最小步数模型——AcWing 1107. 魔板

最小步数模型

定义

最小步数模型通常是指在某种约束条件下，寻找从初始状态到目标状态所需的最少操作或移动次数的问题。这类问题广泛存在于算法、图论、动态规划、组合优化等领域。具体来说，它涉及确定一个序列或路径，使得按照特定规则执行一系列步骤后，能够从起始位置或状态转换到目标位置或状态，且所花费的步骤尽可能少。

运用情况

图的最短路径问题：如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等，用于寻找两点间经过边的最小权重和，即最少步数。
迷宫问题：寻找从起点到终点的最短路径，每步只能上下左右移动。
跳台阶问题：一个人可以1步或2步上楼梯，求n阶楼梯有多少种不同的上法，也是求最小步数的一个变体。
爬楼梯问题：每次可以爬1阶或2阶，求达到n阶楼梯的最少步数，考虑动态规划解法。
状态转换问题：如编辑距离（将一个字符串转换为另一个字符串最少的插入、删除、替换操作次数）。

注意事项

状态定义：明确问题中的状态如何表示，状态转移方程如何建立，这是解决问题的基础。
边界条件：正确设定初始状态和目标状态，以及任何可能的限制条件，避免无限循环或错误解。
避免重复计算：在动态规划等方法中，使用记忆化技术或递推公式减少重复子问题的计算。
最优子结构：利用问题的最优子结构，即问题的最优解可以由其子问题的最优解组合得到。
复杂度控制：考虑算法的时间和空间复杂度，选择合适的算法和数据结构以提高效率。

解题思路

分析问题：明确问题的输入、输出及约束条件，识别问题的类型（如是否为最短路径、最优化问题等）。
选择模型：根据问题特征选择合适的算法模型，如贪心、动态规划、图算法等。
状态定义与转移：定义状态表示问题的某一阶段，构建状态转移方程，描述如何从一个状态转移到另一个状态。
设计算法：依据状态转移方程设计算法，可能是递归、迭代、图的遍历等。
实现与优化：编写代码实现算法，考虑边界条件和特殊情况处理，优化算法以降低时间和空间复杂度。
验证与测试：通过测试用例验证算法的正确性，确保能正确处理各种边界条件和特殊情况。

AcWing 1107. 魔板

题目描述

AcWing 1107. 魔板 - AcWing

运行代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#include <queue>

using namespace std;

char g[2][4];
unordered_map<string, pair<char, string>> pre;
unordered_map<string, int> dist;

void set(string state)
{
    for (int i = 0; i < 4; i ++ ) g[0][i] = state[i];
    for (int i = 7, j = 0; j < 4; i --, j ++ ) g[1][j] = state[i];
}

string get()
{
    string res;
    for (int i = 0; i < 4; i ++ ) res += g[0][i];
    for (int i = 3; i >= 0; i -- ) res += g[1][i];
    return res;
}

string move0(string state)
{
    set(state);
    for (int i = 0; i < 4; i ++ ) swap(g[0][i], g[1][i]);
    return get();
}

string move1(string state)
{
    set(state);
    int v0 = g[0][3], v1 = g[1][3];
    for (int i = 3; i > 0; i -- )
    {
        g[0][i] = g[0][i - 1];
        g[1][i] = g[1][i - 1];
    }
    g[0][0] = v0, g[1][0] = v1;
    return get();
}

string move2(string state)
{
    set(state);
    int v = g[0][1];
    g[0][1] = g[1][1];
    g[1][1] = g[1][2];
    g[1][2] = g[0][2];
    g[0][2] = v;
    return get();
}

int bfs(string start, string end)
{
    if (start == end) return 0;

    queue<string> q;
    q.push(start);
    dist[start] = 0;

    while (!q.empty())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        string m[3];
        m[0] = move0(t);
        m[1] = move1(t);
        m[2] = move2(t);

        for (int i = 0; i < 3; i ++ )
            if (!dist.count(m[i]))
            {
                dist[m[i]] = dist[t] + 1;
                pre[m[i]] = {'A' + i, t};
                q.push(m[i]);
                if (m[i] == end) return dist[end];
            }
    }

    return -1;
}

int main()
{
    int x;
    string start, end;
    for (int i = 0; i < 8; i ++ )
    {
        cin >> x;
        end += char(x + '0');
    }

    for (int i = 1; i <= 8; i ++ ) start += char('0' + i);

    int step = bfs(start, end);

    cout << step << endl;

    string res;
    while (end != start)
    {
        res += pre[end].first;
        end = pre[end].second;
    }

    reverse(res.begin(), res.end());

    if (step > 0) cout << res << endl;

    return 0;
}

代码思路

状态表示：用一个长度为8的字符串表示矩阵的状态，前四位表示第一行，后四位逆序表示第二行。
状态转换：定义了三种状态转换函数move0、move1和move2，分别对应三种操作。
广度优先搜索：使用BFS从初始状态开始搜索，利用一个队列来存储待探索的状态，一个哈希表dist记录每个状态到初始状态的最小步数，另一个哈希表pre记录每个状态的前驱状态和对应的操作。
路径回溯：当找到目标状态时，通过pre哈希表回溯并构造出从初始状态到目标状态的操作序列。