从微分方程组构建 bbr 模型

描述分析 bbr 的文字自 2016 年底起至今从空白到泛滥，我自己在期间贡献了不少，本文又是一篇，但不同的是，本文尝试用闭环的数学模型给出一个 bbr 的全貌，顺便和 aimd 做对比。

先看带宽特性 bw(t)，设瓶颈带宽为 C，传播时延为 R，2 条流共享瓶颈，则流 1，流 2 的 bw 记为 x，y，它们的演化过程由于下列方程组描述：

$\dfrac{dx}{dt}=C\cdot \dfrac{g\cdot x\cdot R}{g\cdot x\cdot R+y\cdot R}-x$
$\dfrac{y}{dt}=C\cdot \dfrac{g\cdot y\cdot R}{g\cdot y\cdot R+x\cdot R}-y$

分析其稳定性，令 $\dfrac{f(x)}{dt}=0$ ， $\dfrac{f(y)}{dt}=0$ ，可得稳定点在两条直线的交点：

$y=-g\cdot x+C\cdot g$
$x=-g\cdot y+C\cdot g$

由此可分析其稳定点的性质：
在这里插入图片描述

可见稳定收敛，由于相空间方程组对称，则收敛到公平。同理，3 条流的情况下，微分方程组如下：

$\dfrac{dx}{dt}=C\cdot \dfrac{g\cdot x\cdot R}{g\cdot x\cdot R+y\cdot R+z\cdot R}-x$
$\dfrac{y}{dt}=C\cdot \dfrac{g\cdot y\cdot R}{g\cdot y\cdot R+x\cdot R+z\cdot R}-y$
$\dfrac{z}{dt}=C\cdot \dfrac{g\cdot z\cdot R}{g\cdot z\cdot R+x\cdot R+y\cdot R}-z$

n 条流的情况不再赘述。

看一下数值解的图像：
在这里插入图片描述

pacing gain 参数调整会影响 bbr 的动力学，这是在图像上可见的变化：
在这里插入图片描述

再看第二部分，in-flight 随时间 t 的演化特征 inflight(t)。设瓶颈带宽为 C，传播时延为 R，2 条流共享瓶颈，则流 1，流 2 的 inflight 记为 x，y，它们的演化过程由于下列方程组描述：

$\dfrac{dx}{dt}=C\cdot \dfrac{g\cdot x}{g\cdot x+y}\cdot R-x$
$\dfrac{dy}{dt}=C\cdot \dfrac{g\cdot y}{g\cdot y+x}\cdot R-x$

相图分析与 bw(t) 同理，从略。3 流，n 流扩展与 bw(t) 同理，从略，直接看数值解图像：
在这里插入图片描述

可见 inflight noqueuing 且公平收敛。noqueuing 意思是它们纵坐标大致相等，inflight 之和大致等于 C*R。和 bw(t) 公平收敛一同，修饰词 “大致“ 相等而不是绝对相等皆因最后那次的 probe。

众流最终在不停 probe 中在公平点附近震荡，震荡幅度和收敛速度由 gain 决定，gain 越大，收敛越快，但震荡越大，反之 gain 越小，收敛越慢，但震荡幅度也小，这就是调参要诀。

我此前对 bbr inflight 收敛的几何理解有一些错误，通过微分方程组建模则一目了然予以纠正，这是常规的主流论证逻辑。

关于 bbr probertt，值得说明的是理论上 bbr 并不需要这个状态，因为 probebw 的 probe/drain 周期足以保证 noqueuing，但值得注意的是，bbr 采用 10-round max-filter win 作为 probe 基准，因此必须保证在一个 max-filter win 中至少有一次 probe，而这个 max-filter bw 与真实的 bw 之间的差异便是 buffer 稍微堆积的根源，一切环环相扣，若有偏差则可能使系统偏离稳定点。

bbr 顾名思义需要测量两个不可能同时测得的量，若测 maxbw 需要 probe，若测 minrtt 需要 drain，在这个测量意义上，probertt 又是必须的。测 maxbw 需向右，测 minrtt 则要向左：

To learn the true RTProp, a flow moves to the left of BDP using ProbeRTT state: when the RTProp estimate has not been updated (i.e., by measuring a lower RTT) for many seconds, BBR enters ProbeRTT…

基于此，bbr 的动作可能就不再显得细碎了，和 aimd 也没什么不同。

为显示差异和不同，我给出 aimd 的 bw 以及 inflight 的微分方程组，先看 bw：

$\dfrac{dx}{dt}=C\cdot\dfrac{(x+1)\cdot R}{(x+1)\cdot R+y\cdot R}-x$
$\dfrac{dy}{dt}=C\cdot\dfrac{(y+1)\cdot R}{(y+1)\cdot R+x\cdot R}-y$

而 inflight 对应的微分方程组为：

$\dfrac{dx}{dt}=x+1-x=1$
$\dfrac{dy}{dt}=y+1-y=1$

不再分析相图了，直接看数值解图像：
在这里插入图片描述

和 bbr 不同，aimd 的 inflight 收敛靠的是 buffer 溢出 or aqm 丢包这种外在事件，这导致 aimd 系统对这种外部事件响应处的不连续性，相当于把一个连续函数突然截断，断处无可观测的变化率可言，从而无法直观体现在微分方程组中。

以上，这就是 bbr 的全部。

最后给出求数值解的代码，以 bbr inflight 微分方程组为例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x0, y0, z0 = 0.1, 5, 2
T, dt = 200, 0.1
C, R = 10, 2
a = 1.25
times = np.arange(0, T + dt, dt)

plt.figure(figsize = (20, 10))

x = np.zeros_like(times)
y = np.zeros_like(times)
z = np.zeros_like(times)

x[0], y[0], z[0] = x0, y0, z0
for n in range(1, len(times)):
    x[n] = x[n-1] + dt * (C*R*a*x[n-1]/(a*x[n-1] + y[n-1] + z[n-1]) - x[n-1])
    y[n] = y[n-1] + dt * (C*R*a*y[n-1]/(a*y[n-1] + x[n-1] + z[n-1]) - y[n-1])
    z[n] = z[n-1] + dt * (C*R*a*z[n-1]/(a*z[n-1] + y[n-1] + x[n-1]) - z[n-1])

plt.plot(times, x, label = 'x(t)')
plt.plot(times, y, label = 'y(t)', linestyle = 'dashed')    
plt.plot(times, z, label = 'z(t)', linestyle = 'dotted')    

plt.title(f'g = 1.25, C=10, R=2')
plt.xlabel('time (t)')
plt.ylabel('inflight')
plt.grid(True)

plt.show()