} J = 0.5\cdot m\cdot r^2 = 0.5\cdot 120 \cdot 0.35^2 = 7.35 kg\cdot m^2 \end{align}$
而之前已经给出了系统最大的角加速度为 $4.71rad/{{s}^{2}}$ ，那么系统的最大惯性力矩为 $J\cdot a = 7.35 \cdot 4.71 = 34.6185 N\cdot m$

摩擦力矩一般难以计算，根据经验假设摩擦力矩系数为0.01来算。轴承的内径和外径分别为160和220，轴承法向角度为25°。
$\begin{align} {{M}_{f}}= 0.01\cdot 1200/sin25° \cdot (160+220) / 4 / 1000 = 2.697525 N\cdot m \end{align}$
考虑摩擦力矩估计偏差，在选择电机时，摩擦力矩按两倍算即 ${{M}_{f}} = 5.4N\cdot m$
那么电机总的输出力矩力矩为 $N\cdot m$