【2024_CUMCM】TOPSIS法（优劣解距离法）

引入

层次分析法的局限性

简介

例子

想法1

想法2 运用实际分数进行处理

想法3

问题

扩展问题：增加指标个数

极大型指标与极小型指标

统一指标类型-指标正向化

标准化处理

计算公式

计算得分

对原公式进行变化

升级到m个指标和n个对象

代码

第一步将原始矩阵正向化

常见的四种指标

极小型-->极大型

中间型-->极大型

区间型-->极大型

第二步正向化矩阵标准化

第三步计算得分并归一化

练习

思路

代码

模型扩展——带权重的TOPSISI

引入

层次分析法的局限性

1）评价的决策层不能太多，太多n太大，导致判断矩阵和一致矩阵有差异

2）填数据

简介

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

例子

想法1

按排名，之间进行占比，如第一名-4-0.4，第二名-3-0.3

具备不合理，如果分数跨度过大，会出现严重不公平，例如如果最高分是99，最低分是10，而他们分数分布是0.4和0.1

想法2 运用实际分数进行处理

x - min / max - min

运用公式计算，然后进行归一化

新问题：如果最后一面考60是0分，如果最后一名考10分还是零分

想法3

这样就相对来说公平些

问题

比较的对象不可能只有四个
比较的指标不会只有一个
很多指标不存在理论上的最大和最小值，例如GDP增速

扩展问题：增加指标个数

不难发现，成绩是越高越好，与他人争吵次数是越低越好

极大型指标与极小型指标

越高越好的指标是极大型指标（效益型），越低越好的指标是极小型指标（成本型）

统一指标类型-指标正向化

极小型指标转化为及大型指标公式

max - x

标准化处理

标准化处理就是在消去量纲，即消去不同指标的影响

计算公式

会看即可，即xij除以列向量里面每一个元素的平方和再开方

计算得分

对原公式进行变化

| x - min | / ( | x + max | + | x - min | )

升级到m个指标和n个对象

与最大/小值的距离，也就是两点距离公式的推广

代码

第一步将原始矩阵正向化

常见的四种指标

极大型指标
越大越好
成绩、GDP增速、企业利润
极小型指标
越小越好
费用、坏频率、污染程度
中间型指标
接近某个中间值越好
PH
区间型指标
落在某个区间越好
体温

所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为 极大型指标。 （转换的函数形式可以不唯一 ）

极小型-->极大型

最常用的还是` max - x `

中间型-->极大型

M指的是原值到中间值的距离的最大值

带入公式即可

区间型-->极大型

a和b表示区间的端点，按上述公式进行求解即可

第二步正向化矩阵标准化

消去不同指标量纲的影响

本文在前面有提到并附有代码，不在赘述

第三步计算得分并归一化

练习

思路

这是一个评价问题，用topsis方法

按照上面讲过的步骤进行：

第一步，正向化，一般默认化为极大型指标，含氧量-极大型，PH-中间型，细菌总数-极小型，植物性营养物量-区间型，所以后面三个指标需要正向化；编写matlab，按照上面介绍的公式进行即可。

第二步，标准化

第三步，计算与最大值和最小值的距离并归一化

看熟代码，了解原理即可

代码

[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);

if Judge == 1
    Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
    disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]
    % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
    for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    % Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
    % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
    % 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
    % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
    % 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
    end
    disp('正向化后的矩阵 X =  ')
    disp(X)
end

%% 对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)

%% 计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')