【动态规划 前缀和】2478. 完美分割的方案数

本文涉及知识点

划分型dp 动态规划汇总
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频

LeetCode 2478. 完美分割的方案数

给你一个字符串 s ，每个字符是数字 ‘1’ 到 ‘9’ ，再给你两个整数 k 和 minLength 。
如果对 s 的分割满足以下条件，那么我们认为它是一个 完美 分割：
s 被分成 k 段互不相交的子字符串。
每个子字符串长度都 至少 为 minLength 。
每个子字符串的第一个字符都是一个 质数 数字，最后一个字符都是一个 非质数 数字。质数数字为 ‘2’ ，‘3’ ，‘5’ 和 ‘7’ ，剩下的都是非质数数字。
请你返回 s 的 完美 分割数目。由于答案可能很大，请返回答案对 109 + 7 取余 后的结果。
一个 子字符串 是字符串中一段连续字符串序列。
示例 1：
输入：s = “23542185131”, k = 3, minLength = 2
输出：3
解释：存在 3 种完美分割方案：
“2354 | 218 | 5131”
“2354 | 21851 | 31”
“2354218 | 51 | 31”
示例 2：
输入：s = “23542185131”, k = 3, minLength = 3
输出：1
解释：存在一种完美分割方案：“2354 | 218 | 5131” 。
示例 3：
输入：s = “3312958”, k = 3, minLength = 1
输出：1
解释：存在一种完美分割方案：“331 | 29 | 58” 。
提示：
1 <= k, minLength <= s.length <= 1000
s 每个字符都为数字 ‘1’ 到 ‘9’ 之一。

划分型dp

预处理

bool bPrime[128] 记录那些字符是质数。
vNotPirme记录所有非质数下标。二维向量lr，记录所有可以划分的区间，左闭右开。如果s[i]不是质数，则s[i]为空。
否则将所有r ∈ \in ∈ vNotPrime ，且 r- i +1 >= minLength 的r+1放到s[i]中。只后就是经典的划分性dp。
时间复杂度 ： O(n3)超时。

代码

class Solution {
public:
	int beautifulPartitions(string s, int K, int minLength) {
		bool bPrime[128] = { false };
		bPrime['2'] = bPrime['3'] = bPrime['5'] = bPrime['7']=true;	
		const int N = s.length();
		vector<int> notPrime;
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			if (bPrime[s[i]]) { continue; }
			notPrime.emplace_back(i);
		}
		vector<vector<int>> lr(N);
		for (int i = 0,j=0; i < N; i++) {
			if (!bPrime[s[i]]) { continue; }
			while ((j < notPrime.size()) && (notPrime[j] - i + 1 < minLength)) {
				j++;
			}
			for (int k = j; k < notPrime.size(); k++) {
				lr[i].emplace_back(notPrime[k] + 1);
			}
		}
		vector<vector<C1097Int<>>> dp(K+1,vector<C1097Int<>>(N + 1));
		dp[0][0] = 1;
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			for(int k = 0; k < K ;k++ )
			for (int r : lr[i]) {
				dp[k + 1][r] += dp[k][i];
			}
		}
		return dp.back().back().ToInt();
	}
};

动态规划+前缀和

如果s[0]不是质数或s.back()是质数，无法分割，直接返回0。
分成k段有k-1分割点。
s[i]非质数，s[i+1]是质数，则可以分割。
vSplit记录所有的分割点，为了避免处理边界vSplit = {-1}; 最后追加n-1

动态规划的状态

dp[i][k]表示处理完vSplit[i]的分割k段的方案。 空间复杂度：O(mk) m= vSplit.size()

动态规划的转移方程

dp[i][k] = ∑ j : 0 v S p l i t [ i ] − v S p l i t [ j ] > = m i n L e n g h t \Large\sum_{j:0}^{vSplit[i]-vSplit[j] >= minLenght } ∑j:0vSplit[i]−vSplit[j]>=minLenght​dp[j][k-1]
利用前缀和优化，单个状态转移的时间复杂度是：O(1)
总时间复杂度：O(mk)

动态规划的填表顺序

i从1到m-1,k从1到K

动态规划的初始值

dp[0][0] = 1 ，其余全为0 .

动态规划的返回值

dp.back().back()

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};


class Solution {
public:
	int beautifulPartitions(string s, int K, int minLength) {
		bool bPrime[128] = { false };
		bPrime['2'] = bPrime['3'] = bPrime['5'] = bPrime['7']=true;	
		if ((!bPrime[s[0]]) || (bPrime[s.back()])) { return 0; }
		const int N = s.length();
		vector<int> vSplit = { -1 };
		for (int i = 0; i+1 < N; i++) {
			if (bPrime[s[i]]) { continue; }
			if (bPrime[s[i + 1]]) { vSplit.emplace_back(i); }
		}		
		vSplit.emplace_back(N - 1);
		const int M = vSplit.size();
		vector<vector<C1097Int<>>> dp(M , vector<C1097Int<>>(K + 1));
		dp[0][0] = 1;
		vector<C1097Int<>> vSum(K);
		for (int m = 1, i = 0; m < M; m++) {
			while ((i < M) && (vSplit[m] - vSplit[i] >= minLength)) {
				for (int k = 0; k < K; k++) {
					vSum[k] += dp[i][k];
				}
				i++;
			}
			for (int k = 1; k <= K; k++) {
				dp[m][k] = vSum[k - 1];
			}
		}		
		return dp.back().back().ToInt();
	}
};

单元测试

template<class T1, class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{
	Assert::AreEqual(t1, t2);
}

template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);
	}
}

template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{
	sort(vv1.begin(), vv1.end());
	sort(vv2.begin(), vv2.end());
	Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());
	for (int i = 0; i < vv1.size(); i++)
	{
		AssertEx(vv1[i], vv2[i]);
	}
}

namespace UnitTest
{	
	string s;
	int k, minLength;
	TEST_CLASS(UnitTest)
	{
	public:
		TEST_METHOD(TestMethod00)
		{
			s = "23542185131", k = 3, minLength = 2;
			auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);
			AssertEx(3, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod01)
		{
			s = "23542185131", k = 3, minLength = 3;
			auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);
			AssertEx(1, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod02)
		{
			s = "3312958", k = 3, minLength = 1;
			auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);
			AssertEx(1, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod03)
		{
			s = "24", k = 1, minLength = 1;
			auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);
			AssertEx(1, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod031)
		{
			s = "24", k = 1, minLength =3;
			auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);
			AssertEx(0, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod04)
		{
			s = "783938233588472343879134266968", k = 4, minLength = 6;
			auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);
			AssertEx(4, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod05)
		{
			s = "242538614532395749146912679859", k = 1, minLength = 6;
			auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);
			AssertEx(1, res);
		}
	};
}

扩展阅读

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

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https://edu.csdn.net/lecturer/6176

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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