DFS之连通性模型——AcWing 1112. 迷宫

DFS之连通性模型

定义

DFS（深度优先搜索，Depth-First Search）之连通性模型主要用于图论问题中判断图的连通性，即确定图中的所有节点是否可以通过边相互到达。

运用情况

判断图的连通性：检查一个无向图是否为连通图，只需从任一节点开始执行DFS，若能访问到所有节点，则图是连通的。
强连通分量：在有向图中，寻找所有强连通分量（即每个节点都可以到达其他所有节点的子图）。
迷宫问题：判断从起点到终点是否有路径，以及找出一条路径。
岛屿数量：在二维网格图中，计算由1（表示陆地）构成的“岛屿”数量。
社交网络分析：分析用户间的关系网，判断是否属于同一社交圈等。

注意事项

避免循环：需要标记已访问的节点，防止陷入无限循环。
起始节点选择：如果图可能不连通，需从每个未访问的节点开始执行DFS，以检测所有连通分量。
栈溢出：深度极大的图可能导致递归栈溢出，可考虑使用迭代方式或手动管理栈来避免。
性能考虑：对于大规模图，DFS可能不是最优选择，尤其是需要频繁遍历多个节点的情况。

解题思路

初始化：标记所有节点为未访问。
选择起始节点：通常从一个节点开始，但若考虑全图连通性，需对每个未访问节点执行DFS。
DFS过程：访问当前节点，将其标记为已访问。遍历当前节点的所有邻居，对于每个未访问的邻居，递归执行DFS。在递归返回后，继续探索当前节点的下一个未访问邻居，直到所有邻居都被访问。
结果判断：如果从初始节点能够访问所有节点，图是连通的。若进行多轮DFS以探索不同连通分量，最终连通分量的数量可揭示图的整体连通性。

AcWing 1112. 迷宫

题目描述

AcWing 1112. 迷宫 - AcWing

运行代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

struct Point {
    int x;
    int y;
};

bool bfs(vector<vector<char>> &maze, Point start, Point end) {
    int n = maze.size();
    vector<vector<bool>> visited(n, vector<bool>(n, false));
    queue<Point> q;
    q.push(start);
    visited[start.x][start.y] = true;

    int dx[] = {-1, 1, 0, 0};
    int dy[] = {0, 0, -1, 1};

    while (!q.empty()) {
        Point curr = q.front();
        q.pop();

        if (curr.x == end.x && curr.y == end.y) {
            return true;
        }

        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int newX = curr.x + dx[i];
            int newY = curr.y + dy[i];

            if (newX >= 0 && newX < n && newY >= 0 && newY < n && maze[newX][newY] == '.' &&!visited[newX][newY]) {
                visited[newX][newY] = true;
                Point next = {newX, newY};
                q.push(next);
            }
        }
    }

    return false;
}

int main() {
    int k;
    cin >> k;

    while (k--) {
        int n;
        cin >> n;

        vector<vector<char>> maze(n, vector<char>(n));

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                cin >> maze[i][j];
            }
        }

        Point start, end;
        cin >> start.x >> start.y >> end.x >> end.y;

        if (maze[start.x][start.y] == '#' || maze[end.x][end.y] == '#') {
            cout << "NO" << endl;
            continue;
        }

        if (bfs(maze, start, end)) {
            cout << "YES" << endl;
        } else {
            cout << "NO" << endl;
        }
    }

    return 0;
}

代码思路

定义了一个Point结构体来表示坐标点。
bfs函数用于进行广度优先搜索。
- 创建一个与迷宫大小相同的visited数组来标记已访问的点。
- 使用一个队列来存储待访问的点。
- 定义了四个方向的偏移量。
- 从起始点开始，将其入队并标记为已访问。
- 只要队列不为空，取出队头元素，检查是否到达终点。如果未到达，则向四个方向扩展，将可通行且未访问的点入队并标记。
在main函数中：
- 输入测试数据的组数。
- 对于每组数据，输入迷宫信息、起始点和终点。
- 如果起始点或终点不可通行，直接输出"NO"。
- 否则调用bfs函数进行搜索，根据结果输出"YES"或"NO"。

改进思路

数据输入和错误处理：可以添加更多的输入错误处理，例如检查输入的行和列坐标是否在合法范围内，以及输入的迷宫字符是否只有 . 和 # 。
空间优化：对于 visited 数组，可以使用位运算或者更紧凑的数据结构来减少空间占用，特别是当 n 较大时。
性能优化：在扩展新节点时，可以先判断新节点是否在迷宫范围内，避免不必要的数组越界检查。考虑使用双端队列（deque）代替队列，在某些情况下可能会提高性能。
代码可读性和可维护性：为关键的代码段添加更详细的注释，以提高代码的可理解性。将一些复杂的逻辑提取为单独的函数，使代码结构更清晰。
功能扩展：可以添加输出最短路径的功能，如果需要的话。
算法优化：考虑使用 A* 算法等更高效的寻路算法，可能会在某些情况下更快地找到路径。

其它代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;

int n;
char g[N][N];
int xa, ya, xb, yb;
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
bool st[N][N];
bool dfs(int x, int y)
{
    if (g[x][y] == '#') return false;
    if (x == xb && y == yb) return true;
    st[x][y] = true;
    for (int i = 0; i < 4; i ++ )
    {
        int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
        if (a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= n) continue;
        if (st[a][b]) continue;
        if (dfs(a, b)) return true;
    }
    return false;
}
int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t -- )
    {
        memset(st, 0, sizeof st);
        cin >> n;
        for(int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> g[i];
        cin >> xa >> ya >> xb >> yb;
        int t = dfs(xa, ya);
        if(t) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
}

代码思路

定义了一些常量和变量，包括迷宫的大小 n，迷宫的字符数组 g，起点和终点的坐标 xa, ya, xb, yb，以及方向偏移数组 dx 和 dy，还有标记是否访问过的二维数组 st。
dfs 函数用于深度优先搜索来判断是否存在从起点到终点的路径。
- 如果当前位置是 #，则返回 false。
- 如果当前位置就是终点，返回 true。
- 标记当前位置已访问。
- 遍历四个方向，如果新位置合法且未访问，递归调用 dfs 函数，如果返回 true 则直接返回 true。
在 main 函数中：
- 首先读入测试数据的组数 t 。
- 对于每组数据，先清空访问标记，读入迷宫信息和起点终点坐标。
- 调用 dfs 函数进行搜索，根据结果输出 YES 或 NO 。